Dönüşüm Formülleri

Sinüs toplam dönüşüm formülü:

Sinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.

\( \sin(x + y) = \sin{x} \cdot \cos{y} + \cos{x} \cdot \sin{y} \)

\( \sin(x - y) = \sin{x} \cdot \cos{y} - \cos{x} \cdot \sin{y} \)

Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa toplayalım.

\( \sin(x + y) + \sin(x - y) = 2\sin{x} \cdot \cos{y} \)

\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( x + y = a \)

\( x - y = b \) diyelim.

İki ifade arasında taraf tarafa toplama ve çıkarma işlemleri yaparak \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.

\( x = \dfrac{a + b}{2} \)

\( y = \dfrac{a - b}{2} \)

Bulduğumuz değerleri yukarıda bulduğumuz eşitlikte yerine koyalım.

\( \sin(x + y) + \sin(x - y) = 2\sin{x} \cdot \cos{y} \)

\( \sin{a} + \sin{b} = 2 \sin(\frac{a + b}{2}) \cdot \cos(\frac{a - b}{2}) \)

\( a \) ve \( b \) değişkenlerini yeniden isimlendirerek \( x \) ve \( y \) yazdığımızda sinüs toplam dönüşüm formülünü elde ederiz.

\( \sin{x} + \sin{y} = 2 \sin(\frac{x + y}{2}) \cdot \cos(\frac{x - y}{2}) \)

Sinüs fark dönüşüm formülü:

Sinüs toplam ve fark formüllerini taraf tarafa çıkaralım.

\( \sin(x + y) - \sin(x - y) = 2\cos{x} \cdot \sin{y} \)

Yukarıda bulduğumuz değerleri bu eşitlikte yerine koyalım.

\( \sin{a} - \sin{b} = 2 \cos(\frac{a + b}{2}) \cdot \sin(\frac{a - b}{2}) \)

\( a \) ve \( b \) değişkenlerini yeniden isimlendirerek \( x \) ve \( y \) yazdığımızda sinüs fark dönüşüm formülünü elde ederiz.

\( \sin{x} - \sin{y} = 2 \cos(\frac{x + y}{2}) \cdot \sin(\frac{x - y}{2}) \)

Kosinüs toplam dönüşüm formülü:

Kosinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.

\( \cos(x + y) = \cos{x} \cdot \cos{y} - \sin{x} \cdot \sin{y} \)

\( \cos(x - y) = \cos{x} \cdot \cos{y} + \sin{x} \cdot \sin{y} \)

Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa toplayalım.

\( \cos(x + y) + \cos(x - y) = 2\cos{x} \cdot \cos{y} \)

\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( x + y = a \)

\( x - y = b \) diyelim.

İki ifade arasında taraf tarafa toplama ve çıkarma işlemleri yaparak \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.

\( x = \dfrac{a + b}{2} \)

\( y = \dfrac{a - b}{2} \)

Bulduğumuz değerleri yukarıda bulduğumuz eşitlikte yerine koyalım.

\( \cos(x + y) + \cos(x - y) = 2\cos{x} \cdot \cos{y} \)

\( \cos{a} + \cos{b} = 2 \cos(\frac{a + b}{2}) \cdot \cos(\frac{a - b}{2}) \)

\( a \) ve \( b \) değişkenlerini yeniden isimlendirerek \( x \) ve \( y \) yazdığımızda sinüs toplam dönüşüm formülünü elde ederiz.

\( \cos{x} + \cos{y} = 2 \cos(\frac{x + y}{2}) \cdot \cos(\frac{x - y}{2}) \)

Kosinüs fark dönüşüm formülü:

Kosinüs toplam ve fark formüllerini taraf tarafa çıkaralım.

\( \cos(x + y) - \cos(x - y) = -2\sin{x} \cdot \sin{y} \)

Yukarıda bulduğumuz değerleri bu eşitlikte yerine koyalım.

\( \cos{a} - \cos{b} = -2 \sin(\frac{a + b}{2}) \cdot \sin(\frac{a - b}{2}) \)

\( a \) ve \( b \) değişkenlerini yeniden isimlendirerek \( x \) ve \( y \) yazdığımızda sinüs fark dönüşüm formülünü elde ederiz.

