Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri

Sinüs fark formülünü kullanalım.

\( \sin(x - y) = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y} \)

Formülde \( x = 45° \) ve \( y = 30° \) verelim.

\( \sin(45° - 30°) = \sin{45°}\cos{30°} - \cos{45°}\sin{30°} \)

Trigonometrik ifadelerin değerlerini yazalım.

\( \sin{15°} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \)

\( = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)

Kosekantı sinüs cinsinden yazalım.

\( \csc{15°} = \dfrac{1}{\sin{15°}} \)

\( = \dfrac{1}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \)

Paydayı rasyonel hale getirmek için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.

\( = \dfrac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} \)

\( = \sqrt{6} + \sqrt{2} \) bulunur.

Tanjant toplam formülünü kullanalım.

\( \tan(x + y) = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x}\tan{y}} \)

Formülde \( x = 60° \) ve \( y = 45° \) verelim.

\( \tan(60° + 45°) = \dfrac{\tan{60°} + \tan{45°}}{1 - \tan{60°}\tan{45°}} \)

Trigonometrik ifadelerin değerlerini yazalım.

\( \tan{105°} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} \)

\( = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \)

Paydayı rasyonel hale getirmek için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.

\( = \dfrac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} \)

\( = \dfrac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{-2} \)

\( = -2 - \sqrt{3} \) bulunur.

Sinüs değeri \( \frac{7}{25} \) olan \( x \) açısının karşı kenarına \( 7k \), hipotenüse \( 25k \) dersek bu açının komşu kenarı Pisagor teoremine göre \( 24k \) olur.

\( (7k)^2 + (24k)^2 = (25k)^2 \)

\( \cos{x} = \dfrac{24k}{25k} = \dfrac{24}{25} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)

\( = 2 \cdot \dfrac{7}{25} \cdot \dfrac{24}{25} = \dfrac{336}{625} \) bulunur.

\( x \) açısının tanjant değeri \( \frac{3}{4} \) ise diğer trigonometrik oranları 3-4-5 üçgenini kullanarak bulabiliriz.

\( \sin{x} = \dfrac{3}{5}, \quad \cos{x} = \dfrac{4}{5} \)

\( y \) açısının kotanjant değeri \( \frac{8}{15} \) ise diğer trigonometrik fonksiyon değerlerini 8-15-17 üçgenini kullanarak bulabiliriz.

\( \sin{y} = \dfrac{15}{17}, \quad \cos{y} = \dfrac{8}{17} \)

Sinüs fark formülünü kullanalım.

\( \sin(x - y) = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y} \)

\( = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{8}{17} - \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{15}{17} \)

\( = -\dfrac{36}{85} \) bulunur.

Kosinüs toplam ve fark formüllerini kullanalım.

\( \cos(2x)\cos{\frac{\pi}{3}} - \sin(2x)\sin{\frac{\pi}{3}} + \cos(2x)\cos{\frac{\pi}{3}} + \sin(2x)\sin{\frac{\pi}{3}} \)

\( = 2\cos(2x)\cos{\frac{\pi}{3}} \)

\( = 2\cos(2x) \cdot \dfrac{1}{2} \)

\( = \cos(2x) \) bulunur.

Kosinüs ve sinüs toplam formüllerini kullanalım.

\( \sqrt{2}(\sin{x}\cos{\frac{\pi}{4}} + \cos{x}\sin{\frac{\pi}{4}}) - \sqrt{2}(\cos{x}\cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{x}\sin{\frac{\pi}{4}}) \)

\( = \sqrt{2}(\sin{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2}(\cos{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \sin{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}) \)

\( = \sin{x} + \cos{x} - \cos{x} + \sin{x} \)

\( = 2\sin{x} \) bulunur.

Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.

\( (1 - 2\sin^2{x}) + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \cdot 2\sin{x}\cos{x} \)

\( = 1 - 2\sin^2{x} + 2\sin^2{x} \)

\( = 1 \) bulunur.

\( \frac{3\pi}{8} \) açısının kosinüs değerini \( \frac{3\pi}{4} \) açısının kosinüs değerini ve kosinüs iki kat açı formülünü kullanarak bulalım.

\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)

\( x = \frac{3\pi}{8} \) yazalım.

\( \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = 2\cos^2{\frac{3\pi}{8}} - 1 \)

\( \cos{\frac{3\pi}{4}} = 2\cos^2{\frac{3\pi}{8}} - 1 \)

Kosinüs II. bölgede negatiftir.

\( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\cos^2{\frac{3\pi}{8}} - 1 \)

\( 2\cos^2{\frac{3\pi}{8}} = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \cos^2{\frac{3\pi}{8}} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} \)

\( \cos{\frac{3\pi}{8}} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \)

Elde ettiğimiz değerin ters işaretlisi de bir üstteki satırdaki eşitliği sağlayacaktır, ancak \( \frac{3\pi}{8} \) açısı I. bölgede olduğu için kosinüs değeri pozitif olmalıdır.

