Yukarıdaki \( ABCD \) karesinin kenarları üzerinde her kenar uzunluğunu \( a \) ve \( b \) birim olmak üzere iki parçaya bölecek şekilde \( K \), \( L \), \( M \) ve \( N \) noktalarını işaretleyelim ve bu noktaları birleştirelim.
Mavi dik üçgenlerin ikişer kenar uzunlukları ve bu kenarların arasındaki dik açılar eşit olduğu için kosinüs teoreminden karşı kenar (hipotenüs) uzunlukları da eşittir. Bu kenar uzunluklarına \( c \) diyelim.
Dik üçgenlerin dik olmayan açıları tümler açılardır.
\( x + y = 90° \)
Bu eşitliği \( KLMN \) dörtgeninin tüm köşelerindeki \( x \) ve \( y \) açılarına uygularsak \( KLMN \) eşkenar dörtgeninin köşe açılarının dik olduğunu ve şeklin bir kare olduğunu buluruz.
Şimdi \( ABCD \) karesinin alanını yazalım.
\( A(ABCD) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
İçteki \( KLMN \) karesinin alanını yazalım.
\( A(KLMN) = c^2 \)
Bir yeşil dik üçgenin alanını yazalım.
\( A(AKN) = \dfrac{ab}{2} \)
\( ABCD \) karesinin alanı \( KLMN \) karesinin alanı ve dört dik üçgenin alanları toplamına eşittir.
Bu teoremin karşıtı da doğrudur. Buna göre, bir dik üçgende yukarıdaki eşitlik sağlanıyorsa eşitliğin solundaki kenarı gören açı dik açıdır.
Bir dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay iki ikizkenar üçgen oluşturur. "Muhteşem Üçlü" olarak da adlandırılan bu kurala göre; hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüste böldüğü iki parça ile eşit uzunluktadır. Tüm kenarortaylarda olduğu gibi, bu kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.
Bir dik üçgende \( \abs{AD} = \abs{BD} \) ya da \( \abs{AD} = \abs{DC} \) eşitlikleri verilirse \( [AD] \) hipotenüsün kenarortayıdır ve \( \abs{BD} = \abs{DC} \) olur.
Dik Üçgen Bağıntıları
Dik üçgenlerle ilgili aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz.
Öklid'in yükseklik bağıntısına göre; bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde oluşan iki parçanın uzunluklarının çarpımına eşittir.
Öklid'in dik kenar bağıntılarına göre; bir dik üçgende dik kenar uzunluğunun karesi, hipotenüs ile hipotenüsün bu dik kenar tarafındaki parçasının uzunluklarının çarpımına eşittir
Bazı dik üçgenlerin kenar uzunlukları daha kolay akılda tutulabilir değerlere sahiptir ve sağladıkları işlem kolaylığı açısından da sorularda daha sık karşımıza çıkmaktadır.
Açılarına Göre Özel Üçgenler
Açıları itibariyle en sık karşımıza çıkan dik üçgenler 45-45-90° ve 30-60-90° üçgenleridir.
Şekil
Açılar
Kenarlar
45-45-90° üçgeni
Bu üçgende kenar uzunlukları arasında \( 1:1:\sqrt{2} \) orantısı vardır.
30-60-90° üçgeni
Bu üçgende kenar uzunlukları arasında \( 1:\sqrt{3}:2 \) orantısı vardır.
15-75-90° üçgeni
Bu üçgende hipotenüs uzunluğu hipotenüse ait yüksekliğin 4 katıdır.
Pisagor Üçgenleri
Kenar uzunlukları birer tam sayı olan dik üçgenler Pisagor üçgeni olarak adlandırılırlar. Kenar uzunlukları bir Pisagor üçgeninin tam sayı katı olan üçgenler de birer Pisagor üçgenidir.
Aşağıda bazı Pisagor üçgenlerinin kenar uzunlukları verilmiştir.
Şekil
Pisagor Üçgeni
Benzer Üçgenler
3-4-5 üçgeni
6-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 15-20-25 ...
