Trigonometrik Değerler
En sık kullanılan açı ölçüleri için trigonometrik fonksiyon değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tümler açılar için sinüs - kosinüs ve tanjant - kotanjant değerlerinin birbirine eşit olduğu tabloda görülebilir.
| Derece | Radyan | Sinüs | Kosinüs | Tanjant | Kotanjant |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 0° \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | Tanımsız |
| \( 30° \) | \( \dfrac{\pi}{6} \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \) | \( \sqrt{3} \) |
| \( 45° \) | \( \dfrac{\pi}{4} \) | \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 60° \) | \( \dfrac{\pi}{3} \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( \sqrt{3} \) | \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \) |
| \( 90° \) | \( \dfrac{\pi}{2} \) | \( 1 \) | \( 0 \) | Tanımsız | \( 0 \) |
| \( 180° \) | \( \pi \) | \( 0 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | Tanımsız |
| \( 270° \) | \( \dfrac{3\pi}{2} \) | \( -1 \) | \( 0 \) | Tanımsız | \( 0 \) |
Aşağıda örnek birer 30-60-90° ve 45-45-90° üçgeni için kenar uzunlukları verilmiştir. Bu üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki oranlar yukarıdaki tablo ile karşılaştırılarak 30°, 45° ve 60° açıları için trigonometrik değerler teyit edilebilir.
Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır?
(a) \( (\tan{30°}\cot{45°})^2 - (\sin{30°}\cos{45°})^2 \)
(b) \( \dfrac{\cos{\frac{\pi}{6}}}{\tan{\frac{\pi}{3}}} + \dfrac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{\cos{0}} \)
(c) \( \dfrac{\csc{90°} + \sec{60°}}{\cot^2{30°} - \sec^2{45°}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( (\tan{30°}\cot{45°})^2 - (\sin{30°}\cos{45°})^2 \)
\( = (\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)^2 - (\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 \)
\( = \dfrac{3}{9} - \dfrac{2}{16} \)
\( = \dfrac{5}{24} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{\cos{\frac{\pi}{6}}}{\tan{\frac{\pi}{3}}} + \dfrac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{\cos{0}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} + \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} \)
\( = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( = \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{\csc{90°} + \sec{60°}}{\cot^2{30°} - \sec^2{45°}} \)
\( = \dfrac{1 + 2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} \)
\( = \dfrac{3}{1} = 3 \)
\( \dfrac{9}{8}\tan^2{30°} + 4\sin^2{\frac{\pi}{4}} - \sec^2{60°} - 5\cos^2{\frac{\pi}{6}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİfadelerin verilen açılar için değerlerini yazalım.
\( \tan{30°} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \sin{\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \sec{60°} = \dfrac{1}{\cos{60°}} = 2 \)
\( \cos{\frac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( \dfrac{9}{8}(\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2 + 4(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2^2 - 5(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 \)
\( = \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{2} - 4 - \dfrac{15}{4} \)
\( = \dfrac{3}{8} + \dfrac{16}{8} - \dfrac{32}{8} - \dfrac{30}{8} \)
\( = -\dfrac{43}{8} \) bulunur.
\( A, B \in [0°, 90°] \) olmak üzere,
\( \cot(2A - B) = \sin(A + 4B) = 1 \)
olduğuna göre, \( B \) kaç derecedir?
Çözümü GösterKotanjant değeri 1 olan \( [0°, 90°] \) aralığındaki açı 45°, sinüs değeri \( 1 \) olan aynı aralıktaki açı 90°'dir.
\( 2A - B = 45 \)
\( A + 4B = 90 \)
Birinci denklemi 4 ile çarpıp ikinci denklemle taraf tarafa toplayalım.
\( 8A + A = 180 + 90 \)
\( A = 30° \)
\( A \) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \( B \)'yi bulalım.
\( B = 15° \) olarak bulunur.
\( 0° \lt x \lt 90° \) olmak üzere,
\( \cot{x} = \dfrac{15}{8} \) olduğuna göre,
\( \sqrt{\sec{x} + \tan{x}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x \) açısının komşu kenar uzunluğuna \( 15k \), karşı kenar uzunluğuna da \( 8k \) dersek Pisagor teoremi ile hipotenüs uzunluğu \( 17k \) olarak bulunur.
