Eşitsizliklerin Özellikleri
Denklemlerden farklı olarak, eşitsizliklerin taraflarına her işlem uygulanamaz ya da uygulanan bazı işlemler sonucunda eşitsizlik sembolü yön değiştirir. Eşitsizliklerin özellikleri, bir eşitsizliğin tarafları üzerinde hangi işlemlerin yapılabileceğini ve hangi durumlarda eşitsizlik sembolünün yön değiştireceğini belirtir. Bu özellikler eşitsizlik çözümlerinde sıklıkla kullanılır.
Aşağıda bahsedeceğimiz özelliklerde \( \lt \) sembolü kullanılmış olsa da bu özellikler diğer eşitsizlik sembolleri için de geçerlidir.
Bir eşitsizliğin iki tarafı aralarında yer değiştirirse eşitsizlik de yön değiştirir.
\( x \lt y \Longleftrightarrow y \gt x \)
\( x \lt 5 \Longleftrightarrow 5 \gt x \)
Geçişlilik özelliğine göre, bir ifade ikinci bir ifadeden, ikinci ifade de üçüncü bir ifadeden küçükse (küçük eşitse) birinci ifade üçüncü ifadeden küçük (küçük eşit) olur.
\( x \textcolor{red}{\lt} y \textcolor{red}{\lt} z \) ise, \( \quad x \textcolor{red}{\lt} z \)
\( x \textcolor{red}{\lt} y \textcolor{blue}{\le} z \) ise, \( \quad x \textcolor{red}{\lt} z \)
\( x \textcolor{blue}{\le} y \textcolor{red}{\lt} z \) ise, \( \quad x \textcolor{red}{\lt} z \)
\( x \textcolor{blue}{\le} y \textcolor{blue}{\le} z \) ise, \( \quad x \textcolor{blue}{\le} z \)
Yukarıda dördüncü satırda belirtildiği üzere, \( x \) ve \( z \) arasındaki sembol sadece iki değişkenin \( y \) ile arasındaki sembol "küçük eşit" olduğunda "küçük eşit" olur, diğer üç durumda "küçük" olur. Bunun sebebi, \( x = z \) olabilmesi için \( x = y = z \) olmasının gerekmesidir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı reel sayı ile toplandığında ya da her iki tarafından aynı reel sayı çıkarıldığıda eşitsizlik bozulmaz.
\( x \lt y \) ise,
\( x + c \lt y + c \)
\( x - c \lt y - c \)
\( 2 \le 2x \lt 9 \) ise,
\( 2 + 5 \le 2x + 5 \lt 9 + 5 \)
\( 2 - 7 \le 2x - 7 \lt 9 - 7 \)
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif reel sayıyla çarpıldığında ya da aynı pozitif reel sayıya bölündüğünde eşitsizlik bozulmaz.
\( c \gt 0 \) olmak üzere,
\( x \lt y \) ise,
\( c \cdot x \lt c \cdot y \)
\( \dfrac{x}{c} \lt \dfrac{y}{c} \)
\( c = 3 \) olmak üzere,
\( -4 \lt 3x \le 7 \) ise,
\( 3 \cdot (-4) \lt 3 \cdot 3x \le 3 \cdot 7 \)
\( \dfrac{-4}{3} \lt \dfrac{3x}{3} \le \dfrac{7}{3} \)
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif reel sayıyla çarpıldığında ya da aynı negatif reel sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
\( c \lt 0 \) olmak üzere,
\( x \lt y \) ise,
\( c \cdot x \gt c \cdot y \)
\( \dfrac{x}{c} \gt \dfrac{y}{c} \)
\( c = -2 \) olmak üzere,
\( -8 \lt 2x \le 6 \) ise,
\( -2 \cdot (-8) \gt -2 \cdot 2x \ge -2 \cdot 6 \)
\( 16 \gt -4x \ge -12 \)
\( \dfrac{-8}{-2} \gt \dfrac{2x}{-2} \ge \dfrac{6}{-2} \)
\( 4 \gt -x \ge -3 \)
Yukarıdaki özelliğin bir uygulaması olarak, bir eşitsizliğin her iki tarafı \( -1 \) ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( x \lt y \) ise,
\( -x \gt -y \)
\( -11 \le 3x \lt 9 \) ise,
\( 11 \ge -3x \gt -9 \)
Eşitsizliğin tarafları aynı işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( x \ne 0, \quad y \ne 0, \quad x \cdot y \gt 0 \) olmak üzere,
\( x \lt y \) ise,
\( \dfrac{1}{x} \gt \dfrac{1}{y} \)
\( 2 \lt 4 \Longrightarrow \frac{1}{2} \gt \frac{1}{4} \)
\( -5 \lt -3 \Longrightarrow -\frac{1}{5} \gt -\frac{1}{3} \)
Eşitsizliğin tarafları ters işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik bozulmaz.
\( x \ne 0, \quad y \ne 0, \quad x \cdot y \lt 0 \) olmak üzere,
\( x \lt y \) ise,
\( \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{y} \)
\( -2 \lt 4 \Longrightarrow -\frac{1}{2} \lt \frac{1}{4} \)
Bir eşitsizliğin her iki tarafı bir sayı ile çarpıldığında ya da bölündüğünde, bu sayının pozitif ya da negatif olmasına göre eşitsizlik sembolünün aynı kaldığını ya da yön değiştirdiğini belirttik, bu yüzden böyle bir işlemde kullanılan sayının işaretini bilmemiz önem taşımaktadır.
