Eşitsizlikler
İki ya da daha fazla cebirsel ifadenin değerlerinin birbirinden küçük ya da büyük olduğunu bu ifadeler arasına konan eşitsizlik sembolleri ile gösteren matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.
İki değişkenin değerleri arasında aşağıdaki üç durumdan sadece biri doğru olabilir.
(1) \( \enspace x \lt y \)
(2) \( \enspace x \gt y \)
(3) \( \enspace x = y \)
İki değişkenin değerleri arasındaki bu eşitlik ya da eşitsizlik, bir terazinin kefeleri ve aralarındaki denge/dengesizlik durumuna benzetilebilir.
Eşitsizlikler iki ya da daha fazla taraftan oluşabilirler.
\( 5 \lt x \)
\( 5 \le y \le 12 \)
\( a \lt 0 \lt c \lt d \)
Eşitsizliklerde ifadenin tarafları arasında aşağıdaki sembollerden biri kullanılır.
| Sembol | Adı | Açıklama |
|---|---|---|
| \( \lt \) | Küçüktür | Eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından küçüktür. |
| \( \gt \) | Büyüktür | Eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından büyüktür. |
| \( \le \) | Küçük ya da eşittir | Eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından küçüktür ya da sağ tarafına eşittir. |
| \( \ge \) | Büyük ya da eşittir | Eşitsizliğin sol tarafı sağ tarafından büyüktür ya da sağ tarafına eşittir. |
Eşitsizlik Sistemleri
Aynı bilinmeyenleri içeren, iki ya da daha fazla eşitsizlikten oluşan ve tüm eşitsizlikleri birlikte sağlayan bir çözümü bulunmaya çalışılan eşitsizlik grubuna eşitsizlik sistemi denir.
Aşağıda iki eşitsizlikten oluşan bir eşitsizlik sistemi örnek olarak verilmiştir.
\( \begin{cases} y \ge x^2 + x - 2 \\ y \le 4 \end{cases} \)
Bilinmeyen Sayısına Göre Eşitsizlikler
Eşitsizlikler içerdikleri bilinmeyen sayısına göre bir, iki, üç ya da \( n \) bilinmeyenli eşitsizlik şeklinde isimlendirilirler.
Bir bilinmeyenli eşitsizlik: \( x \le 3 \)
İki bilinmeyenli eşitsizlik: \( y \gt 2x + 2 \)
Üç bilinmeyenli eşitsizlik: \( \abs{x} + \abs{y} + \abs{z} \le 2 \)
Eşitsizlik Tipleri
Eşitsizlikler içerdikleri üslü/köklü/mutlak değerli ifadeler ya da fonksiyonlara göre de birbirlerinden ayrılırlar. Denklemler bölümünde listelediğimiz denklem tiplerinin tümü için birer eşitsizlik yazılabilir.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( -2 \lt a \lt 3 \)
\( 4 \lt b \lt 11 \) eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre \( 6a - 4b \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 6a - 4b \) ifadesinin en büyük değerini alması için, \( a \) en büyük, \( b \) en küçük değerini almalıdır.
\( a \) ve \( b \) birer tam sayı oldukları için alabilecekleri en küçük ve en büyük değerleri bulabiliriz.
\( a \)'nın alabileceği en büyük değer 2'dir.
\( b \)'nin alabileceği en küçük değer 5'tir.
Bu değerleri ifadede yerlerine koyalım.
\( 6a - 4b = 6(2) - 4(5) \)
\( = 12 - 20 = -8 \) bulunur.
\( 3332 \cdot 3334 \le x \le 3333 \cdot 3333 \)
eşitsizliğini sağlayan kaç \( x \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterEşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi kare farkı şeklinde yazalım.
\( 3332 \cdot 3334 = (3333 - 1)(3333 + 1) \)
\( = 3333^2 - 1^2 \)
Eşitsizliği buna göre düzenleyelim.
\( 3333^2 - 1 \le x \le 3333^2 \)
Eşitsizliğin sol ve sağ tarafları ardışık sayılar olduğu için, eşitsizliği sağlayan iki \( x \) tam sayı değeri vardır.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( -4 \lt x \lt -3 \)
\( 8 \lt y \lt 9 \)
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin alabileceği en büyük değer diğerlerinden büyüktür?
(a) \( \dfrac{-xy}{2} \)
(b) \( (x + y)^2 \)
(c) \( \dfrac{x^4}{y} \)
(d) \( x^3y \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{-xy}{2} \)
İfadenin başında negatif işareti olduğu için \( xy \) çarpımını en küçük negatif sayı yapmaya çalışmalıyız.