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)

\( x = \frac{\pi}{8} \) yazalım.

\( \cos{\frac{\pi}{4}} = 1 - 2\sin^2{\frac{\pi}{8}} \)

\( \sin^2{\frac{\pi}{8}} = \dfrac{1 - \cos{\frac{\pi}{4}}}{2} \)

\( = \dfrac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \)

\( = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} \)

\( \frac{\pi}{8} \) açısı I. bölgede olduğu için sinüs değeri pozitif olur.

\( \sin{x} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) bulunur.

Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \tan(2x) = \dfrac{2\tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \)

\( x = \frac{\pi}{8} \) yazalım.

\( \tan{\frac{\pi}{4}} = \dfrac{2\tan{\frac{\pi}{8}}}{1 - \tan^2{\frac{\pi}{8}}} \)

\( 1 = \dfrac{2\tan{\frac{\pi}{8}}}{1 - \tan^2{\frac{\pi}{8}}} \)

\( \tan(\frac{\pi}{8}) = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( 1 = \dfrac{2t}{1 - t^2} \)

\( t^2 + 2t - 1 = 0 \)

\( (t + 1)^2 - 2 = 0 \)

\( (t + 1)^2 = 2 \)

\( t = \sqrt{2} - 1 \)

\( t = \tan{\frac{\pi}{8}} \) yazalım.

\( \tan{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{2} - 1 \) bulunur.

\( x \) açısının sinüs değeri \( \frac{5}{13} \) ise diğer trigonometrik oranları 5-12-13 üçgenini kullanarak bulabiliriz.

\( x \) açısının bulunduğu II. bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatiftir.

\( \sin{x} = \dfrac{5}{13}, \quad \cos{x} = -\dfrac{12}{13} \)

\( y \) açısının sinüs değeri \( -\frac{24}{25} \) ise diğer trigonometrik oranları 7-24-25 üçgenini kullanarak bulabiliriz.

\( y \) açısının bulunduğu III. bölgede sinüs ve kosinüs negatiftir.

\( \sin{y} = -\dfrac{7}{25}, \quad \cos{y} = -\dfrac{24}{25} \)

Sinüs toplam formülünü kullanalım.

\( \sin(x + y) = \sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y} \)

\( = \dfrac{5}{13} \cdot (-\dfrac{24}{25}) + (-\dfrac{12}{13}) \cdot (-\dfrac{7}{25}) \)

\( = -\dfrac{120}{325} + \dfrac{84}{325} \)

\( = -\dfrac{36}{325} \) bulunur

İki tarafın karesini alalım.

\( (\sin{x} + \cos{x})^2 = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 \)

\( \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = \dfrac{4}{9} \)

\( 1 + 2\sin{x}\cos{x} = \dfrac{4}{9} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( 2\sin{x}\cos{x} = \sin(2x) \)

\( \sin(2x) = -\dfrac{5}{9} \) bulunur.

\( 130° \) II. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.

\( \cos{130°} = \cos(180° - 50°) = -\cos{50°} \)

Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( \sin{40°} = \cos{50°} \)

\( \cos{130°} - \sin{40°} = -\cos{50°} - \cos{50°} = -2\cos{50°} \)

\( = -2\cos(2 \cdot 25°) \)

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = -2(2\cos^2{25°} - 1) \)

\( = -2(2x^2 - 1) \)

\( = -4x^2 + 2 \) bulunur.

Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( \sin{80°} = \cos{10°} \)

\( \cos{20°} \) değerini kullanarak \( \cos{10°} \) değerini bulmak için kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)

\( \cos{20°} = 2\cos^2{10°} - 1 \)

\( x = 2\cos^2{10°} - 1 \)

\( \cos^2{10°} = \dfrac{x + 1}{2} \)

\( 10° \) I. bölgede olduğu için kosinüs değeri pozitiftir.

\( \cos{10°} = \sin{80°} = \sqrt{\dfrac{x + 1}{2}} \) bulunur.

\( \tan{x} = k \) diyelim.

Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \tan(2x) = \dfrac{2 \tan{x}}{1 - \tan^2{x}} \)

\( \dfrac{8}{15} = \dfrac{2k}{1 - k^2} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 8 - 8k^2 = 30k \)

\( 4k^2 + 15k - 4 = 0 \)

\( (4k - 1)(k + 4) = 0 \)

\( k = \frac{1}{4} \) veya \( k = -4 \)

\( \tan{x} \)'in pozitif değeri isteniyor.

\( k = \tan{x} = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

Tanjant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} - \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \dfrac{3}{5} \)

\( \dfrac{\sin^2{x} - \cos^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}} = \dfrac{3}{5} \)

Paydaki ifade için kosinüs, paydadaki ifade için sinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.