Eğer bir eşitsizliğin her iki tarafı bir değişkenle çarpıyorsak bu değişkenin değerinin işaretinden emin olmamız, olamıyorsak böyle bir çarpma/bölme işlemini yapmamamız gerekir.
\( 2 \le \dfrac{3x - 1}{4} \lt 5 \) olduğuna göre, \( x \) değer aralığını bulalım.
Aynı işlemleri eşitsizliğin taraflarına adım adım uygulayarak \( x \)'i yalnız bırakalım.
Eşitsizliğin taraflarını 4 ile çarpalım.
\( 4 \cdot 2 \le 4 \cdot \dfrac{3x - 1}{4} \lt 4 \cdot 5 \)
\( 8 \le 3x - 1 \lt 20 \)
Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.
\( 8 + 1 \le 3x - 1 + 1 \lt 20 + 1 \)
\( 9 \le 3x \lt 21 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.
\( \dfrac{9}{3} \le \dfrac{3x}{3} \lt \dfrac{21}{3} \)
\( 3 \le x \lt 7 \)
Bir eşitsizliğin taraflarının karesi (ya da pozitif çift sayı olan bir üssü) alınırken, eğer aralık sıfır değerini içermiyorsa sınır değerlerinin karesi alınır.
\( 2 \lt x \Longrightarrow 4 \lt x^2 \)
\( x \le -2 \Longrightarrow 4 \le x^2 \)
\( 2 \le x \lt 5 \Longrightarrow 4 \le x^2 \lt 25 \)
\( -5 \le x \lt -2 \Longrightarrow 4 \lt x^2 \le 25 \)
Bir eşitsizliğin taraflarının karesi (ya da pozitif çift sayı olan bir üssü) alınırken, eğer aralık sıfır değerini içeriyorsa alt sınır değeri sıfırdan büyük ve sıfıra eşit olur, üst sınır değeri eşitsizlikteki sınır değerlerinden mutlak değerce büyük olanın karesi olur.
\( -2 \lt x \Longrightarrow 0 \le x^2 \)
\( x \lt 2 \Longrightarrow 0 \le x^2 \)
\( -2 \lt x \le 5 \Longrightarrow 0 \le x^2 \le 25 \)
\( -5 \lt x \le 2 \Longrightarrow 0 \le x^2 \lt 25 \)
\( -7 \lt x \le 3 \) olduğuna göre, \( 2x^2 - 16 \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
Verilen aralık sıfır değerini içerdiği için, tarafların karesini aldığımızda alt sınır değeri sıfırdan büyük ve sıfıra eşit olur, üst sınır değeri eşitsizlikteki sınır değerlerinden mutlak değerce büyük olanın karesi olur.
\( 0 \le x^2 \lt 49 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 0 \le 2x^2 \lt 98 \)
Eşitsizliğin taraflarından 16 çıkaralım.
\( 0 - 16 \le 2x^2 - 16 \lt 98 - 16 \)
\( -16 \le 2x^2 - 16 \lt 82 \)
Yukarıda bazı işlemlerde eşitsizlik sembolünün yön değiştirdiğinden bahsettik. Aşağıda her eşitsizlik sembolünün ters yönlü sembolü verilmiştir. Eşitsizliklerde kullanılan bir sembolün ters sembolü ile, mantık konusunda göreceğimiz bir sembolün değili (olumsuzu) arasındaki ayrımı göstermek adına üçüncü sütunda bu sembol de belirtilmiştir.
| Sembol | Ters Yönlü Sembol | Değil (Mantık) |
|---|---|---|
| \( \gt \) | \( \lt \) | \( \le \) |
| \( \lt \) | \( \gt \) | \( \ge \) |
| \( \le \) | \( \ge \) | \( \gt \) |
| \( \ge \) | \( \le \) | \( \lt \) |
Taraf Tarafa İşlemler
Bir denklemin iki tarafı birbirine eşit olduğu için iki denklemin taraf tarafa toplanması, çıkarılması, çarpılması ya da bölünmesi eşitliği bozmaz. Eşitsizlikler arasında ise bu taraf tarafa işlemler sadece belirli durumlarda yapılabilir.
Taraf Tarafa Toplama
Taraflar arasındaki eşitsizlik sembolü aynı yönlü olmak koşuluyla, eşitsizlikler arasında taraf tarafa toplama işlemi yapılabilir.
\( x \lt y \)
\( u \lt t \)
\( x + u \lt y + t \)
\( 2 \lt x \) ve \( -1 \lt y \) ise,
\( 2 + (-1) \lt x + y \)
Eşitsizlik sembollerinin yönü farklı ise önce semboller aynı yöne gelecek şekilde eşitsizliğin tarafları aralarında yer değiştirilir, sonra eşitsizlikler arasında taraf tarafa toplama işlemi yapılabilir.
\( x \lt y \)
\( u \gt t \Longrightarrow t \lt u \)
\( x + t \lt y + u \)
\( 6 \lt x \)
\( y \gt 2 \Longrightarrow 2 \lt y \)
\( 6 + 2 \lt x + y \)
Alternatif olarak, eşitsizliğin tarafları \( -1 \) ile çarpılarak ve eşitsizliğin yönü değiştirilerek de semboller aynı yönlü yapılabilir.
\( x \lt y \)
\( u \gt t \Longrightarrow -u \lt -t \)
\( x + (-u) \lt y + (-t) \)
\( 6 \lt x \)
\( y \gt 2 \Longrightarrow -y \lt -2 \)
\( 6 + (-y) \lt x + (-2) \)
Taraf tarafa toplanan eşitsizliklerde birbirine karşılık gelen sembollerin ikisi de \( \le \) ise toplamlarından oluşan eşitsizlikte de sembol \( \le \) olur. Sembollerden en az biri \( \lt \) ise toplam eşitsizliğinde sembol \( \lt \) olur.
