Üçgenin bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktası ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. \( A \), \( B \) ve \( C \) köşelerine ait kenarortaylar sırasıyla \( V_a \), \( V_b \) ve \( V_c \) ile gösterilir.
Üçgenin kenarortayları
Bir üçgenin kenarortayları her zaman tek bir noktada ve üçgenin içinde kesişir. Bu nokta üçgenin ağırlık merkezidir ve \( G \) ile gösterilir.
Üçgenin ağırlık merkezi kenarortayları 2'ye 1 oranında böler.
\( G \) üçgenin ağırlık merkezi olmak üzere, kenar uzunluklarına aşağıdaki değerleri verelim.
\( \abs{AF} = 6k \)
\( \abs{BC} = 4a \)
\( [AF] \) kenarortay olduğu için, karşı kenarı ikiye böler.
\( \abs{BF} = \abs{FC} = 2a \)
\( D \) noktasından geçen ve \( [AF] \) kenarortayına paralel \( [DN] \) doğru parçasını çizelim. \( [CD] \) de kenarortay olduğu için, \( D \) noktası \( [AB] \) kenarının orta noktasıdır.
\( \abs{BD} = \abs{DA} \)
\( [DN] \) \( [AF] \)'ye paralel ve \( \abs{BD} = \abs{DA} \) olduğu için, \( [DN] \) \( \overset{\triangle}{BAF} \) üçgeninin orta tabanıdır ve uzunluğu \( [AF] \)'nin yarısına eşittir.
\( \abs{DN} = \dfrac{\abs{AF}}{2} = 3k \)
\( [DN] \) \( \overset{\triangle}{BAF} \) üçgeninin orta tabanı olduğu için \( [BF] \) kenarını da ikiye böler.
\( \abs{BN} = \abs{NF} = a \)
\( \overset{\triangle}{DNC} \) üçgenine temel orantı teoremini uygulayalım.
Buna göre, \( \abs{AF} = 6k \) dediğimiz için, \( \abs{AG} = 4k \) olarak bulmuş ve üçgenin ağırlık merkezinin kenarortayı \( 4k:2k = 2:1 \) oranında böldüğünü göstermiş olduk.
\( [AF] \) kenarortayı tabanı iki eşit parçaya böldüğü için, alanı da iki eşit parçaya böler:
\( A(\overset{\triangle}{ABF}) = 3A \)
\( A(\overset{\triangle}{AFC}) = 3A \)
\( G \) ağırlık merkezi \( [AF] \) kenarortayını 2:1 oranında böler. Bu kenarortayı \( ABF \) üçgeninin tabanı olarak düşünürsek, bu üçgenin alanı da 2:1 oranında bölünür:
\( A(\overset{\triangle}{ABG}) = 2A \)
\( A(\overset{\triangle}{GBF}) = A \)
\( [CD] \) kenarortayı \( [AB] \) kenarını iki eşit parçaya böldüğü için, \( ABG \) üçgeninin alanını da iki eşit parçaya böler:
Aşağıdaki şekildeki gibi kenarortayların kenarları kestikleri noktalar birleştirildiğinde elde edilen üçgenle ilgili şunlar söylenebilir.
\( DEF \) üçgeninin her bir kenarı \( ABC \) üçgeninin iki kenarını ortaladığı için aynı zamanda \( ABC \) üçgeninin birer orta tabanıdır.
Her bir orta taban \( ABC \) üçgeninin kenarlarını olduğu gibi kenarortayı da eşit iki parçaya böldüğü için, oluşan şekilde kenarortayın parçalarının uzunluklarının oranı 3:1:2 olur (buna 3-1-2 kuralı da denir).
\( ABC \) üçgeninin ağırlık merkezi olan \( G \) noktası \( DEF \) üçgeninin de kenarortaylarını 2:1 oranında böldüğü için, \( DEF \) üçgeninin de ağırlık merkezidir.
\( [EF] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin orta tabanı ise \( [BC] \) kenarını ortalar.
\( \abs{BF} = \abs{FC} = x \)
\( [DE] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin orta tabanı ise uzunluğu \( [BC] \) kenarının yarısına eşittir.
\( \abs{DE} = \abs{BF} = \abs{FC} = x \)
Yukarıda ispatını gösterdiğimiz üzere, \( [DE] \) doğru parçası tabana ait yüksekliği ortalar.
\( \abs{AK} = \abs{KH} = \dfrac{h}{2} \)
Buna göre \( ADE \), \( DBF \), \( DEF \) ve \( EFC \) üçgenlerinin tümünün tabanını \( x \) ve yüksekliğini \( \frac{h}{2} \) şeklinde ifade edebiliriz.