\( \dfrac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \dfrac{3}{5} \)

\( \dfrac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = -\dfrac{3}{10} \)

Eşitliğin iki tarafının çarpmaya göre tersini alalım.

\( \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = -\dfrac{10}{3} \)

\( \tan(2x) = -\dfrac{10}{3} \) bulunur.

Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanarak açıların sinüs değerlerini bulalım.

\( \cos{a} = \dfrac{4}{5} \Longrightarrow \sin{a} = \dfrac{3}{5} \)

\( \cos{b} = \dfrac{5}{13} \Longrightarrow \sin{b} = \dfrac{12}{13} \)

Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.

\( a + b + c = 180° \)

\( c = 180° - (a + b) \)

Ölçüleri eşit açıların trigonometrik değerleri de eşittir.

\( \sin{c} = \sin(180° - (a + b)) \)

Sinüs II. bölgede pozitiftir.

\( = \sin(a + b) \)

Sinüs toplam formülünü kullanalım.

\( = \sin{a} \cdot \cos{b} + \cos{a} \cdot \sin{b} \)

\( = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{13} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{63}{65} \) bulunur.

Tanjant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \cot{20°} + \tan{10°} = \dfrac{\cos{20°}}{\sin{20°}} + \dfrac{\sin{10°}}{\cos{10°}} \)

Paydaları eşitleyelim.

\( = \dfrac{\cos{20°}\cos{10°} + \sin{20°}\sin{10°}}{\sin{20°}\cos{10°}} \)

Kosinüs fark formülünü kullanarak payı sadeleştirelim.

\( = \dfrac{\cos(20° - 10°)}{\sin{20°}\cos{10°}} = \dfrac{\cos{10°}}{\sin{20°}\cos{10°}} \)

\( = \dfrac{1}{\sin{20°}} = \csc{20°} \) bulunur.

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos{x}\cos(2x)(2\cos^2(2x) - 1) \)

\( = 2\cos{x}\cos^3(2x) - \cos{x}\cos(2x) \)

Tekrar kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = 2\cos{x}(2\cos^2{x} - 1)^3 - \cos{x}(2\cos^2{x} - 1) \)

\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} \) yazalım.

\( = 2 \cdot \dfrac{1}{2}[2(\dfrac{1}{2})^2 - 1]^3 - \dfrac{1}{2} \cdot [2(\dfrac{1}{2})^2 - 1] \)

\( = 2 \cdot \dfrac{1}{2}(-\dfrac{1}{2})^3 - \dfrac{1}{2} \cdot (-\dfrac{1}{2}) \)

\( = -\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8} \) bulunur.

Tanjant ifadesini sinüsün kosinüse oranı şeklinde yazalım.

\( \dfrac{1 - \frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{1 + \frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}} \)

\( = \dfrac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}} - \frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}} + \frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}} \)

\( = \dfrac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}} \)

Pay ve paydadaki ifadelerin paydaları sadeleşir.

\( = \dfrac{\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}}} \)

Payda kosinüs iki kat açı formülünü, paydada Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = \dfrac{\cos{x}}{1} \)

\( = \cos{x} \) bulunur.

Parantezli ifadelerin açılımını yazalım.

\( (\cos{a} + \cos{b})^2 + (\sin{a} - \sin{b})^2 \)

\( = \cos^2{a} + 2 \cdot \cos{a} \cdot \cos{b} + \cos^2{b} \) \( + \sin^2{a} - 2 \cdot \sin{a} \cdot \sin{b} + \sin^2{b} \)

Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanarak ifadeyi sadeleştirelim.

\( = 1 + 1 + 2(\cos{a} \cdot \cos{b} - \sin{a} \cdot \sin{b}) \)

Parantez içindeki ifade kosinüs toplam formülüdür.

\( = 2 + 2\cos(a + b) \)

\( = 2 + 2\cos{\dfrac{\pi}{6}} \)

\( = 2 + 2\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( = 2 + \sqrt{3} \) bulunur.

Kosinüs toplam ve fark formüllerini kullanalım.

\( \cos{x}\cos{\frac{\pi}{3}} - \sin{x}\sin{\frac{\pi}{3}} = 3\cos{x}\cos{\frac{\pi}{3}} + 3\sin{x}\sin{\frac{\pi}{3}} \)

Trigonometrik ifadelerin değerlerini yazalım.

\( \cos{x} \cdot \dfrac{1}{2} - \sin{x} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\cos{x} \cdot \dfrac{1}{2} + 3\sin{x} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım.

\( \cos{x} - \sqrt{3}\sin{x} = 3\cos{x} + 3\sqrt{3}\sin{x} \)

\( 4\sqrt{3}\sin{x} = -2\cos{x} \)

\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = -\dfrac{2}{4\sqrt{3}} \)

\( \tan{x} = -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{6} \) bulunur.