\( 10 \textcolor{blue}{\le} x \textcolor{blue}{\le} 15 \)
\( 12 \textcolor{blue}{\le} y \textcolor{red}{\lt} 20 \) ise,
\( 22 \textcolor{blue}{\le} x + y \textcolor{red}{\lt} 35 \)
Bunun sebebini yukarıdaki örnek üzerinden açıklarsak, \( x + y = 35 \) olabilmesi için \( x = 15 \) ve \( y = 20 \) olmalıdır, ancak \( y \lt 20 \) olduğu için \( y \) hiçbir zaman 20 değerini alamaz.
Taraf Tarafa Çarpma
İki taraflı eşitsizliklerde (\( x \lt y \)), eşitsizliklerden en az birinin her iki tarafının pozitif olduğu biliniyorsa eşitsizlikler arasında taraf tarafa çarpma işlemi yapılabilir.
\( x \lt y \)
\( 0 \lt u \lt t \)
\( x \cdot u \lt y \cdot t \)
\( 4 \lt x \)
\( 3 \lt y \)
\( 4 \cdot 3 \lt x \cdot y \)
Üç taraflı eşitsizliklerde (\( a \lt x \lt b \)), iki eşitsizlik arasında taraf tarafa çarpma işlemi yapıldığında sonuç eşitsizliklerin uç değerleri arasındaki çarpımların en küçük ve en büyük değerleri arasında olur.
\( a \lt x \lt b \)
\( c \lt y \lt d \)
Eşitsizliklerin uç değerleri arasındaki \( a \cdot c \), \( a \cdot d \), \( b \cdot c \), \( b \cdot d \) çarpımlarının en küçüğü \( m \), en büyüğü \( n \) olmak üzere,
\( m \lt x \cdot y \lt n \)
\( -2 \lt x \lt 3 \)
\( -4 \lt y \lt 5 \)
Uç değerlerin birbiriyle çarpımları: \( -2 \cdot (-4) = 8, -2 \cdot 5 = -10, 3 \cdot (-4) = -12, 3 \cdot 5 = 15 \)
Bu çarpım değerlerinin en küçüğü \( -12 \), en büyüğü \( 15 \) olur.
\( -12 \lt x \cdot y \lt 15 \)
Taraf Tarafa Çıkarma
Eşitsizlikler arasında taraf tarafa çıkarma işlemi yapılamaz. Bu işlemin hatalı sonuç verebileceğine aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
\( 10 \lt 20 \)
\( 1 \lt 15 \)
\( 10 - 1 \not\lt 20 - 15 \)
Alternatif olarak, ikinci eşitsizlikte taraflar \( -1 \) ile çarpılıp eşitsizliğin yönü değiştirildikten sonra eşitsizlikler arasında taraf tarafa toplama işlemi yapılabilir.
\( x \lt 20 \)
\( y \lt 15 \Longrightarrow -15 \lt -y \)
İki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\( x + (-15) \lt 20 + (-y) \)
\( x - 15 \lt 20 - y \)
Taraf Tarafa Bölme
Eşitsizlikler arasında taraf tarafa bölme işlemi yapılamaz. Bu işlemin hatalı sonuç verebileceğine aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
\( 10 \lt 20 \)
\( 1 \lt 20 \)
\( \dfrac{10}{1} \not\lt \dfrac{20}{20} \)
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( -3 \lt x \le 4 \)
\( -15 \lt y \le -6 \)
olduğuna göre, \( x + 2y - 2 \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
\( x + 2y \) ifadesinin değer aralığını elde etmek için \( x \) ve \( 2y \) değer aralıklarını taraf tarafa toplamamız gerekir.
\( 2y \) değer aralığını bulmak için \( y \) değer aralığının taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 2 \cdot (-15) \lt 2y \le 2 \cdot (-6) \)
\( -30 \lt 2y \le -12 \)
\( x \) ve \( 2y \) değer aralıklarını taraf tarafa toplayalım.
\( -3 \lt x \le 4 \)
\( -30 \lt 2y \le -12 \)
\( -3 + (-30) \lt x + 2y \le 4 + (-12) \)
\( -33 \lt x + 2y \le -8 \)
Eşitsizliğin taraflarından 2 çıkaralım.
\( -33 - 2 \lt x + 2y - 2 \le -8 - 2 \)
\( -35 \lt x + 2y - 2 \le -10 \)
\( -\dfrac{9}{2} \lt 12 - 4x \lt \dfrac{4}{3} \)
eşitsizliğine göre, \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitsizliğin taraflarına adım adım aynı işlemleri uygulayarak \( x \)'i yalnız bırakalım.
Eşitsizliğin taraflarından 12 çıkaralım.
\( -\dfrac{9}{2} - 12 \lt 12 - 4x - 12 \lt \dfrac{4}{3} - 12 \)
\( -\dfrac{33}{2} \lt -4x \lt -\dfrac{32}{3} \)
Eşitsizliğin taraflarını -4'e bölelim.
Eşitsizliği negatif bir sayıyla çarptığımızda ya da böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{-33}{2(-4)} \gt x \gt \dfrac{-32}{3(-4)} \)
\( \dfrac{33}{8} \gt x \gt \dfrac{8}{3} \)
\( x \) tam sayı değer aralığını daha net görebilmek için kesirleri tam sayılı kesir şeklinde yazalım.
