Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler aşağıdaki formlarda olabilir ve farklı eşitsizlik sembolleri (\( \lt, \le, \gt, \ge \)) içerebilir.
\( a, b \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( ax + b \lt n \)
\( m \lt ax + b \)
\( m \lt ax + b \lt n \)
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünde bilinmeyen katsayısız bir şekilde yalnız bırakılır ve eşitsizliği sağlayan değer aralığı bulunur. Bunu sağlarken önceki bölümde gördüğümüz eşitsizlik özellikleri kullanılır.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm adımlarını bir örnek üzerinden gösterelim.
Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan \( x \) değer aralığını bulalım.
\( -8 \le \dfrac{3(x + 5) - 2}{4} \lt 7 \)
Aynı işlemleri eşitsizliğin taraflarına adım adım uygulayarak \( x \)'i yalnız bırakalım.
Tüm tarafları 4 ile çarpalım.
\( 4 \cdot (-8) \le 4 \cdot \dfrac{3(x + 5) - 2}{4} \lt 4 \cdot 7 \)
\( -32 \le 3(x + 5) - 2 \lt 28 \)
Tüm taraflara 2 ekleyelim.
\( -32 + 2 \le 3(x + 5) - 2 + 2 \lt 28 + 2 \)
\( -30 \le 3(x + 5) \lt 30 \)
Tüm tarafları 3'e bölelim.
\( \dfrac{-30}{3} \le \dfrac{3(x + 5)}{3} \lt \dfrac{30}{3} \)
\( -10 \le x + 5 \lt 10 \)
Tüm taraflardan 5 çıkaralım.
\( -10 - 5 \le x + 5 - 5 \lt 10 - 5 \)
\( -15 \le x \lt 5 \)
Bir bilinmeyenli eşitsizlikler aşağıdaki formda, yani eşitsizliğin birden fazla tarafı aynı değişkeni içerecek şekilde de olabilir. Bu tip eşitsizlikler iki eşitsizliğe bölünerek ve her eşitsizliğin çözümünden elde edilen çözüm aralıklarının kesişim kümesi alınarak çözülür.
\( a_1x + b_1 \lt a_2x + b_2 \lt a_3x + b_3 \)
\( \Longrightarrow a_1x + b_1 \lt a_2x + b_2 \)
\( \Longrightarrow a_2x + b_2 \lt a_3x + b_3 \)
\( 5x - 1 \le 4x + 8 \lt 7x - 13 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
\( 5x - 1 \le 4x + 8 \) eşitsizliğini çözelim.
Bilinmeyenleri eşitsizliğin sol tarafında, sabit terimleri sağ tarafında toplayalım.
\( 5x - 4x \le 8 + 1 \)
\( x \le 9 \)
\( 4x + 8 \lt 7x - 13 \) eşitsizliğini çözelim.
Bilinmeyenleri eşitsizliğin sağ tarafında, sabit terimleri sol tarafında toplayalım.
\( 8 + 13 \le 7x - 4x \)
\( 21 \le 3x \)
\( 7 \le x \)
Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi elde ettiğimiz iki aralığın kesişim kümesidir.
\( 7 \le x \le 9 \)
\( 2m + 3 \lt 83 \le 5m - 7 \) olduğuna göre, \( m \) değer aralığını bulalım.
Eşitsizliği iki ayrı eşitsizliğe bölerek ayrı ayrı çözelim.
\( 2m + 3 \lt 83 \) ve \( 83 \le 5m - 7 \)
\( 2m + 3 \lt 83 \) eşitsizliğini çözelim.
Eşitsizliğin taraflarından 3 çıkaralım.
\( 2m + 3 - 3 \lt 83 - 3 \)
\( 2m \lt 80 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2'ye bölelim.
\( \dfrac{2m}{2} \lt \dfrac{80}{2} \)
\( m \lt 40 \)
\( 83 \le 5m - 7 \) eşitsizliğini çözelim.
Eşitsizliğin taraflarına 7 ekleyelim.
\( 83 + 7 \le 5m - 7 + 7 \)
\( 90 \le 5m \)
Eşitsizliğin taraflarını 5'e bölelim.
\( \dfrac{90}{5} \le \dfrac{5m}{5} \)
\( 18 \le m \)
\( m \) değer aralığı iki eşitsizlikte bulduğumuz değer aralıklarının kesişim kümesidir.