Kosinüs iki kat açı formülünün iki formu aşağıdaki gibidir.

\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)

\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)

Bu iki formülden birinciyi payda, ikinciyi paydada kullanalım.

\( \dfrac{1 + \cos{24°}}{1 - \cos{24°}} \)

\( = \dfrac{1 + 2\cos^2{12°} - 1}{1 - (1 - 2\sin^2{12°})} \)

\( = \dfrac{2\cos^2{12°}}{2\sin^2{12°}} \)

\( = \cot^2{12°} \) bulunur.

Tanjant toplam formülünü yazalım.

\( \tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha} \cdot \tan{\beta}} \)

\( \tan{\alpha} \cdot \tan{\beta} \) çarpımını bulmak için \( \cot{\alpha} + \cot{\beta} = 5 \) eşitliğini kullanalım.

\( \cot{\alpha} + \cot{\beta} = 5 \)

\( \dfrac{1}{\tan{\alpha}} + \dfrac{1}{\tan{\beta}} = 5 \)

\( \dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{\tan{\alpha} \cdot \tan{\beta}} = 5 \)

\( \dfrac{3}{\tan{\alpha} \cdot \tan{\beta}} = 5 \)

\( \tan{\alpha} \cdot \tan{\beta} = \dfrac{3}{5} \)

Bu değeri istenen ifadede yerine koyalım.

\( \tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha} \cdot \tan{\beta}} \)

\( = \dfrac{3}{1 - \frac{3}{5}} \)

\( = \dfrac{15}{2} \) bulunur.

Tanjant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \dfrac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \)

Kosinüs ve sinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.

\( = \dfrac{2(\cos^2{x} - \sin^2{x})}{2\sin{x}\cos{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \)

\( = \dfrac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}} - \dfrac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \)

\( = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \)

\( = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \cot{x} \) bulunur.

Terimlerin paydalarını eşitleyelim.

\( \dfrac{\sin(2x)\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}} - \dfrac{\cos(2x)\sin{x}}{\cos{x}\sin{x}} \)

\( = \dfrac{\sin(2x)\cos{x} - \cos(2x)\sin{x}}{\cos{x}\sin{x}} \)

Paydaki ifade sinüs fark formülünün açılımıdır.

\( = \dfrac{\sin(2x - x)}{\sin{x}\cos{x}} \)

\( = \dfrac{\sin{x}}{\sin{x}\cos{x}} \)

\( = \dfrac{1}{\cos{x}} = \sec{x} \) bulunur.

Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.

\( \dfrac{(2\cos^2{x} - 1) + \cos{x} + 1}{2\sin{x}\cos{x} + \sin{x}} \)

\( = \dfrac{2\cos^2{x} + \cos{x}}{2\sin{x}\cos{x} + \sin{x}} \)

\( = \dfrac{\cos{x}(2\cos{x} + 1)}{\sin{x}(2\cos{x} + 1)} \)

\( = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \cot{x} \) bulunur.

Terimlerin paydalarını eşitleyelim.

\( \dfrac{\sin(3x)\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}} - \dfrac{\cos(3x)\sin{x}}{\cos{x}\sin{x}} \)

\( = \dfrac{\sin(3x)\cos{x} - \cos(3x)\sin{x}}{\cos{x}\sin{x}} \)

Paydaki ifade sinüs fark formülünün açılımıdır.

\( = \dfrac{\sin(3x - x)}{\cos{x}\sin{x}} = \dfrac{\sin(2x)}{\cos{x}\sin{x}} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = \dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{\cos{x}\sin{x}} = 2 \) bulunur.

Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.

\( \dfrac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\sqrt{1 + 2\sin{x}\cos{x}}} \)

Paydada \( 1 = \sin^2{x} + \cos^2{x} \) şeklinde yazalım.

\( = \dfrac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\sqrt{\sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x}}} \)

\( = \dfrac{(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x})}{\sqrt{(\sin{x} + \cos{x})^2}} \)

\( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığında sinüs ve kosinüs negatif değer almadıkları için toplamları pozitif olur.

\( = \dfrac{(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x})}{(\sin{x} + \cos{x})} \)

\( = \cos{x} - \sin{x} \) bulunur.

İki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sqrt{1 - 2\sin{x}\cos{x}} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = \sqrt{\sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x}} \)

\( = \sqrt{(\sin{x} - \cos{x})^2} \)

\( = \abs{\sin{x} - \cos{x}} \) bulunur.

\( \cos{20°}\cos{40°}\cos{80°} \)

Payı ve paydayı \( 2\sin{20°} \) ile çarpalım.

\( = \dfrac{2\sin{20°}\cos{20°}\cos{40°}\cos{80°}}{2\sin{20°}} \)

Paya sinüs iki kat açı formülünü uygulayalım.