\( \cos{x} - \cos{y} = -2 \sin(\frac{x + y}{2}) \cdot \sin(\frac{x - y}{2}) \)

Tanjant toplam dönüşüm formülü:

Tanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \tan{x} + \tan{y} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}} \)

\( = \dfrac{\sin{x} \cdot \cos{y} + \cos{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}} \)

Paydaki ifade sinüs toplam formülüdür. Bu ifadenin eşitini yazdığımızda tanjant toplam dönüşüm formülünü elde ederiz.

\( \sin(x + y) = \sin{x} \cdot \cos{y} + \cos{x} \cdot \sin{y} \)

\( \tan{x} + \tan{y} = \dfrac{\sin(x + y)}{\cos{x} \cdot \cos{y}} \)

Tanjant fark dönüşüm formülü:

Tanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \tan{x} - \tan{y} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} - \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}} \)

\( = \dfrac{\sin{x} \cdot \cos{y} - \cos{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}} \)

Paydaki ifade sinüs fark formülüdür. Bu ifadenin eşitini yazdığımızda tanjant fark dönüşüm formülünü elde ederiz.

\( \sin(x - y) = \sin{x} \cdot \cos{y} - \cos{x} \cdot \sin{y} \)

\( \tan{x} - \tan{y} = \dfrac{\sin(x - y)}{\cos{x} \cdot \cos{y}} \)

Kosinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.

\( \cos(x + y) = \cos{x} \cdot \cos{y} - \sin{x} \cdot \sin{y} \)

\( \cos(x - y) = \cos{x} \cdot \cos{y} + \sin{x} \cdot \sin{y} \)

Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa çıkaralım.

\( \cos(x + y) - \cos(x - y) = -2\sin{x} \cdot \sin{y} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki çarpım ifadesini yalnız bırakalım.

\( \sin{x} \cdot \sin{y} = -\frac{1}{2}[\cos(x + y) - \cos(x - y)]\)

Kosinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.

\( \cos(x + y) = \cos{x} \cdot \cos{y} - \sin{x} \cdot \sin{y} \)

\( \cos(x - y) = \cos{x} \cdot \cos{y} + \sin{x} \cdot \sin{y} \)

Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa toplayalım.

\( \cos(x + y) + \cos(x - y) = 2\cos{x} \cdot \cos{y} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki çarpım ifadesini yalnız bırakalım.

\( \cos{x} \cdot \cos{y} = \frac{1}{2}[\cos(x + y) + \cos(x - y)]\)

Sinüs toplam ve fark formüllerinin ispatını "Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri" bölümünde yapmıştık.

\( \sin(x + y) = \sin{x} \cdot \cos{y} + \cos{x} \cdot \sin{y} \)

\( \sin(x - y) = \sin{x} \cdot \cos{y} - \cos{x} \cdot \sin{y} \)

Yukarıdaki iki formülü taraf tarafa toplayalım.

\( \sin(x + y) + \sin(x - y) = 2\sin{x} \cdot \cos{y} \)

Eşitliğin sağ tarafındaki çarpım ifadesini yalnız bırakalım.

\( \sin{x} \cdot \cos{y} = \frac{1}{2}[\sin(x + y) + \sin(x - y)]\)

Tanjant ve kotanjant toplam dönüşüm formüllerinin ispatını yukarıda yapmıştık.

\( \tan{x} + \tan{y} = \dfrac{\sin(x + y)}{\cos{x} \cdot \cos{y}} \)

\( \cot{x} + \cot{y} = \dfrac{\sin(x + y)}{\sin{x} \cdot \sin{y}} \)

Bu iki dönüşüm formülünü birbirine bölelim.

\( \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{\cot{x} + \cot{y}} = \dfrac{\frac{\sin(x + y)}{\cos{x} \cdot \cos{y}}}{\frac{\sin(x + y)}{\sin{x} \cdot \sin{y}}} \)

\( = \dfrac{\sin{x} \cdot \sin{y}}{\cos{x} \cdot \cos{y}} = \tan{x} \cdot \tan{y} \)

Tanjant çarpım dönüşüm formülünü elde etmiş olduk.

\( \tan{x} \cdot \tan{y} = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{\cot{x} + \cot{y}} \)