\( 18 \le m \lt 40 \)
Reel sayılar kümesinde tanımlı \( k \) sayısının 7 katının 27 eksiği, 5 katının 13 fazlasından küçüktür. Ayrıca 36 sayısı \( 3k \) sayısından küçüktür.
Buna göre \( k \)'nın değer aralığını bulunuz.
Çözümü GösterVerilen bilgileri birer cebirsel ifade olarak gösterelim.
\( k \) reel sayısının 7 katının 27 eksiği \( 7k - 27 \) olarak gösterilir.
\( k \) reel sayısının 5 katının 13 fazlası \( 5k + 13 \) olarak gösterilir.
Birinci ifade ikinci ifadeden küçüktür.
\( 7k - 27 \lt 5k + 13 \)
Bilinmeyen terimleri eşitsizliğin sol tarafında, sabit terimleri sağ tarafında toplayalım.
\( 7k - 5k \lt 13 + 27 \)
\( 2k \lt 40 \)
Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile sadeleştirelim.
\( k \lt 20 \)
Verilen diğer bilgiyi eşitsizlik şeklinde yazalım.
\( 36 \lt 3k \)
Eşitsizliğin her iki tarafını 3 ile sadeleştirelim.
\( 12 \lt k \)
Bu iki koşulu birlikte sağlayan aralık iki aralığın kesişim kümesidir.
\( 12 \lt k \lt 20 \)
\( x + 8 \lt 24 - 3x \lt x + 14 \)
eşitsizliğinin çözüm kümesini gösteriniz.
Çözümü GösterEşitsizliği ikiye ayırarak \( x + 8 \lt 24 - 3x \) ve \( 24 - 3x \lt x + 14 \) eşitsizliklerini ayrı ayrı inceleyelim.
\( x + 8 \lt 24 - 3x \)
Sabit terimleri eşitsizliğin sağ tarafına, bilinmeyeni sol tarafına alalım.
\( x + 3x \lt 24 - 8 \)
\( 4x \lt 16 \)
Eşitsizliğin taraflarını 4'e bölelim.
\( x \lt 4 \)
İkinci eşitsizliğe de benzer işlemleri uygulayalım.
\( 24 - 3x \lt x + 14 \)
Sabit terimleri eşitsizliğin sol tarafına, bilinmeyeni sağ tarafına alalım.
\( 24 - 14 \lt x + 3x \)
\( 10 \lt 4x \)
Eşitsizliğin taraflarını 4'e bölelim.
\( \dfrac{5}{2} \lt x \)
Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi elde ettiğimiz iki aralığın kesişimidir.
Çözüm kümesi: \( x \in (\dfrac{5}{2}, 4) \)
\( 4(x - 3) - x + 16 \lt 3x + 2 \)
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Gösterİlk önce parantez içindeki ifadeyi genişletelim.
\( 4x - 12 - x + 16 \lt 3x + 2 \)
\( 3x + 4 \lt 3x + 2 \)
Sabit terimleri eşitsizliğin sağ tarafında, bilinmeyeni sol tarafında toplayalım.
\( 3x - 3x \lt 2 - 4 \)
\( 0 \lt -2 \)
Bu eşitsizlik hiçbir \( x \) değeri için sağlanmayacağı için eşitsizliğin çözümü boş kümedir.
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset\)
\( \dfrac{7x + 3}{3 - 3\sqrt{3}} \lt 3 + 3\sqrt{3} \)
olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü GösterEşitsizliğin taraflarını \( 3 - 3\sqrt{3} \) ile çarpalım.
\( 3 - 3\sqrt{3} \) negatif bir sayı olduğu için bu işlem sonucunda eşitsizlik yön değiştirir.
\( 7x + 3 \gt (3 + 3\sqrt{3})(3 - 3\sqrt{3}) \)
\( 7x + 3 \gt 3^2 - (3\sqrt{3})^2 \)
\( 7x + 3 \gt -18 \)
Eşitsizliğin taraflarından 3 çıkaralım.
\( 7x \gt -21 \)
Eşitsizliğin taraflarını 7'ye bölelim.
\( x \gt -3 \)
\( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri \( -2 \)'dir.
\( \dfrac{1}{9} \lt \dfrac{1}{1 - 2k} \)
eşitsizliğinin sağlandığı \( k \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( k \)'nın negatif değerlerinde eşitsizliğin sağ tarafı negatif olur.
Buna göre verilen eşitsizlik aşağıdaki durumda sağlanır.
\( 0 \lt 1 - 2k \lt 9 \)
Eşitsizliğin taraflarından 1 çıkaralım.