\( 4 \dfrac{1}{8} \gt x \gt 2\dfrac{2}{3} \)
Bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulalım.
\( 3 + 4 = 7 \) bulunur.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 2 \lt x \le 6 \)
\( -5 \lt y \le 8 \)
eşitsizliklerine göre, \( 3x - y \) ifadesinin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x \) ve \( y \) değer aralıklarını kullanarak verilen ifadenin değer aralığını bulalım.
Eşitsizlikler arasında taraf tarafa çıkarma yapılamaz. Bunun yerine \( -y \)'nin değer aralığını bularak \( 3x \)'in değer aralığı ile taraf tarafa toplayalım.
\( 3x \) değer aralığını bulmak için \( x \) değer aralığının taraflarını 3 ile çarpalım.
\( 2 \cdot 3 \lt 3x \le 6 \cdot 3 \)
\( 6 \lt 3x \le 18 \)
\( -y \) değer aralığını bulmak için \( y \) değer aralığının taraflarını \( -1 \) ile çarpalım.
Bir eşitsizliği negatif bir reel sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( 5 \gt -y \ge -8 \)
\( -8 \le -y \lt 5 \)
Elde ettiğimiz iki aralığı taraf tarafa toplayalım.
\( 6 \lt 3x \le 18 \)
\( -8 \le -y \lt 5 \)
Eşitsizlikleri taraf tarafa toplarken aynı taraftaki eşitsizlik sembolleri farklı olduğu için (\( \lt \) ve \( \le \)) toplam eşitsizliğinde \( \lt \) sembolünü kullanmamız gerekir.
\( 6 + (-8) \lt 3x - y \lt 18 + 5 \)
\( -2 \lt 3x - y \lt 23 \)
\( -\dfrac{2}{3} \lt x \lt \dfrac{5}{9} \)
\( -\dfrac{2}{5} \lt y \lt \dfrac{8}{3} \)
eşitsizliklerine göre, \( 9x - 15y + 8 \) ifadesinin değer aralığı nedir?
Çözümü GösterBirinci eşitsizliğin taraflarını 9 ile çarpalım.
\( -6 \lt 9x \lt 5 \)
Eşitsizlikler arasında taraf tarafa çıkarma yapılamaz. Bunun yerine \( -15y \) ifadesinin değer aralığını bularak \( 9x \) değer aralığı ile taraf tarafa toplayalım.
İkinci eşitsizliğin taraflarını \( -15 \) ile çarpalım.
Bir eşitsizliğin taraflarını negatif bir sayıyla çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( 6 \gt -15y \gt -40 \)
\( -40 \lt -15y \lt 6 \)
Birinci ve ikinci eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\( -6 + (-40) \lt 9x + (-15y) \lt 5 + 6 \)
\( -46 \lt 9x - 15y \lt 11 \)
Eşitsizliğin taraflarına 8 ekleyelim.
\( -38 \lt 9x - 15y + 8 \lt 19 \)
I. \( x \lt y \)
II. \( x \lt 64\)
III. \( 1 \lt x \)
Yukarıdaki eşitsizliklerden hangilerinde tarafların 4. kuvveti alındığında eşitsizliğin yönü kesinlikle değişmez?
Çözümü GösterBir eşitsizliğin taraflarını negatif bir reel sayıyla çarptığımızda ya da böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir.
I. öncül:
\( x \lt y \)
Bu öncülde \( x \) ve \( y \)'nin işaretleri bilinmemektedir.
\( 0 \lt x \lt y \) olduğu durumda eşitsizliğin taraflarının 4. kuvvetini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirmez, ancak örneğin \( x \lt y \lt 0 \) olduğu durumda yön değiştirir.
I. öncülde eşitsizliğin yönü hakkında kesin yorum yapamayız.
II. öncül:
\( x \lt 64\)
Bu öncülde de \( x \)'in işareti kesin olarak bilinmemektedir.
\( 0 \lt x \) olduğu durumda eşitsizliğin taraflarının 4. kuvvetini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirmez, ancak örneğin \( x \lt 0 \) olduğu durumda yön değiştirir.
\( 1^4 \lt 64^4 \)
\( (-65)^4 \gt 64^4 \)
II. öncülde eşitsizliğin yönü hakkında kesin yorum yapamayız.
III. öncül:
\( 1 \lt x \)
Bu öncülde \( x \)'in pozitif olduğunu biliyoruz.
\( x \)'in her değeri için eşitsizliğin taraflarının 4. kuvvetini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirmez.
Buna göre sadece III. öncüldeki eşitsizliğin yönü kesinlikle değişmez.
\( a, b \in \mathbb{R^+}, c \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( a \gt b \) olduğuna göre, aşağıdaki eşitsizliklerden hangileri doğrudur?
I. \( a + c \lt b + c \)
II. \( ac \gt bc \)
III. \( \dfrac{a}{c^2} \gt \dfrac{b}{c^2} \)
IV. \( a^c \lt b^c \)
Çözümü GösterI. öncül
\( a + c \lt b + c \)
Bir eşitsizliğin taraflarına aynı pozitif ya da negatif sayı eklendiğinde eşitsizliğin yönü değişmez.
I. öncül yanlıştır.
II. öncül
\( ac \gt bc \)
Bir eşitsizliğin tarafları aynı negatif sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişir.
II. öncül yanlıştır.
III. öncül
\( \dfrac{a}{c^2} \gt \dfrac{b}{c^2} \)
\( c^2 \gt 0 \)
Bir eşitsizliğin tarafları aynı pozitif sayı ile çarpıldığında ya da bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişmez.