\( 2\sin{20°}\cos{20°} = \sin{40°} \)

\( = \dfrac{\sin{40°}\cos{40°}\cos{80°}}{2\sin{20°}} \)

Paya tekrar sinüs iki kat açı formülünü uygulayalım.

\( 2\sin{40°}\cos{40°} = \sin{80°} \)

\( = \dfrac{\sin{80°}\cos{80°}}{4\sin{20°}} \)

Paya tekrar sinüs iki kat açı formülünü uygulayalım.

\( 2\sin{80°}\cos{80°} = \sin{160°} \)

\( = \dfrac{\sin{160°}}{8\sin{20°}} \)

Sinüs II. bölgede pozitiftir.

\( \sin{160°} = \sin(180° - 20°) = \sin{20°} \)

\( = \dfrac{\sin{20°}}{8\sin{20°}} = \dfrac{1}{8} \) bulunur.

Küpler toplamı formülünü kullanalım.

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\( \cos^6{x} + \sin^6{x} = (\cos^2{x})^3 + (\sin^2{x})^3 \)

\( = (\cos^2{x} + \sin^2{x})[(\cos^2{x})^2 - \cos^2{x}\sin^2{x} + (\sin^2{x})^2] \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = (\cos^2{x})^2 - \cos^2{x}\sin^2{x} + (\sin^2{x})^2 \)

\( a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab \) özdeşliğini kullanalım.

\( = (\cos^2{x} + \sin^2{x})^2 - 3\cos^2{x}\sin^2{x} \)

Tekrar Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = 1^2 - 3\cos^2{x}\sin^2{x} \)

\( = 1 - \dfrac{3}{4}(4\cos^2{x}\sin^2{x}) \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = 1 - \dfrac{3}{4}\sin^2(2x) \)

\( \sin(2x) = \dfrac{2}{5} \) yazalım.

\( = 1 - \dfrac{3}{4} \cdot (\dfrac{2}{5})^2 \)

\( = 1 - \dfrac{3}{25} = \dfrac{22}{25} \) bulunur.

Verilen ifadeyi düzenleyelim.

\( \sin^4{x} + \cos^4{x} = (\sin^2{x} + \cos^2{x})^2 - 2\sin^2{x}\cos^2{x} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)

\( = 1^2 - 2\sin^2{x}\cos^2{x} \)

\( = 1 - 2(\sin{x}\cos{x})^2 \)

\( = 1 - \dfrac{1}{2}(2\sin{x}\cos{x})^2 \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin^4{x} + \cos^4{x} = 1 - \dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \)

Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.

\( -1 \le \sin(2x) \le 1 \)

Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.

\( 0 \le \sin^2(2x) \le 1 \)

Eşitsizliğin taraflarını 2'ye bölelim.

\( 0 \le \dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \le \dfrac{1}{2} \)

Eşitsizliğin taraflarını -1 ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir.

\( -\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \le 0 \)

Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.

\( \dfrac{1}{2} \le 1 - \dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \le 1 \)

Ortadaki ifade en küçük değeri sorulan ifadeye eşittir.

\( \dfrac{1}{2} \le \sin^4{x} + \cos^4{x} \le 1 \)

Buna göre verilen ifadenin alabileceği en küçük değer \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur.

\( \sin{10°}\sin{30°}\sin{50°}\sin{70°} \)

Tümler açıların sinüs - kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( = \cos{80°}\cos{60°}\cos{40°}\cos{20°} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \) ise \( \cos{x} = \dfrac{\sin(2x)}{2\sin{x}} \) olur.

\( = \dfrac{\sin{160°}}{2\sin{80°}} \cdot \dfrac{\sin{120°}}{2\sin{60°}} \cdot \dfrac{\sin{80°}}{2\sin{40°}} \cdot \dfrac{\sin{40°}}{2\sin{20°}} \)

\( = \dfrac{\sin{160°}\sin{120°}}{16\sin{60°}\sin{20°}} \)

Bütünler açıların sinüs değerleri birbirine eşittir.

\( = \dfrac{\sin{20°}\sin{60°}}{16\sin{60°}\sin{20°}} \)

\( = \dfrac{1}{16} \) bulunur.

Kosinüs II. bölgede negatiftir.

\( \cos(90° + x) = -\sin{x} \)

Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( \sin(90° - x) = \cos{x} \)

Bu değerleri ifadede yerlerine yazalım.

\( 8(-\sin{x}) \cdot \cos^3{x} - 8\cos{x} \cdot (-\sin^3{x}) \)

\( = -8\sin{x}\cos^3{x} + 8\cos{x}\sin^3{x} \)

\( = 8\cos{x}\sin^3{x} - 8\sin{x}\cos^3{x} \)

İfadeyi \( 8\sin{x}\cos{x} \) parantezine alalım.