\( -1 \lt -2k \lt 8 \)
Eşitsizliğin taraflarını -2'ye bölelim.
Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{1}{2} \gt k \gt -4 \)
\( -4 \lt k \lt \dfrac{1}{2} \)
\( \dfrac{3x + a + 2}{-4} \gt -5 \)
\( \dfrac{-2x + b - 4}{3} \le 2 \)
eşitsizliklerinin ortak çözüm kümesi \( [a, b) \) olduğuna göre, \( \frac{b}{a} \) oranı kaçtır?
Çözümü GösterBirinci eşitsizliğin taraflarını -4 ile çarpalım.
Bir eşitsizliğin taraflarını negatif bir sayıyla çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( 3x + a + 2 \lt 20 \)
Eşitsizliğin taraflarından \( a + 2 \) çıkaralım.
\( 3x \lt 18 - a \)
Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.
\( x \lt \dfrac{18 - a}{3} \)
İkinci eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.
\( -2x + b - 4 \le 6 \)
Eşitsizliğin taraflarından \( b - 4 \) çıkaralım.
\( -2x \le 10 - b \)
Eşitsizliğin taraflarını -2'ye bölelim.
\( x \ge \dfrac{b - 10}{2} \)
Bulduğumuz iki eşitsizliği tek eşitsizlik şeklinde yazalım.
\( \dfrac{b - 10}{2} \le x \lt \dfrac{18 - a}{3} \)
Bu eşitsizliğin sınır değerleri \( [a, b) \) olarak veriliyor.
\( \dfrac{b - 10}{2} = a, \quad \dfrac{18 - a}{3} = b \)
\( \dfrac{b - 10}{2} = a \) için:
\( b - 10 = 2a \)
\( b - 2a = 10 \)
\( \dfrac{18 - a}{3} = b \) için:
\( 18 - a = 3b \)
\( a + 3b = 18 \)
İkinci denklemin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( b - 2a = 10 \)
\( 2a + 6b = 36 \)
Denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( 7b = 46 \)
\( b = \dfrac{46}{7} \)
Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.
\( \dfrac{46}{7} - 2a = 10 \)
\( a = -\dfrac{12}{7} \)
\( \dfrac{b}{a} \) oranını bulalım.
\( \dfrac{b}{a} = \dfrac{\frac{46}{7}}{-\frac{12}{7}} \)
\( = -\dfrac{23}{6} \) bulunur.
\( -5x + 15 \lt 9x - 27 \le 8x + 13 \)
eşitsizliğini sağlayan kaç tane \( x \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterVerilen eşitsizliği iki eşitsizlik şeklinde inceleyelim.
1. eşitsizlik:
\( -5x + 15 \lt 9x - 27 \)
\( 42 \lt 14x \)
\( 3 \lt x \)
2. eşitsizlik:
\( 9x - 27 \le 8x + 13 \)
\( x \le 40 \)
Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( 3 \lt x \le 40 \)
\( x \) bu aralıkta \( 40 - 4 + 1 = 37 \) farklı tam sayı değer alabilir.
\( -2 \lt \dfrac{2}{4x - 5} \lt 6 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterÇözüm kümesi rasyonel ifadedeki paydayı sıfır yapan \( x \) değerini içeremez.
\( 4x - 5 \ne 0 \)
\( x \ne \dfrac{5}{4} \)
Eşitsizliği iki aralığa bölelim ve ayrı ayrı inceleyelim. Eşitsizlikteki rasyonel ifade sıfır olamayacağı için sıfır değerini bu aralıklara dahil etmemize gerek yoktur.
Aralık 1:
\( -2 \lt \dfrac{2}{4x - 5} \lt 0 \)
Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( -\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{4x - 5}{2} \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( -1 \gt 4x - 5 \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( 4 \gt 4x \)
Eşitsizliğin taraflarını 4'e bölelim.
\( x \lt 1 \)
Aralık 2:
\( 0 \lt \dfrac{2}{4x - 5} \lt 6 \)
Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{4x - 5}{2} \gt \dfrac{1}{6} \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 4x - 5 \gt \dfrac{1}{3} \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( 4x \gt \dfrac{16}{3} \)
Eşitsizliğin taraflarını 4'e bölelim.
\( x \gt \dfrac{4}{3} \)
Verilen eşitsizliği iki aralığa bölüp ayrı ayrı incelediğimiz için, iki aralık için bulduğumuz çözüm aralıklarının birleşim kümesi verilen eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, \infty) \)