III. öncül doğrudur.
IV. öncül
\( a^c \lt b^c \)
\( \dfrac{1}{a^{\abs{c}}} \lt \dfrac{1}{b^{\abs{c}}} \)
\( (\dfrac{1}{a})^{\abs{c}} \lt (\dfrac{1}{b})^{\abs{c}} \)
Tarafları pozitif olan bir eşitsizliğin pozitif sayı üssü alındığında eşitsizliğin yönü değişmez.
\( \dfrac{1}{a} \lt \dfrac{1}{b} \)
Tarafları pozitif olan bir eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizliğin yönü değişir.
\( a \gt b \)
IV. öncül doğrudur.
Buna göre, III. ve IV. öncüller doğrudur.
\( 2n \lt 8 \lt n + 11 \)
eşitsizliği göre, \( \abs{n} - n \) ifadesinin değer aralığı nedir?
Çözümü GösterVerilen eşitsizliği \( 2n \lt 8 \) ve \( 8 \lt n + 11 \) şeklinde iki eşitsizliğe bölerek ayrı ayrı inceleyelim.
Birinci eşitsizliği inceleyelim.
\( 2n \lt 8 \)
\( n \lt 4 \)
İkinci eşitsizliği inceleyelim.
\( 8 \lt n + 11 \)
Sağ taraftaki sabit terimi sol tarafa atarak \( n \)'yi yalnız bırakalım.
\( 8 - 11 \lt n \)
\( -3 \lt n \)
\( n \)'nin değer aralığı bulduğumuz iki eşitsizliğin kesişim kümesidir.
\( -3 \lt n \lt 4 \)
Soruda istenen \( \abs{n} - n \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
\( n \) değer aralığında tarafların mutlak değerini alalım.
Mutlak değerli bir ifade her zaman 0'dan büyük olacağı ve 0 bu aralığın içinde bulunduğu için eşitsizliğin sol tarafı \( 0 \le \abs{n} \) olur.
\( 0 \le \abs{n} \lt 4 \)
Eşitsizliklerde taraf tarafa çıkarma işlemi yapılamaz. Bunun yerine \( n \)'nin ters işaretlisinin değer aralığını bulalım ve \( \abs{n} \) değer aralığı ile taraf tarafa toplayalım.
\( n \) değer aralığının taraflarını -1 ile çarpalım.
Bir eşitsizliği negatif bir sayıyla çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( -4 \lt -n \lt 3 \)
\( \abs{n} \) ve \( -n \) için bulduğumuz değer aralıklarını taraf tarafa toplayalım.
\( -4 \lt \abs{n} - n \lt 7 \)
Buna göre \( \abs{n} - n \) ifadesinin değer aralığı \( (-4, 7) \) açık aralığıdır.
\( x, y, z \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( -8 \le x \lt 3 \)
\( 3 \lt y \le 6 \)
\( 12 \lt z \)
olduğuna göre, \( 4x - 5y - 6z \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değer nedir?
Çözümü GösterBirinci eşitsizliğin taraflarını 4 ile çarpalım.
\( -32 \le 4x \lt 12 \)
İkinci eşitsizliğin taraflarını \( -5 \) ile çarpalım.
Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( -15 \gt -5y \ge -30 \)
\( -30 \le -5y \lt -15 \)
Üçüncü eşitsizliğin taraflarını \( -6 \) ile çarpalım.
\( -72 \gt -6z \)
\( -6z \lt -72 \)
Bulduğumuz üç eşitsizliği taraf tarafa toplayalım. Üçüncü eşitsizliğin alt sınırı olmadığı için (negatif sonsuz olduğu için) eşitsizliklerin toplamının da alt sınırı negatif sonsuz olur.
\( 4x - 5y - 6z \lt 12 + (-15) + (-72) \)
\( 4x - 5y - 6z \lt -75 \)
Buna göre \( 4x - 5y - 6z \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -76 \)'dır.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( -5 \lt x \lt 6 \) olduğuna göre,
\( x^2 + 6x \) ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x^2 + 6x \) ifadesini tam kareye tamamlamak için 9 ekleyip çıkaralım.
\( x^2 + 6x + 9 - 9 \)
\( = (x + 3)^2 - 9 \)
Soruda verilen eşitsizliğin taraflarına 3 ekleyelim.
\( -2 \lt x + 3 \lt 9 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
Eşitsizliğin bir sınır noktası negatif, diğeri pozitif olduğu için aralık 0 değerini içerir.
Kare alma işlemi sonucunda üst sınır değeri aralıktaki mutlak değeri en büyük sayının karesi olurken alt sınır değeri sıfır olur.
\( 0 \le (x + 3)^2 \lt 81 \)
Eşitsizliğin taraflarından 9 çıkaralım.
\( -9 \le (x + 3)^2 - 9 \lt 72 \)
Verilen ifadenin alabileceği en küçük tam sayı değeri \( -9 \)'dur.
\( x^2 + 6x \lt 16 \) olduğuna göre,
\( x^2 - 6x \) ifadesinin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x^2 + 6x - 16 \lt 0 \)
\( (x + 8)(x - 2) \lt 0 \)
Bu eşitsizlik her bir çarpanı sıfır yapan değerlerin arasındaki aralıkta sağlanır.
\( -8 \lt x \lt 2 \)
Eşitsizliğin taraflarından 3 çıkaralım.
\( -11 \lt x - 3 \lt -1 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( 1 \lt (x - 3)^2 \lt 121 \)
\( 1 \lt x^2 - 6x + 9 \lt 121 \)
Eşitsizliğin taraflarından 9 çıkaralım.
