Trigonometrik İfadelerin Değer Aralığı

Dik kenar uzunlukları ifadesindeki ve katsayıları olan bir dik üçgen çizelim.

Trigonometrik fonksiyonların en büyük/en küçük değeri (ispat)

Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu yazalım.

Dik kenar uzunlukları ve olduğunda oluşan açısının ölçüsüne diyelim.

Bu ve değerlerini ifadesinde yerine koyalım.

İfadeyi düzenleyelim.

Parantez içindeki ifade sinüs toplam formülünün açılımıdır.

Bu şekilde ifadeyi tek bir sinüs ifadesine indirgemiş olduk. Sinüs fonksiyonunun değer aralığı olduğu için ifadesinin de tüm değerleri bu aralıkta olur.

Tüm tarafları ile çarpalım.

Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri , en büyük değeri olur.

Formu

Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir.

olmak üzere,

ÖRNEK:

ifadesinin değer aralığı:

Dik kenar uzunlukları ifadesindeki ve katsayıları olan bir dik üçgen çizelim.

Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu yazalım.

Dik kenar uzunlukları ve olduğunda oluşan açısının ölçüsüne diyelim.

Bu ve değerlerini ifadesinde yerine koyalım.

İfadeyi düzenleyelim.

Parantez içindeki ifade sinüs fark formülünün açılımıdır.

Bu şekilde ifadeyi tek bir sinüs ifadesine indirgemiş olduk. Sinüs fonksiyonunun değer aralığı olduğu için ifadesinin de tüm değerleri bu aralıkta olur.

Tüm tarafları ile çarpalım.

Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri , en büyük değeri olur.

Bu ifadede kosinüs teriminin işareti negatif olduğunda ifadenin değer aralığının yine olduğunu göstermiş olduk. Benzer şekilde, sinüs teriminin işareti negatif olduğunda da ifadenin değer aralığı aynı olur.

Formu

Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir.

olmak üzere,

ise,

ÖRNEK:

ifadesinin değer aralığı:

olduğunu varsayarak ifadesini iki terime ayıralım.

özdeşliğini kullanalım.

Elde ettiğimiz bu ifadesine özdeş ifadenin değer aralığını bulalım.

Sinüs fonksiyonu aralığında değer alabilir.

Negatif değerlerin karesi pozitif olduğu için sinüs fonksiyonunun karesi aralığında değer alabilir.

Tüm tarafları ile çarpalım.

Tüm taraflara ekleyelim.

Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri , en büyük değeri olur.

Formu

Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir.

olmak üzere,

Sinüs iki kat açı formülünü yazalım.

Elde ettiğimiz bu ifadesine özdeş ifadenin değer aralığını bulalım.

Sinüs fonksiyonu aralığında değer alabilir.

Tüm tarafları 'ye bölelim.

Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri , en büyük değeri olur.

Formu

Bu formdaki ifadelerin değer aralığı aşağıdaki gibidir. Tanjant ve kotanjant fonksiyonları pozitif sonsuza kadar değer alabildikleri için bu ifadelerin üst sınırı yoktur.

olmak üzere,

ÖRNEK:

ifadesinin değer aralığı:

ve sayılarının aritmetik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.

Bu iki sayının geometrik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.

Ortalama bölümünde ispatıyla birlikte verdiğimiz üzere, bir sayı kümesinin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasından büyüktür ya da ona eşittir.

Verilen trigonometrik ifadedeki terimleri aritmetik ve geometrik ortalamasını alacağımız değerler olarak alalım.

Bu değerler için aritmetik ortalama - geometrik ortalama eşitsizliğini yazalım.

özdeşliğini kullanalım.

Buna göre verilen ifadenin en küçük değeri olur.

SORU 1 :

olmak üzere, 'nın değer aralığı nedir?

Eşitlikte 'yı yalnız bırakalım.

Kosinüs fonksiyonu değer aralığından başlayarak adım adım ifadesinin değer aralığını bulalım.

Kosinüs fonksiyonu aralığında değer alabilir.

Tüm tarafları 3 ile çarpalım.

Tüm taraflardan 4 çıkaralım.

Tüm tarafları 2'ye bölelim.

Eşitsizliğin ortasındaki ifade 'ya eşittir.

bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2 :

veriliyor.

Aşağıdaki ifadelerin değer aralıklarını bulunuz.

(a)

(b)

(c)

formundaki bir ifadenin değer aralığı aşağıdaki gibidir.

fonksiyonunun değer aralığını bulalım.

(a) seçeneği:

değer aralığı eşitsizliğinde tarafların karesini alalım.

(b) seçeneği:

değer aralığı eşitsizliğinde taraflara 7 ekleyelim.

Eşitsizliğin taraflarını 2'ye bölelim.

(c) seçeneği:

değer aralığı eşitsizliğinde tarafları -2 ile çarpalım.

Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3 :

ifadesinin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

formundaki bir ifadenin değer aralığı aşağıdaki gibidir.

fonksiyonunun değer aralığını bulalım.

diyelim.

Eşitsizliğin taraflarından 3 çıkardığımızda tanımını elde ederiz.

fonksiyonunun alabileceği tam sayı değer sayısı terim sayısı bulma formülü ile olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4 :

olduğuna göre, 'nın alabileceği değer aralığını bulunuz.

Kosinüs ifadesini iki terime ayıralım.

özdeşliğini kullanalım.

Kosinüs fonksiyonu aralığında değer alabilir.

Negatif değerlerin karesi pozitif olduğu için kosinüs fonksiyonunun karesi aralığında değer alabilir.

Tüm tarafları 4'e bölelim.

Eşitsizliğin ortasındaki ifade 'ya eşittir.

bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5 :

ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

ifadesinin en küçük değeri için 0 olur, ifade iki tam kare ifadenin toplamı olduğu için toplam negatif olamaz.

Buna göre ifadesinin en küçük değeri 2'dir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6 :

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Sinüs fonksiyonu aralığında değer alabilir.

Adım adım verilen ifadenin değer aralığını bulalım.

Buna göre fonksiyonunun değer aralığı aşağıdaki gibidir.

Sorudaki ifadenin değer aralığını bulalım.

Bir eşitsizlikte tarafların çarpmaya göre tersini alırsak eşitsizlik yön değiştirir.

O halde verilen ifadenin alabileceği en küçük değer olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7 :

fonksiyonunun alamayacağı tam sayı değerlerini bulunuz.

Kosekant ifadesini sinüs cinsinden yazalım.

Sinüs fonksiyonu aralığında değer alabilir.

Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.

ya da

Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.

ya da

Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.

ya da

Buna göre fonksiyonu değerlerini alamaz.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 8 :

fonksiyonunun alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.

Sinüs fonksiyonu aralığında değer alabilir.

Eşitsizliğin taraflarının 5 tabanında üssünü yazalım.

Eşitsizliğin taraflarına 2 ekleyelim.

Buna göre fonksiyonu tam sayı değerlerini alabilir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 9 :

Aşağıdaki fonksiyonun alabileceği en büyük reel sayı değerini bulunuz.

Kosinüs fonksiyonu aralığında değer alabilir.

fonksiyonunu elde etmek için bu aralığa adım adım gerekli işlemleri uygulayalım.

Buna göre fonksiyonunun alabileceği en büyük reel sayı değer 9'dur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 10 :

fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?