Birim Çember

Analitik düzlemde merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Merkezi $$ noktası olan birim çember eksenleri $$, $$, $$ ve $$ noktalarında keser.

Birim çemberin denklemi merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çember denklemidir.

Birim çemberin trigonometride önemli bir yerinin olmasının bazı sebepleri şunlardır.

• Açıların başlangıç kenarını sabitleyerek (aşağıdaki şekilde $$ ışını), tüm açıları ve trigonometrik değerlerini standart bir şekilde inceleyebilmemizi ve karşılaştırabilmemizi sağlar.
• Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları üzerinden trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirleyebiliriz.
• Birim çemberi kullanarak dar olmayan açıların trigonometrik değerlerini dar açılar cinsinden ifade edebiliriz.
• Kullandığımız pek çok trigonometrik özdeşliği birim çember üzerinde geometrik olarak türetebiliriz.

Sinüs ve Kosinüs Değerleri

Belirli bir $$ açısının bitim kolu olan $$ ışınının birim çemberi kestiği $$ noktasının koordinatlarını $$ açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Birim çemberin eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını, bu noktaların karşılık geldikleri açıların sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden yazarak bu formülü doğrulayabiliriz.

$$ noktasının orijin ve $$ ekseni ile birlikte oluşturduğu $$ dik üçgeninde Pisagor bağıntısı yazdığımızda trigonometrinin Pisagor özdeşliğini elde ederiz.

Ayrıca birim çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını yukarıda paylaştığımız birim çember denkleminde yerine koyduğumuzda denklemin her zaman sağlandığını görebiliriz.

Yarıçap uzunluğu tüm birim çember üzerinde 1 birim olduğu ve $$ noktasının koordinatları diğer bölgelerde negatif olsa da koordinat değerlerinin kareleri alındığı için, Pisagor özdeşliği analitik düzlemin dört bölgesindeki açılar için de geçerlidir.

Sinüs ve Kosinüs Eksenleri

Bir açının birim çember üzerinde karşılık geldiği noktanın ordinat değeri, yani $$ ekseni üzerindeki izdüşümünün orijinden yönlü uzaklığı o açının sinüs değerini verdiği için, $$ eksenine sinüs ekseni de denir. $$ açısı $$ aralığında farklı değerler aldıkça bu uzunluk $$ aralığında değer alabileceği için sinüs fonksiyonunun değer aralığı da $$ olur.

Aşağıdaki şekilde 4 bölgedeki birer açı için sinüs değerleri sinüs ekseni üzerinde gösterilmiştir.

Bir açının birim çember üzerinde karşılık geldiği noktanın apsis değeri, yani $$ ekseni üzerindeki izdüşümünün orijinden yönlü uzaklığı o açının kosinüs değerini verdiği için, $$ eksenine kosinüs ekseni de denir. $$ açısı $$ aralığında farklı değerler aldıkça bu uzunluk $$ aralığında değer alabileceği için kosinüs fonksiyonunun değer aralığı da $$ olur.

Aşağıdaki şekilde 4 bölgedeki birer açı için kosinüs değerleri kosinüs ekseni üzerinde gösterilmiştir.

Tanjant Değeri

Belirli bir $$ açısının bitim kolu olan $$ ışınının $$ doğrusunu kestiği $$ noktasının koordinatlarını $$ açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Tanjant Ekseni

Bir açının bitim kolunun $$ doğrusunu kestiği noktanın $$ ekseninden yönlü uzaklığı o açının tanjant değerini verdiği için, $$ doğrusuna tanjant ekseni de denir. $$ açısı $$ aralığında farklı değerler aldıkça bu uzunluk $$ aralığında değer alabileceği için tanjant fonksiyonunun değer aralığı da $$ olur.

Aşağıdaki şekilde 4 bölgedeki birer açı için tanjant değerleri tanjant ekseni üzerinde gösterilmiştir.

Kotanjant Değeri

Belirli bir $$ açısının bitim kolu olan $$ ışınının $$ doğrusunu kestiği $$ noktasının koordinatlarını $$ açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Kotanjant Ekseni

Bir açının bitim kolunun $$ doğrusunu kestiği noktanın $$ ekseninden yönlü uzaklığı o açının kotanjant değerini verdiği için, $$ doğrusuna kotanjant ekseni de denir. $$ açısı $$ aralığında farklı değerler aldıkça bu uzunluk $$ aralığında değer alabileceği için kotanjant fonksiyonunun değer aralığı da $$ olur.

Aşağıdaki şekilde 4 bölgedeki birer açı için kotanjant değerleri kotanjant ekseni üzerinde gösterilmiştir.

Sekant ve Kosekant Değerleri

Belirli bir $$ açısının bitim kolu olan $$ ışınının birim çemberi kestiği $$ noktasında çembere çizilen teğet doğrunun $$ eksenini kestiği $$ noktasının koordinatlarını $$ açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Aynı teğet doğrunun $$ eksenini kestiği $$ noktasının koordinatlarını $$ açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Birim Çember ve Sık Kullanılan Açılar

En sık kullanılan açıların derece ve radyan karşılıkları aşağıdaki şekilde birim çember üzerinde gösterilmiştir. Bu açıların derece ve radyan karşılıklarının ve her birinin trigonometrik fonksiyon değerlerinin bilinmesi ya da hızlı bir şekilde hesaplanabilmesi oldukça önemlidir.