\( -8 \lt x^2 - 6x \lt 112 \)
\( x \in R \) olmak üzere,
\( -6 \le x \lt 1 \) olduğuna göre,
\( x^2 + 10x + 4 \) ifadesinin en geniş değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x \) değer aralığını istenen ikinci dereceden ifadenin formuna getirmeye çalışalım.
\( x^2 + 10x + 4 \) ifadesinin ilk iki terimini tam kareye tamamlayalım.
\( x^2 + 10x + 4 = x^2 + 10x + 25 - 21 \)
\( = (x + 5)^2 - 21 \)
Verilen eşitsizliği kullanarak adım adım işlemlerle bu ifadeyi elde edelim.
\( -6 \le x \lt 1 \)
Eşitsizliğin taraflarına 5 ekleyelim.
\( -1 \le x + 5 \lt 6 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
Eşitsizliğin bir sınır noktası negatif, diğeri pozitif olduğu için aralık 0 değerini içerir.
Kare alma işlemi sonucunda üst sınır değeri aralıktaki mutlak değeri en büyük sayının karesi olurken alt sınır değeri sıfır olur.
\( 0 \le (x + 5)^2 \lt 36 \)
Eşitsizliğin taraflarından 21 çıkaralım.
\( -21 \le (x + 5)^2 - 21 \lt 15 \)
Buna göre \( (x + 5)^2 - 21 \) ifadesinin en geniş değer aralığı \( [-21, 15) \) aralığıdır.
\( x^2 \lt x \) olmak üzere,
\( \dfrac{6x + 4}{x} \) ifadesinin değer aralığı nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{6x + 4}{x} = \dfrac{6x}{x} + \dfrac{4}{x} \)
\( = 6 + \dfrac{4}{x} \)
\( x^2 \) sıfır ya da pozitiftir.
\( x^2 \lt x \) eşitsizliğini sağlayan aralık \( 0 \lt x \lt 1 \) aralığıdır.
\( 0 \lt x \lt 1 \)
Bu aralığın çarpmaya göre tersini alalım.
Eşitsizliğin tarafları aynı işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( 1 \lt \dfrac{1}{x} \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarını 4 ile çarpalım.
\( 4 \lt \dfrac{4}{x} \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarına 6 eklediğimizde verilen ifadenin değer aralığını buluruz.
\( 10 \lt 6 + \dfrac{4}{x} \lt \infty \)
\( x \lt -x^2 \lt x^3 \) olmak üzere,
\( \dfrac{8 + 4x}{x} \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( -x^2 \) her zaman negatif olacağı için \( x \lt -x^2 \) eşitsizliği gereği \( x \) negatif bir sayıdır.
Negatif sayılar için \( x \lt -x^2 \lt x^3 \) eşitsizliği \( -1 \lt x \lt 0 \) aralığında sağlanır.
\( -1 \lt x \lt 0 \)
\( \dfrac{8 + 4x}{x} = \dfrac{8}{x} + \dfrac{4x}{x} = \dfrac{8}{x} + 4 \)
\( x \) değer aralığını kullanarak adım adım \( \frac{8}{x} + 4 \) ifadesini elde etmeye çalışalım. Bunun için önce \( \frac{1}{x} \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
Eşitsizliğin tarafları aynı işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{1}{-1} \gt \dfrac{1}{x} \gt -\infty \)
\( \dfrac{1}{x} \lt -1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 8 ile çarpalım.
\( \dfrac{8}{x} \lt -8 \)
Eşitsizliğin taraflarına 4 ekleyelim.
\( \dfrac{8}{x} + 4 \lt -4 \)
Buna göre sorudaki ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -5 \) olur.
\( -8 \lt x \lt -2 \) olmak üzere,
\( x^2 + 14x + 50 \) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( x^2 + 14x + 50 = x^2 + 14x + 49 + 1 \)
\( = (x + 7)^2 + 1 \)
Soruda verilen eşitsizliği \( (x + 7)^2 + 1 \) formuna getirelim.
\( -8 \lt x \lt -2 \)
Eşitsizliğin taraflarına 7 ekleyelim.
\( -1 \lt x + 7 \lt 5 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
Eşitsizliğin bir sınır noktası negatif, diğeri pozitif olduğu için aralık 0 değerini içerir.
Kare alma işlemi sonucunda üst sınır değeri aralıktaki mutlak değeri en büyük sayının karesi olurken alt sınır değeri sıfır olur.
\( 0 \le (x + 7)^2 \lt 25 \)
Eşitsizliğin taraflarına 1 ekleyelim.
\( 1 \le (x + 7)^2 + 1 \lt 26 \)
İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 25, en küçük tam sayı değeri 1'dir.
\( 25 \cdot 1 = 25 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) ve \( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 3a + 2b - 5c = 12 \)
\( -6 \lt b \lt 5 \)
\( -9 \lt c \lt -3 \)
olduğuna göre, \( a \) tam sayısı en fazla kaçtır?
Çözümü Göster\( 3a + 2b - 5c = 12 \)
\( 3a = 12 - 2b + 5c \)
Bu eşitliğe göre, \( a \)'nın en büyük değerini alması için işareti negatif olan \( b \) en küçük, işareti pozitif olan \( c \) en büyük değerini almalıdır.
\( b \) tam sayı olduğu için önce en küçük \( b \) değerini bulalım ve eşitliği \( a \) ve \( c \) arasına indirgeyelim.
\( -6 \lt b \lt 5 \)
\( b \)'nin en küçük tam sayı değeri \( b = -5 \) olur.