5-12-13 üçgeni
10-24-26, 15-36-39, 20-48-52 ...
7-24-25 üçgeni
14-28-50, 21-72-75, 28-96-100
8-15-17 üçgeni
16-30-34, 24-45-51, 32-60-68
Aşağıdaki formüller kullanılarak herhangi \( m \) ve \( n \) tam sayı ikilisi ile Pisagor üçgenleri türetilebilir.
\( m, n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
Aşağıdaki formüllerle hesaplayacağımız \( a \), \( b \) ve \( c \) değerleri bir Pisagor üçgeninin kenar uzunluklarını verir.
Bu değerleri yerine koyduğumuzda eşitliğin sağlandığını görüyoruz, dolayısıyla herhangi \( (m, n) \) ikilisini ve bu formülleri kullanarak hesaplayacağımız kenar uzunluklarının Pisagor teoremini sağlayacağını, dolayısıyla bir dik üçgenin kenar uzunluklarına karşılık geleceğini söyleyebiliriz.
Aşağıda verilen dik üçgenin kenar uzunlukları \( a \), \( b \) ve \( c \)'dir.
Bir çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{AM} = \abs{AL} = x \)
\( \abs{BM} = \abs{BK} = y \)
\( \abs{CK} = \abs{CL} = z \)
Bu teğetlerin uzunlukları toplamı üçgenin kenar uzunlukları toplamına eşittir.
\( 2x + 2y + 2z = a + b + c \)
\( y + z = a \) olduğu için,
\( 2x + 2a = a + b + c \)
\( 2x = b + c - a \)
\( x = \dfrac{b + c - a}{2} \)
\( [AL] \) ve \( [AM] \) çemberin teğetleri olduğu için çemberi dik keserler. \( \widehat{LAM} \) açısı da üçgenin dik açısı olduğu için \( AMOL \) dörtgeni bir dikdörtgendir ve karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir, dolayısıyla \( x \) uzunlukları çemberin yarıçapına eşittir.
\( [AD] \), \( [DC] \) ve \( [DE] \) doğru parçalarının uzunlukları eşit olduğu için \( [ED] \) doğru parçasının bir dik köşeden çizildiğini söyleyebiliriz.
Buna göre \( A \) köşesinden \( E \) noktasına çizilen doğru parçası \( [BC] \) kenarını dik keser.
\( [AE] \perp [BC] \)
\( \abs{AE} = h \) diyelim.
\( h \) uzunluğunu Öklid bağlantısını kullanarak bulalım.
\( h^2 = 9 \cdot 4 \)
\( h = 6 \)
\( \abs{AC} \) değeri için \( AEC \) üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.
\( [BC] \) doğru parçasını sağa doğru uzatalım ve \( A \) noktasından bu doğru parçasına bir dikme indirelim.
\( [AD] \perp [BD] \)
Oluşan üçgenlerden \( ACD \) üçgeni de 45-45-90° özel üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla \( 1:1:\sqrt{2} \) şeklinde olur.
\( \abs{AD} = \abs{CD} = 6 \)
Oluşan üçgenlerden \( ABD \) üçgeni 30-60-90° özel üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla \( 1:\sqrt{3}:2 \) şeklinde olur.
\( \abs{AC} = \abs{AD} \) olduğuna göre \( ACD \) ikizkenar üçgendir.
\( ACD \) üçgeninde \( [CD] \) kenarına ait yüksekliği çizelim.
İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
\( \abs{CE} = \abs{ED} = 5 \)
\( ACE \) dik üçgeni 5-12-13 özel üçgeni olur.
\( \abs{AE} = 12 \)
\( \abs{AB} \) uzunluğunu bulmak için \( ABE \) dik üçgenini kullanalım.
\( \abs{BE} = 7 + 5 = 12 \)
\( \abs{BE} = \abs{AE} = 12 \) olduğu için \( ABE \) üçgeni bir 45-45-90° özel üçgenidir. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla \( 1:1:\sqrt{2} \) şeklinde olur.