\( = 8\sin{x}\cos{x} \cdot (\sin^2{x} - \cos^2{x}) \)

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = -8\sin{x}\cos{x}\cos{(2x)} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = -4\sin(2x)\cos(2x) \)

Tekrar sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = -2\sin(4x) \) bulunur.

\( \sqrt{3} = \tan{60°} \) yazalım.

\( \cos{15°} + \tan{60°} \cdot \sin{15°} \)

\( = \cos{15°} + \dfrac{\sin{60°}}{\cos{60°}} \cdot \sin{15°} \)

Terimleri aynı paydada birleştirelim.

\( = \dfrac{\cos{15°} \cdot \cos{60°} + \sin{15°} \cdot \sin{60°}}{\cos{60°}} \)

Paydaki ifade kosinüs fark formülünün açılımıdır.

\( = \dfrac{\cos(60° - 15°)}{\cos{60°}} \)

\( = \dfrac{\cos{45°}}{\cos{60°}} = \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} \)

\( = \sqrt{2} \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafını katsayıların kareleri toplamı 1 olacak şekilde 5'e bölelim.

\( \sin{x} \cdot \dfrac{3}{5} - \cos{x} \cdot \dfrac{4}{5} = 1 \)

Sinüs fark formülü aşağıdaki gibidir.

\( \sin(x - y) = \sin{x} \cdot \cos{y} \) \( - \cos{x} \cdot \sin{y} \)

İfadeyi sinüs fark formülünün açılımına benzetmek için aşağıdaki trigonometrik değerlere sahip \( y \) açısı tanımlayalım. Değerlerin kareleri toplamı 1 olduğu için böyle bir açı olduğundan emin olabiliriz.

\( \cos{y} = \frac{3}{5}, \quad \sin{y} = \frac{4}{5} \) olmak üzere,

\( (\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = 1^2 \)

\( \sin(x - y) = \sin{x} \cdot \cos{y} - \cos{x} \cdot \sin{y} \)

\( \sin(x - y) = 1 \)

Sinüs değeri 1 olan açı \( \frac{\pi}{2} \)'dir.

\( x - y = \frac{\pi}{2} \)

\( x = \frac{\pi}{2} + y \)

\( x \) açısının tanjant değerini bulalım.

Tanjant II. bölgede negatiftir.

\( \tan{x} = \tan(\frac{\pi}{2} + y) = -\cot{y} \)

Sinüs değeri \( \frac{4}{5} \) olan \( y \) açısının karşı kenarına \( 4k \), hipotenüse \( 5k \) dersek komşu kenar \( 3k \) ve kotanjant değeri \( \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4} \) olur.

\( = -\dfrac{3}{4} \) bulunur.

Verilen ifadeyi tanjant toplam formülüne benzetelim.

\( 1 = \tan{45°} \) yazalım.

\( \dfrac{\tan{45°} + \tan{15°}}{1 - \tan{45°}\tan{15°}} \)

\( x = 45° \) ve \( y = 15° \) olarak kabul edersek bu ifade \( \tan(45° + 15°) \) toplam formülünün açılımıdır.

\( \tan(45° + 15°) = \dfrac{\tan{45°} + \tan{15°}}{1 - \tan{45°}\tan{15°}} \)

\( = \tan{60°} = \sqrt{3} \) bulunur.

\( \sqrt{3} = \tan{60°} = \dfrac{\sin{60°}}{\cos{60°}} \)

\( \sqrt{3} \) değerini verilen ifadede yerine koyalım.

\( \dfrac{1}{\cos{50°}} - \dfrac{\sin{60°}}{\cos{60°} \cdot \sin{50°}} \)

Paydaları eşitleyelim.

\( = \dfrac{\sin{50°} \cdot \cos{60°} - \cos{50°} \cdot \sin{60°}}{\sin{50°} \cdot \cos{50°} \cdot \cos{60°}} \)

Paydaki ifadeye sinüs fark formülünü, paydadaki ifadeye sinüs iki kat açı formülünü uygulayalım.

Ayrıca \( \cos{60°} = \frac{1}{2} \)'dir.

\( = \dfrac{\sin(50° - 60°)}{\frac{1}{2} \cdot \sin{100°} \cdot \frac{1}{2}} \)

\( = \dfrac{4\sin(-10°)}{\sin{100°}} \)

Sinüs II. bölgede pozitif, IV. bölgede negatiftir.

\( \sin(-10°) = \sin{350°} \)

\( = \sin(360° - 10°) = -\sin{10} \)

\( \sin{100°} = \sin(180° - 80°) = \sin{80°} \)

\( = -\dfrac{4\sin{10°}}{\sin{80°}} \)

Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.