\( 3a + 2(-5) - 5c = 12 \)
\( 3a - 5c = 22 \)
\( c \)'yi yalnız bırakalım.
\( c = \dfrac{3a - 22}{5} \)
Bu ifadeyi \( c \) eşitsizliğinde yerine yazalım ve \( a \) değer aralığını bulalım.
\( -9 \lt \dfrac{3a - 22}{5} \lt -3 \)
Eşitsizliğin taraflarını 5 ile çarpalım.
\( -45 \lt 3a - 22 \lt -15 \)
Eşitsizliğin taraflarına 22 ekleyelim.
\( -23 \lt 3a \lt 7 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3'e bölelim.
\( -\dfrac{23}{3} \lt a \lt \dfrac{7}{3} \)
Buna göre \( a \) tam sayısı en fazla 2 olabilir.
\( -4 \lt a \lt 10 \)
\( -7 \lt b \lt 3 \)
olduğuna göre, \( 4a + 2ab - 4b \) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 4a + 2ab - 4b \) ifadesinden 8 çıkarıp 8 ekleyelim.
\( 4a + 2ab - 4b - 8 + 8 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = a(2b + 4) - 2(2b + 4) + 8 \)
\( = (a - 2)(2b + 4) + 8 \)
Birinci eşitsizliğin taraflarından 2 çıkaralım.
\( -4 \lt a \lt 10 \)
\( -6 \lt a - 2 \lt 8 \)
İkinci eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpıp 4 ekleyelim.
\( -7 \lt b \lt 3 \)
\( -14 \lt 2b \lt 6 \)
\( -10 \lt 2b + 4 \lt 10 \)
Bulduğumuz iki eşitsizliği taraf tarafa çarpalım. İki eşitsizliğin çarpımında sınır değerlerin birbiriyle çarpımlarının en küçük ve en büyük değerleri yeni eşitsizliğin sınır değerleri olur.
İki eşitsizliğin sınır değerlerinin çarpımlarını bulalım.
\( -6 \cdot (-10) = 60 \)
\( -6 \cdot 10 = -60 \)
\( 8 \cdot (-10) = -80 \)
\( 8 \cdot 10 = 80 \)
Bu çarpım değerlerinin en küçüğü \( -80 \), en büyüğü \( 80 \) olur.
\( -80 \lt (a - 2)(2b + 4) \lt 80 \)
Eşitsizliğin taraflarına 8 ekleyelim.
\( -72 \lt (a - 2)(2b + 4) + 8 \lt 88 \)
\( (a - 2)(2b + 4) + 8 \) ifadesinin alabileceği en büyük değer \( 87 \), en küçük değer \( -71 \) olur.
Bu iki değerin toplamı \( 87 + (-71) = 16 \) olarak bulunur.
Aşağıdaki tanım aralıklarının her biri için \( \frac{2}{x} \) ifadesinin görüntü kümesini bulunuz.
(a) \( x \gt 4 \)
(b) \( x \lt -6 \)
(c) \( x \in (-5, 2) - \{ 0 \} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 4 \lt x \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( 0 \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{4} \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 0 \lt \dfrac{2}{x} \lt \dfrac{1}{2} \)
(b) seçeneği:
\( -\infty \lt x \lt -6 \)
Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( -\dfrac{1}{6} \lt \dfrac{1}{x} \lt 0 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( -\dfrac{1}{3} \lt \dfrac{2}{x} \lt 0 \)
(c) seçeneği:
\( x \in (-5, 0) \cup (0, 2) \)
İki aralığı ayrı ayrı inceleyelim.
Aralık 1: \( (-5, 0) \)
\( -5 \lt x \lt 0 \)
Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( -\dfrac{1}{5} \gt \dfrac{1}{x} \gt -\infty \)
\( -\infty \lt \dfrac{1}{x} \lt -\dfrac{1}{5} \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( -\infty \lt \dfrac{2}{x} \lt -\dfrac{2}{5} \)
Aralık 2: \( (0, 2) \)
\( 0 \lt x \lt 2 \)
Eşitsizliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \infty \gt \dfrac{1}{x} \gt \dfrac{1}{2} \)
\( \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{1}{x} \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 1 \lt \dfrac{2}{x} \lt \infty \)
İfadenin görüntü kümesi yukarıda bulduğumuz iki aralığın birleşim kümesidir.
\( \frac{2}{x} \in (-\infty, -\frac{2}{5}) \cup (1, \infty) \)
\( 3 \lt x \lt 9 \)
\( 12 \lt y \lt 18 \)
eşitsizliklerine göre, \( \frac{x^2 + 2y^2}{xy} \) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{x^2 + 2y^2}{xy} = \dfrac{x^2}{xy} + \dfrac{2y^2}{xy} \)
\( = \dfrac{x}{y} + \dfrac{2y}{x} \)
Verilen eşitsizlikleri kullanarak \( \frac{x}{y} \) ve \( \frac{2y}{x} \) ifadelerinin değer aralıklarını ayrı ayrı bulalım.
\( \frac{x}{y} \) ifadesinin değer aralığını bulmak için ikinci eşitsizliğin çarpmaya göre tersini alalım.
Eşitsizliğin tarafları aynı işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{1}{18} \lt \dfrac{1}{y} \lt \dfrac{1}{12} \)
Elde ettiğimiz eşitsizliği \( x \) eşitsizliği ile taraf tarafa çarpalım.
\( 3 \lt x \lt 9 \)
İki eşitsizlik arasında taraf tarafa çarpma işlemi yapıldığında sonuç, eşitsizliklerin sınır değerleri arasındaki çarpımların en küçük ve en büyük değerleri arasında olur.
