Denklemler
İki cebirsel ifadenin değerlerinin birbirine eşit olduğunu bu ifadeler arasına konan bir eşitlik sembolü (\( = \)) ile gösteren matematiksel ifadelere denklem ya da eşitlik denir.
Bir denklemin eşitlik sembolüne göre konumunu gösteren, sol ve sağ olmak üzere iki tarafı vardır.
\( \underbrace{2x - 3}_\text{denklemin sol tarafı} = \underbrace{x + 4}_\text{denklemin sağ tarafı} \)
Bir denklemin tarafları ve bu taraflar arasındaki eşitlik, bir terazinin kefeleri ve (kefelerin ağırlıkları eşit olduğu durumda) aralarındaki denge durumuna benzetilebilir.
Eşitlik sembolü içermeyen \( 3x - 6 \) şeklindeki ifadeler denklem değil, cebirsel ifadedir.
Bir denklem belirli değerleri aldığında eşitliğin sağlandığı bilinmeyenlerden (değişkenlerden) oluşur. Bu bilinmeyenler için genellikle alfabenin sonundaki \( x \), \( y \), \( z \) harfleri kullanılır.
Bir denklemdeki bilinmeyenlerin katsayıları ve denklemin sabit terimleri denklemin bilinen değerleridir.
\( 2x + 3y - 5 = 0 \)
Denklemin bilinmeyenleri: \( x, y \)
Bilinmeyenlerin katsayıları: \( 2, 3, -5 \)
Denklemin sabit terimi: \( -5 \)
Bilinmeyenlerin tüm olası değerleri için eşitliği sağlanan denklemlere özdeşlik denir. En sık kullanılan özdeşliklerden bazıları şunlardır:
\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
Denklem Sistemleri
Aynı bilinmeyenleri içeren, iki ya da daha fazla denklemden oluşan ve tüm denklemleri birlikte sağlayan bir çözümü bulunmaya çalışılan denklem grubuna denklem sistemi denir.
Aşağıda üç denklemden oluşan bir denklem sistemi örnek olarak verilmiştir.
\( \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + y + 2z = 15 \\ x + 3y + 6z = 18 \end{cases} \)
Bilinmeyen Sayısına Göre Denklemler
Denklemler içerdikleri bilinmeyen sayısına göre bir, iki, üç ya da \( n \) bilinmeyenli denklem şeklinde isimlendirilirler.
Bir bilinmeyenli denklem: \( 4(x - 1) = x + 2 \)
İki bilinmeyenli denklem: \( y = 2x + 2 \)
Üç bilinmeyenli denklem: \( x + 2y + 6z = 16 \)
Denklem Tipleri
Denklemler içerdikleri üslü/köklü/mutlak değerli ifadeler ya da fonksiyonlara göre de birbirlerinden ayrılırlar. Aşağıda farklı denklem tiplerine birer örnek verilmiştir.
| Tip | Örnek |
|---|---|
| Birinci dereceden (lineer) denklemler | \( 2x + 6 = 12 \) |
| İkinci dereceden denklemler | \( x^2 - 4x - 12 = 0 \) |
| Polinom denklemleri | \( x^4 - 2x^3 + 8x - 5 = 0 \) |
| Köklü denklemler | \( \sqrt{x - 2} - 4 = 0 \) |
| Mutlak değerli denklemler | \( \abs{2x - 1} = 3 \) |
| Trigonometrik denklemler | \( \sin(2x) = \cos{x} \) |
| Ters trigonometrik denklemler | \( \arcsin{x} = \arccos(2x) \) |
| Üstel denklemler | \( 5^{2x} = 25^4 \) |
| Logaritmik denklemler | \( \log_2{x^2} = 8 \) |
| Parametrik denklemler | \( x = \cos{t} \) \( y = \sin{t} \) |
Her bir denklem tipinde, o denklem tipine ismini veren matematiksel ifade ya da fonksiyonun bir bilinmeyen içermesi gerekir.
Aşağıdaki denklem köklü değil, lineer bir denklemdir.
\( \sqrt{2} \cdot x = 5 \)
Aşağıdaki denklem trigonometrik değil, ikinci dereceden bir denklemdir.
\( \sin{30°} \cdot x^2 - 1 = 0 \)
Aşağıdaki denklem mutlak değerli değil, köklü bir denklemdir.
\( \sqrt{x} - \abs{-3} = 9 \)