\( = -\dfrac{4\sin{10°}}{\cos{10°}} \)

\( = -4\tan{10°} \) bulunur.

\( \cos{\alpha} \) için iki kat açı formülünü yazalım.

\( \cos{\alpha} = 1 - 2\sin^2{\frac{\alpha}{2}} \)

\( \sin{\frac{\alpha}{2}} = x \) yazalım.

\( \cos{\alpha} = 1 - 2x^2 \)

\( x \)'i yalnız bırakalım.

\( x^2 = \dfrac{1 - \cos{\alpha}}{2} \)

\( x = \sqrt{\dfrac{1 - \cos{\alpha}}{2}} \) olarak bulunur.

Tanjant toplam formülünü yazalım.

\( \tan(x + y) = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x} \cdot \tan{y}} \)

\( x + y = \dfrac{\pi}{4} \) ise,

\( \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x} \cdot \tan{y}} \)

\( 1 - \tan{x} \cdot \tan{y} = \tan{x} + \tan{y} \)

\( \tan{x} + \tan{y} + \tan{x} \cdot \tan{y} = 1 \)

Soruda verilen ifadede payın açılımını yazalım.

\( \dfrac{(1 + \tan{x}) \cdot (1 + \tan{y})}{\tan(x + y)} \)

\( = \dfrac{1 + \tan{x} + \tan{y} + \tan{x} \cdot \tan{y}}{1} \)

Paydaki trigonometrik ifadenin değerini yukarıda 1 olarak bulmuştuk.

\( = 1 + 1 = 2 \)

Sinüs toplam ve fark formüllerini kullanalım.

\( \dfrac{2(\sin{x}\cos{60°} + \sin{60°}\cos{x}) - \sqrt{3}\cos{x}}{\sqrt{2}\cos{x} - 2(\sin{45°}\cos{x} - \cos{45°}\sin{x})} \)

\( = \dfrac{2(\frac{1}{2}\sin{x} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}) - \sqrt{3}\cos{x}}{\sqrt{2}\cos{x} - 2(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin{x})} \)

\( = \dfrac{\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} - \sqrt{3}\cos{x}}{\sqrt{2}\cos{x} - \sqrt{2}\cos{x} + \sqrt{2}\sin{x}} \)

\( = \dfrac{\sin{x}}{\sqrt{2}\sin{x}} \)

\( = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) bulunur.

\( a \le b \) olmak üzere, üçgenin dik kenarlarına \( a \) ve \( b \), üçgenin hipotenüsüne \( c \) diyelim.

Eş üçgenlerin her birinin alanının içteki karenin alanına oranını bulalım.

Üçgenlerden her birinin alanı büyük karenin alanının onikide biri olduğuna göre, üçgenlerin toplam alanı büyük karenin alanının \( 4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{3} \)'ü olur.

Dolayısıyla, içteki karenin alanı büyük karenin alanının \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)'ü olur.

\( \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{1 \cdot 3}{12 \cdot 2} = \dfrac{1}{8} \)

Buna göre, eş üçgenlerin her birinin alanı içteki karenin alanının sekizde biridir.

Bir üçgenin alanı \( \frac{ab}{2} \), içteki karenin alanı \( c^2 \) ile hesaplanır.

\( \dfrac{\frac{ab}{2}}{c^2} = \dfrac{1}{8} \)

\( c^2 = 4ab \)

\( a \) ve \( b \) uzunluklarını \( x \) cinsinden yazalım.

\( a = c\sin{x} \)

\( b = c\cos{x} \)

Bu değerleri denklemde yerine yazalım.

\( c^2 = 4(c\sin{x})(c\cos{x}) \)

\( c^2 = 4c^2\sin{x}\cos{x} \)

\( 1 = 4\sin{x}\cos{x} \)

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)

\( 1 = 2\sin(2x) \)

\( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \)

\( a \le b \) olarak kabul ettiğimiz için \( 2x \) dar açıdır.

\( 2x = 30° \)

\( x = 15° \) bulunur.

\( \frac{\cot{\beta}}{1 - \csc{\beta}} \) ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \tan{\alpha} = \dfrac{\frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}}{1 - \frac{1}{\sin{\beta}}} \)

İfadenin payını ve paydasını \( \sin{\beta} \) ile çarpalım.

\( = \dfrac{\cos{\beta}}{\sin{\beta} - 1} \)

\( \cot(2\alpha) \) ifadesini \( \tan{\alpha} \) cinsinden yazalım.

Tanjant iki kat açı formülünü yazalım.

\( \tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan{\alpha}}{1 - \tan^2{\alpha}} \)

\( \tan(2\alpha) \cdot \cot(2\alpha) = 1 \) olduğuna göre,

\( \cot(2\alpha) = \dfrac{1 - \tan^2{\alpha}}{2\tan{\alpha}} \)

\( \tan{\alpha} \) ifadesinin yukarıda bulduğumuz karşılığını bu denklemde yerine koyalım.