\( x = -4 \) ve \( y = 9 \) seçelim.
\( \dfrac{-xy}{2} = \dfrac{-(-4) \cdot 9}{2} = 18 \)
\( \dfrac{-xy}{2} \lt 18 \)
(b) seçeneği:
\( (x + y)^2 \)
İfade parantez karesi olduğu için \( x + y \) toplamını mutlak değerce en büyük yapmaya çalışmalıyız.
\( x = -3 \) ve \( y = 9 \) seçelim.
\( (x + y)^2 = (-3 + 9)^2 = 36 \)
\( (x + y)^2 \lt 36 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{x^4}{y} \)
Pay ve payda pozitif olduğu için sonuç da pozitif olacağı için payı en büyük, paydayı en küçük yapmaya çalışmalıyız.
\( x = -4 \) ve \( y = 8 \) seçelim.
\( \dfrac{x^4}{y} = \dfrac{(-4)^4}{8} = 32 \)
\( \dfrac{x^4}{y} \lt 32 \)
(d) seçeneği:
\( x^3y \)
\( x \) negatif, \( y \) pozitif olduğundan \( x^3y \) ifadesi negatif olur.
\( x^3y \lt 0 \)
Buna göre (b) seçeneğindeki ifadenin alabileceği en büyük değer diğerlerinden büyüktür.
\( x, y, z \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( -\pi \lt x \lt \pi \)
\( -8 \le y \lt \sqrt{19} \)
\( -\sqrt{7} \lt z \lt 7 \)
olduğuna göre, \( 5x + 2y - 3z \) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster\( 5x + 2y - 3z \) ifadesi en büyük değerini; işareti pozitif olan \( x \) ve \( y \) değişkenleri en büyük, işareti negatif olan \( z \) değişkeni en küçük tam sayı değerini aldığında alır.
\( \pi = 3,14... \)
Buna göre \( x \)'in en büyük tam sayı değeri 3'tür.
\( 4 \lt \sqrt{19} \lt 5 \)
Buna göre \( y \)'nin en büyük tam sayı değeri 4'tür.
\( -3 \lt -\sqrt{7} \lt -2 \)
Buna göre \( z \)'nin en küçük tam sayı değeri -2'dir.
Bu değerleri verilen ifadede yerine yazalım.
\( 5x + 2y - 3z = 5(3) + 2(4) - 3(-2) \)
\( = 29 \) bulunur.
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 1 \le a \le 5 \)
\( -3 \le b \le -1 \)
\( 9 \le c \le 12 \)
olduğuna göre, \( d = \frac{b^a}{c} \) reel sayısının en geniş değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( d \)'nin en büyük değerini alması için \( b^a \) en büyük, \( c \) en küçük değerini almalıdır.
\( b = -3, \quad a = 4, \quad c = 9 \)
\( d = \dfrac{(-3)^4}{9} = \dfrac{81}{9} = 9 \)
\( d \)'nin en küçük değerini alması için \( b^a \) en küçük, (\( b^a \) negatif olacağı için) \( c \) yine en küçük değerini almalıdır.
\( b = -3, \quad a = 5, \quad c = 9 \)
\( d = \dfrac{(-3)^5}{9} = \dfrac{-243}{9} = -27 \)
\( d \)'nin en geniş değer aralığı aşağıdaki gibi bulunur.
\( -27 \le d \le 9 \)
\( x, y \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
I. \( 4x^2 + 4x \ge -1 \)
II. \( x^2 + y^2 \ge 2xy \)
III. \( 4x^2 + 4y^2 \ge 4x + 4y - 1 \)
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Çözümü GösterI. öncül:
\( 4x^2 + 4x \ge -1 \)
\( 4x^2 + 4x + 1 \ge 0 \)
\( (2x + 1)^2 \ge 0 \)
Tam kare bir ifade her zaman sıfır ya da pozitif olacağı için eşitsizlik her \( x \) değeri için sağlanır.
I. öncül her zaman doğrudur.
II. öncül:
\( x^2 + y^2 \ge 2xy \)
\( x^2 - 2xy + y^2 \ge 0 \)
\( (x - y)^2 \ge 0 \)
Tam kare bir ifade her zaman sıfır ya da pozitif olacağı için eşitsizlik her \( x \) ve \( y \) değeri için sağlanır.
II. öncül her zaman doğrudur.
III. öncül:
\( 4x^2 + 4y^2 \ge 4x + 4y - 1 \)
\( 4x^2 - 4x + 1 + 4y^2 - 4y \ge 0 \)
Eşitsizliğin iki tarafına 1 ekleyelim.