Ağırlık merkezinden geçen ve tabana (ya da herhangi bir kenara) paralel olan doğrunun uzunluğu üçgen benzerliğinden dolayı taban uzunluğunun \( \frac{2}{3} \)'üdür. Kenarortay, tabanı olduğu gibi bu paralel doğruyu da iki eşit parçaya böler. Ayrıca bu paralel doğru üçgenin yan kenarlarını da 2:1 oranında böler.
Ağırlık merkezinden tabana çizilen paralel doğru
Bir üçgenin en uzun kenarortayı üçgenin en kısa kenarına aittir.
Kenarortay - kenar ilişkisi
\( a \ge b \ge c \) ise,
\( V_a \le V_b \le V_c \)
Kenarortay Teoremi
Bir üçgende kenarortay uzunluğu üçgenin kenar uzunlukları cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( [AK] \), \( [BE] \) ve \( [CD] \) üçgenin ağırlık merkezinden geçtikleri için üçgenin birer kenarortayıdır ve sırasıyla \( [BC] \), \( [AC] \) ve \( [AB] \) kenarlarını iki eşit parçaya bölerler.
\( \abs{AD} = \abs{DB} = 6 \)
\( [FE] \) doğrusunu \( [AB] \) doğrusuna kadar uzatalım. Bu doğru üçgenin yan kenarlarının orta noktalarını birleştirdiği için \( ABC \) üçgeninin orta tabanıdır.
\( [AK] \) kenarortayı ve \( [DE] \) orta tabanını ikiye böler.
\( \abs{DF} = \abs{FE} \)
Orta taban ve ağırlık merkezi bir kenarortayı 3:1:2 oranında böler.
\( \abs{AF} = 6, \abs{FG} = 2, \abs{GK} = 4 \)
\( ADF \) üçgeninin ikizkenar olduğunu görmüş olduk.
\( A \) köşesinden \( [DF] \) kenarına bir dik indirelim.
İkizkenar üçgende tabana indirilen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
\( \abs{DT} = \abs{TF} = x \)
\( \abs{FE} = 2x \)
\( ATF \) ve \( ATE \) üçgenleri birer dik üçgendir.
Bu iki üçgene Pisagor teoremini uygulayabilmek için \( \abs{AT} = y \) diyelim.
\( ATF \) üçgeni için:
\( y^2 + x^2 = 6^2 \)
\( ATE \) üçgeni için:
\( y^2 + (3x)^2 = 8^2 \)
İkinci denklemden birinci denklemi taraf tarafa çıkaralım.
\( \abs{FC} = y \) diyelim. Bu durumda \( \abs{DF} = 2y \) olur.
\( A \) köşesinden \( [BC] \) kenarına bir kenarortay çizelim. Bu kenarortay \( [DC] \) doğru parçasını üçgenin ağırlık merkezi olan \( G \) noktasında keser.
\( ABC \) üçgeninde muhteşem üçlü oluşur.
\( \abs{AH} = \abs{BH} = \abs{HC} = 9 \)
\( G \) ağırlık merkezi kenarortayları 2:1 oranında böler.
\( \abs{DG} = \abs{GF} = \abs{FC} = y \)
Bu durumda \( [EF] \) doğrusu \( AGC \) üçgeninin iki kenarının orta noktalarını birleştirdiği için üçgenin orta tabanıdır.
\( \abs{AG} = 2x \)
\( G \) ağırlık merkezi kenarortayları 2:1 oranında böler.
\( A \) ve \( C \) noktalarını birleştirerek \( ABC \) üçgeni oluşturalım.
\( ABC \) dik üçgeni 3-4-5 özel dik üçgeninin 12 katıdır.
\( \abs{AC} = 5 \cdot 12 = 60 \)
\( [CE] \) doğrusu \( [AB] \) kenarını, \( [AD] \) doğrusu da \( [BC] \) kenarını iki eşit parçaya böldüğü için \( [AD] \) ve \( [EC] \) doğruları kenarortaylardır.
\( B \) köşesinden \( [AC] \) kenarına kenarortay doğrusu çizelim. Bir üçgenin tüm kenarortayları ağırlık merkezinden geçtiği için bu kenarortay da \( G \) noktasında geçer.
Bunun sonucunda \( ABC \) üçgeninde muhteşem üçlü oluşur.
\( \abs{AH} = \abs{HC} = \abs{BH} = 30 \)
Bir üçgende ağırlık merkezi kenarortayları 2:1 oranında böler.