\( = \dfrac{1 - (\frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta} - 1})^2}{2\frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta} - 1}} \)

\( = \dfrac{\frac{\sin^2{\beta} - 2\sin{\beta} + 1 - \cos^2{\beta}}{(\sin{\beta} - 1)^2}}{\frac{2\cos{\beta}}{\sin{\beta} - 1}} \)

\( 1 \) yerine \( \sin^2{\beta} + \cos^2{\beta} \) yazalım.

\( = \dfrac{\sin^2{\beta} - 2\sin{\beta} + \sin^2{\beta} + \cos^2{\beta} - \cos^2{\beta}}{(\sin{\beta} - 1)2\cos{\beta}} \)

\( = \dfrac{2\sin^2{\beta} - 2\sin{\beta}}{(\sin{\beta}- 1)2\cos{\beta}} \)

\( = \dfrac{2\sin{\beta} \cdot (\sin{\beta} - 1)}{2\cos{\beta} \cdot (\sin{\beta} - 1)} \)

\( = \dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}} = \tan{\beta} \) olarak bulunur.

\( m(\widehat{BCF}) = y \) diyelim.

\( \tan{y} = \dfrac{6}{8 + 8} = \dfrac{3}{8} \)

\( \widehat{ABD} \) açısı \( \overset{\triangle}{BCF} \) üçgeninin bir dış açısıdır.

\( m(\widehat{ABD}) = x + y \)

\( \tan(x + y) = \dfrac{6 + 6}{8} = \dfrac{3}{2} \)

Tanjant toplam formülünü yazalım.

\( \tan{(x + y)} = \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x} \cdot \tan{y}} \)

\( \dfrac{3}{2} = \dfrac{\tan{x} + \frac{3}{8}}{1 - \tan{x} \cdot \frac{3}{8}} \)

\( \dfrac{3}{2} = \dfrac{8\tan{x} + 3}{8 - 3\tan{x}} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 24 - 9\tan{x} = 16\tan{x} + 6 \)

\( 25\tan{x} = 18 \)

\( \tan{x} = \dfrac{18}{25} \) bulunur.

\( x + y + z = 90° \)

\( x + y = 90° - z \)

Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.

\( \tan(x + y) \cdot \cot(x + y) = 1 \)

\( \tan(x + y) \cdot \cot(90° - z) = 1 \)

Tümler açıların tanjant ve kotanjant değerleri birbirine eşittir.

\( \tan(x + y) \cdot \tan{z} = 1 \)

Tanjant toplam formülünü yazalım.

\( \dfrac{\tan{x} + \tan{y}}{1 - \tan{x} \cdot \tan{y}} \cdot \tan{z} = 1 \)

\( \tan{x} \cdot \tan{z} + \tan{y} \cdot \tan{z} = 1 - \tan{x} \cdot \tan{y} \)

\( \tan{x} \cdot \tan{y} + \tan{x} \cdot \tan{z} + \tan{y} \cdot \tan{z} = 1 \) bulunur.

Fonksiyon tanımını tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazabilirsek o fonksiyonun kolaylıkla ters fonksiyonunu bulabiliriz.

\( \sin{x} \)'in katsayısı olan 1 yerine \( \tan{\dfrac{\pi}{4}} \) yazalım.

\( f(x) = \tan{\dfrac{\pi}{4}}\sin{x} - \cos{x} + 4 \)

\( = \dfrac{\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{x}}{\cos{\frac{\pi}{4}}} - \cos{x} + 4 \)

\( = \dfrac{\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{x} - \cos{\frac{\pi}{4}}\cos{x}}{\cos{\frac{\pi}{4}}} + 4 \)

Paydaki ifade kosinüs toplam formülünün açılımıdır.

\( = \dfrac{-\cos(\frac{\pi}{4} + x)}{\frac{1}{\sqrt{2}}} + 4 \)

\( = 4 - \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} + x) \)

Bu fonksiyonun tersini almak için \( x \)'i yalnız bırakalım.

\( y = 4 - \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} + x) \)

\( \sqrt{2}\cos(\dfrac{\pi}{4} + x) = 4 - y \)

\( \cos(\dfrac{\pi}{4} + x) = \dfrac{\sqrt{2}(4 - y)}{2} \)

\( \dfrac{\pi}{4} + x = \arccos(\dfrac{\sqrt{2}(4 - y)}{2}) \)

\( x = \arccos(\dfrac{\sqrt{2}(4 - y)}{2}) - \dfrac{\pi}{4} \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerini aralarında yer değiştirerek \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonunu buluruz.

\( f^{-1}(x) = \arccos(\dfrac{\sqrt{2}(4 - x)}{2}) - \dfrac{\pi}{4} \)