\( 4x^2 - 4x + 1 + 4y^2 - 4y + 1 \ge 1 \)
\( (2x - 1)^2 + (2y - 1)^2 \ge 1 \)
İki tam kare ifadenin toplamı her zaman sıfır ya da pozitif olur, ancak toplam her \( x \) ve \( y \) değeri için 1 ya da 1'den büyük olmayabilir.
III. öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre I. ve II. öncüller her zaman doğrudur.
\( x \lt \abs{x} \) eşitsizliği aşağıdaki aralıkların hangilerinin tümünde sağlanır?
I. \( x \lt -2 \)
II. \( -5 \le x \lt 0 \)
III. \( x \gt 3 \)
IV. \( -3 \le x \lt 2 \)
Çözümü GösterBir sayının mutlak değeri kendisinden büyükse bu sayı negatiftir.
Çözüm kümesi: \( x \lt 0 \)
I. ve II. aralıkların tümü çözüm kümesinin içindedir.
III. aralığın tümü çözüm kümesinin dışındadır.
IV. aralık kısmen çözüm kümesinin içinde kısmen dışındadır.
Buna göre verilen eşitsizlik I. ve II. aralıkların tümünde sağlanır.
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3e \lt \abs{x} \lt 8\pi \) eşitsizliğini sağlayan kaç \( x \) değeri vardır?
Çözümü GösterEuler (\( e \)) ve \( \pi \) sayılarının ondalık gösterimi yaklaşık olarak aşağıdaki gibidir.
\( e = 2,71\ldots \)
\( \pi = 3,14\ldots \)
Verilen eşitsizliği bu değerleri yerine koyarak yazalım.
\( 3e \lt \abs{x} \lt 8\pi \)
\( 3(2,71\ldots) \lt \abs{x} \lt 8(3,14\ldots) \)
\( 8,13\ldots \lt \abs{x} \lt 25,12\ldots \)
\( x \ge 0 \) ise,
\( 8,13\ldots \lt x \lt 25,12\ldots \)
\( x \in [9, 25] \)
\( x \lt 0 \) ise,
\( 8,13\ldots \lt -x \lt 25,12\ldots \)
\( -8,13\ldots \gt x \gt -25,12\ldots \)
\( x \in [-25, -9] \)
2 aralığın birleşim kümesi \( x \) çözüm kümesini verir.
\( x \in [-25, -9] \cup [9, 25] \)
Her iki aralıkta da \( 25 - 9 + 1 = 17 \) değer olmak üzere, bu aralıkta toplam \( 2 \cdot 17 = 34 \) tam sayı değer bulunur.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( -\dfrac{48}{5} \lt x \le -3 \lt y \lt \sqrt{61} \)
eşitsizliğine göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( x + y \) toplamını asal sayı yapan \( (x, y) \) ikilileri 5 tanedir.
II. \( y - x \) farkı en fazla 4'tür.
III. \( xy \) çarpımı en fazla 18'dir.
IV. \( \dfrac{x^2}{y} \) sonucu en az \( -81 \)'dir.
Çözümü GösterEşitsizliğin sınır değerlerini ondalık gösterimde yazalım.
\( -9,6 \lt x \le -3 \lt y \lt 7,8\ldots \)
\( x \) ve \( y \)'nin alabileceği tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{ -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3 \} \)
\( y \in \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
I. öncül:
\( x + y \) toplamını asal sayı yapan \( (x, y) \) ikilileri 5 tanedir.
\( (x, y) \in \{ (-5, 7), (-4, 6), (-4, 7), (-3, 5), (-3, 6) \} \)
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( y - x \) farkının en büyük değerini bulmak için \( y \)'yi en büyük, \( x \)'i en küçük seçelim.
\( 7 - (-9) = 16 \)
II. öncül yanlıştır.
III. öncül:
\( x \)'in tüm değerleri negatif olduğu için \( xy \) çarpımının en büyük değerini bulmak için iki değişkenin de en küçük negatif değerlerini seçelim.
\( xy = (-9)(-2) = 18 \)
III. öncül doğrudur.
IV. öncül:
\( x^2 \) pozitif olduğu için sonucun en küçük olması için paydaki \( x \)'i mutlak değerce en büyük, paydadaki \( y \)'yi en büyük negatif değer olarak seçelim.
\( \dfrac{x^2}{y} = \dfrac{(-9)^2}{-1} = -81 \)
IV. öncül doğrudur.
Buna göre I., III ve IV. öncüller doğrudur.