Sınır değerlerinin çapraz çarpımlarını bulalım.
\( \dfrac{1}{18} \cdot 3 = \dfrac{1}{6} \)
\( \dfrac{1}{18} \cdot 9 = \dfrac{1}{2} \)
\( \dfrac{1}{12} \cdot 3 = \dfrac{1}{4} \)
\( \dfrac{1}{12} \cdot 9 = \dfrac{3}{4} \)
Bu çarpım değerlerinin en küçüğü \( \frac{1}{6} \), en büyüğü \( \frac{3}{4} \)'tür
\( \dfrac{1}{6} \lt \dfrac{x}{y} \lt \dfrac{3}{4} \)
\( \frac{2y}{x} \) ifadesinin değer aralığını bulmak için \( \frac{x}{y} \) için bulduğumuz eşitsizliğin çarpma işlemine göre tersini alalım.
\( \dfrac{4}{3} \lt \dfrac{y}{x} \lt 6 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( \dfrac{8}{3} \lt \dfrac{2y}{x} \lt 12 \)
\( \frac{x}{y} \) ve \( \frac{2y}{x} \) için bulduğumuz eşitsizlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( \dfrac{1}{6} \lt \dfrac{x}{y} \lt \dfrac{3}{4} \)
\( \dfrac{8}{3} \lt \dfrac{2y}{x} \lt 12 \)
\( \dfrac{1}{6} + \dfrac{8}{3} \lt \dfrac{x}{y} + \dfrac{2y}{x} \lt \dfrac{3}{4} + 12 \)
\( \dfrac{51}{18} \lt \dfrac{x}{y} + \dfrac{2y}{x} \lt \dfrac{3}{4} + 12 \)
\( 2\dfrac{15}{18} \lt \dfrac{x}{y} + \dfrac{2y}{x} \lt 12\dfrac{3}{4} \)
Bu aralıkta \( 12 - 3 + 1 = 10 \) tam sayı değeri vardır.
\( A \in \mathbb{N} \) ve \( A \lt 150 \) olmak üzere,
\( (A - 80)(A - 82)(A - 84) \ldots (A - 120) \gt 0 \) eşitsizliği kaç farklı \( A \) değeri için sağlanır?
Çözümü GösterArdışık sayılarda terim sayısı formülü ile eşitsizlikteki çarpan sayısını bulalım.
\( 120 - 80 + 1 = 21 \) çarpan
Eşitsizlik 21 çarpanın tümü sıfırdan farklı olduğunda ve negatif çarpanların sayısı bir çift sayı olduğunda sağlanır.
\( 80, 82, 84, \ldots, 120 \) değerleri verilen ifadeyi sıfır yaptığı için bu 21 sayı için eşitsizlik sağlanmaz.
\( A \lt 80 \) için tüm çarpanlar negatif olacağından 21 negatif sayının çarpımı negatif olur, dolayısıyla eşitsizlik sağlanmaz.
\( A \gt 120 \) için tüm çarpanlar pozitif olacağından 21 pozitif sayının çarpımı pozitif olur, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.
\( 120 \lt A \lt 150 \) aralığında eşitsizliği sağlayacak \( 149 - 121 + 1 = 29 \) sayı vardır.
\( 80 \lt A \lt 120 \) aralığındaki tek sayı değerleri inceleyelim.
\( A = 81 \) için: 1 pozitif , 20 negatif çarpan
\( A = 83 \) için: 2 pozitif , 19 negatif çarpan
\( A = 85 \) için: 3 pozitif , 18 negatif çarpan
\( A = 87 \) için: 4 pozitif , 17 negatif çarpan
Buna göre eşitsizlik çift sayıda negatif çarpan içeren \( 81, 85, 89, \ldots, 113, 117 \) sayılarında sağlanır.
Bu sayı dizisinde \( \frac{117 - 81}{4} + 1 = 10 \) terim bulunur.
Buna göre eşitsizlik toplamda \( 29 + 10 = 39 \) farklı \( A \) değeri için sağlanır.
\( a, b, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( a \lt b \lt c \lt 0 \) olduğuna göre,
Aşağıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( a^2c \lt abc \lt ac^2 \)
II. \( a(b - c) \gt 0 \)
III. \( \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{b}{c} \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( a^2c \lt abc \lt ac^2 \)
I. eşitsizliğin taraflarını \( ac \) ile sadeleştirelim. \( ac \) çarpımı pozitif olduğu için eşitsizliğin yönü değişmeyecektir.
\( a \lt b \lt c \)
Elde ettiğimiz eşitsizlik soruda verilen eşitsizlikle aynı olduğu için kesinlikle doğrudur.
II. öncül:
\( a(b - c) \gt 0 \)
\( b \lt c \) olduğu için \( b - c \) farkı negatif olur.
\( a \) negatif olduğu için iki negatif ifadenin çarpımı pozitif olur, dolayısıyla bu ifade de kesinlikle doğrudur.
III. öncül:
\( \dfrac{a}{b} \lt \dfrac{b}{c} \)
Üç sayı da negatif olduğu için verilen oranlar pozitif olur. Eşitsizliğin iki tarafında da paydaki sayı paydadaki sayıdan mutlak değerce büyük olduğu için iki ifadenin de sonucu 1'den büyük olur, ancak hangi oranın daha büyük olduğu bilinemez.
III. öncül doğru ya da yanlış olabilir.
Buna göre I. ve II. öncüller kesinlikle doğrudur.