\( (15k)^2 + (8k)^2 = (17k)^2 \)
Bu değerleri bir dik üçgen çizerek kenarlar üzerinde gösterelim.
Üçgeni kullanarak sorudaki ifadedeki değerleri bulalım.
\( \sec{x} = \dfrac{17k}{15k} = \dfrac{17}{15} \)
\( \tan{x} = \dfrac{8k}{15k} = \dfrac{8}{15} \)
Değerleri yerine koyalım.
\( \sqrt{\sec{x} + \tan{x}} = \sqrt{\dfrac{17}{15} + \dfrac{8}{15}} \)
\( = \sqrt{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{\sqrt{15}}{3} \) bulunur.
\( 0° \le x \le 90° \) olmak üzere,
\( \cos(60° - x) = \dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{40}} \)
olduğuna göre, \( (\tan(3x) + \sin(6x))^3 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \cos(60° - x) = \dfrac{2\sqrt{5}}{{2\sqrt{10}}} \)
\( = \dfrac{1}{{\sqrt{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Bu kosinüs değerine \( [0°, 90°] \) aralığında sahip açı 45°'dir.
\( 60° - x = 45° \)
\( x = 15° \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( (\tan(3 \cdot 15°) + \sin(6 \cdot 15°))^3 \)
\( = (\tan{45°} + \sin{90°})^3 \)
\( = (1 + 1)^3 = 8 \) olarak bulunur.
1 radyanlık açının kosinüs değeri hangi aralıktadır?
(a) \( (0, \frac{1}{2}) \)
(b) \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \)
(c) \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \)
(d) \( (\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \)
(e) \( (-1, 0) \)
Çözümü Göster1 radyanın yaklaşık derece karşılığını bulalım.
\( 2\pi\ \text{radyan} = 360° \)
\( 1\ \text{radyan} = x° \)
\( x = \dfrac{360°}{2\pi} \)
\( \pi \approx 3,14 \)
\( x \approx 57,29° \)
Buna göre 1 radyan kosinüs değerini bildiğimiz açılar içinde 45°-60° aralığında bir açıya karşılık gelir.
\( \cos{45°} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \cos{60°} = \dfrac{1}{2} \)
Buna göre 1 radyanın kosinüs değeri \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \) aralığındadır. Doğru cevap (b) seçeneğidir.
Hesap makinesi ile 1 radyanın kosinüs değeri hesaplandığında \( 0.5403... \) değeri bulunur.
Aşağıdaki trigonometrik ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
\( \cos{50°}, \sin{50°}, \tan{50°}, \sec{50°} \)
Çözümü GösterSinüs ve kosinüs değerlerini karşılaştıralım.
\( [0°, 90°] \) aralığında sinüs fonksiyonu artan, kosinüs fonksiyonu azalandır. 45°'de sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşit olduğu için \( (45°, 90°] \) aralığında sinüs değeri kosinüs değerinden büyük olur.
\( \cos{50°} \lt \sin{50°} \lt 1 \)
Tanjant ve sekant değerlerini sinüs ve kosinüs değerleri ile karşılaştıralım.
\( \tan{50°} = \dfrac{\sin{50°}}{\cos{50°}} \gt 1 \)
\( \sec{50°} = \dfrac{1}{ \cos{50°}} \gt 1 \)
Tanjant ve sekant değerlerini karşılaştıralım.
\( \tan{50°} \stackrel{?}{\gtreqless } \sec{50°} \)
\( \dfrac{\sin{50°}}{\cos{50°}} \stackrel{?}{\gtreqless} \dfrac{1}{ \cos{50°}} \)
\( \sin{50°} \lt 1 \)
Buna göre sekant değeri tanjant değerinden daha büyüktür.
\( \tan{50°} \lt \sec{50°} \)
Verilen ifadelerin küçükten büyüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( \cos{50°} \lt \sin{50°} \lt \tan{50°} \lt \sec{50°} \)