\( b \lt 0 \lt a \) olmak üzere,
Aşağıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( \dfrac{a}{b} \lt 0 \)
II. \( b - a \gt 0 \)
III. \( \dfrac{a + b}{a} \lt 0 \)
IV. \( \dfrac{b + a}{b - a} \lt 0 \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( \dfrac{a}{b} \lt 0 \)
\( a \) pozitif ve \( b \) negatif olduğundan \( \frac{a}{b} \) negatif olur.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( b - a \gt 0 \)
\( b \) sayısı \( a \)'dan küçük olduğundan \( b - a \) negatif olur.
II. öncül yanlıştır.
III. öncül:
\( \dfrac{a + b}{a} \lt 0 \)
\( \dfrac{a + b}{a} = \dfrac{b}{a} + 1 \)
\( \frac{b}{a} \) ifadesi negatiftir, ancak 1 eklediğimizde sonuç pozitif, negatif ya da sıfır olabilir.
III. öncül doğru ya da yanlış olabilir.
IV. öncül:
\( \dfrac{b + a}{b - a} \lt 0 \)
\( b - a \) negatiftir, ancak \( b + a \) pozitif, negatif ya da sıfır olabilir.
III. öncül doğru ya da yanlış olabilir.
Buna göre sadece I. öncül kesinlikle doğrudur.
\( x, y, z \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x \lt y \lt z \lt 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi hiçbir zaman doğru olamaz?
(a) \( yz \gt x \)
(b) \( x - z \gt y \)
(c) \( \dfrac{x}{y} \gt z \)
(d) \( y + z \gt x \)
(e) \( x + z \gt y \)
Çözümü GösterÖncülleri sırayla inceleyelim.
(a) seçeneği:
\( yz \gt x \)
\( y \) ve \( z \) negatif olduğu için çarpımları pozitif olur. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan büyük olduğu için bu öncül her zaman doğru olur.
(b) seçeneği:
\( x - z \gt y \)
\( x \) sayısından kendisinden daha büyük olan \( z \) sayısı çıkarıldığında sonuç negatif olur. Elde edilen sonuç negatif \( y \) sayısından büyük ya da küçük olabilir, dolayısıyla bu eşitsizlik doğru ya da yanlış olabilir.
(c) seçeneği:
\( \dfrac{x}{y} \gt z \)
\( x \) ve \( y \) negatif olduğu için bölümleri pozitif olur. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan büyük olduğu için bu öncül her zaman doğru olur.
(d) seçeneği:
\( y + z \gt x \)
Negatif \( y \) sayısı ile negatif \( z \) sayısı toplandığında sonuç \( y \) sayısından daha küçük bir negatif sayı olur. Elde edilen sonuç negatif \( x \) sayısından büyük ya da küçük olabilir, dolayısıyla bu eşitsizlik doğru ya da yanlış olabilir.
(e) seçeneği:
\( x + z \gt y \)
Negatif \( x \) sayısı ile negatif \( z \) sayısı toplandığında sonuç \( x \) sayısından daha küçük bir negatif sayı olur, dolayısıyla bu eşitsizlik hiçbir zaman doğru olamaz.
Buna göre (e) seçeneğindeki eşitsizlik hiçbir zaman doğru olamaz.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Aşağıdaki öncüllerden hangileri her zaman \( a \)'dan büyüktür ya da ona eşittir?
I. \( 2a \)
II. \( a^2 \)
III. \( \abs{a} \)
IV. \( a^2 + a \)
Çözümü GösterÖncülleri sırayla inceleyelim.
I. öncül:
\( a \lt 0 \) olduğunda \( 2a \lt a \) olur.
\( a = -2 \) için:
\( -4 \lt -2 \)
I. öncül istenen koşulu her zaman sağlamaz.
II. öncül:
\( a \in (0, 1) \) olduğunda \( a^2 \lt a \) olur.
\( a = 0,5 \) için:
\( 0,25 \lt 0,5 \)
II. öncül istenen koşulu her zaman sağlamaz.
III. öncül:
\( a \lt 0 \) olduğunda \( \abs{a} \gt a \) olur.
\( a \ge 0 \) olduğunda \( \abs{a} = a \) olur.
III. öncül istenen koşulu her zaman sağlar.
IV. öncül:
\( a^2 \ge 0 \)
Eşitsizliğin iki tarafına \( a \) ekleyelim.
\( a^2 + a \ge a \)
IV. öncül istenen koşulu her zaman sağlar.
Buna göre, III. ve IV. öncüller istenen koşulu her zaman sağlar.