Yerine konduğunda bir denklemi ya da eşitsizliği sağlayan ve üzerinde çalışılan sayı kümesinin bir elemanı olan değere o denklem ya da eşitsizliğin bir çözümü denir. Bir denklemin çözümüne denklemin kökü de denir. Bu bölümün geri kalanında sadece denklemlerden bahsedecek olsak da, notlarımız eşitsizlikler için de geçerli olacaktır.
\( x^2 - 5x = -6 \)
\( x = 3 \) denklemi sağladığı için denklemin bir çözümüdür.
\( 3^2 - 5 \cdot 3 = -6 \)
\( x = -1 \) denklemi sağlamadığı için denklemin bir çözümü değildir.
\( (-1)^2 - 5 \cdot (-1) = 6 \ne -6 \)
Bir denklemi sağlayan tüm değerlerin ya da değer aralıklarının oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Buna göre bir kümeye bir denklemin çözüm kümesi diyorsak bu çözüm kümesinde bulunmayan bir değerin denklemi sağlamayacağını da söylemiş oluruz.
Örnek olarak, \( -4 \) ve \( 4 \) değerleri \( x^2 = 16 \) denklemini sağladığı için bu denklemin birer çözümüdür. Bu iki değer dışında denklemi sağlayan bir değer olmadığı için denklemin çözüm kümesi \( \{ -4, 4 \} \) olur.
Bir denklemin çözüm kümesini bulma işlemine denklemi çözme denir. Bir denklemi çözme işlemi denklemin olası çözümlerini verir, denklemin gerçek çözüm kümesine ulaşmak için bulunan bu değerlerin denklemi sağladığı kontrol edilmelidir.
Bir denklemi çözme işlemi sonucunda elde edilen değerlerin problemde verilen denklemi ya da herhangi başka bir koşulu sağlamadığını görülüyorsa (tam sayı, pozitif sayı vb) bu değerler çözüm kümesine dahil edilmemelidir.
Bir denklemi çözme işlemi sonucunda bulunan değerleri orijinal denklemde yerine koyarak geçerliliğini kontrol etme işlemine sağlama denir.
Denklem çözümünden elde edilen değerlerin üzerinde çalışılan sayı kümesinin bir elemanı olup olmadığına dikkat edilmelidir. Örneğin, tam sayılar kümesinde tanımlı bir değişkenin \( \frac{3}{2} \) ya da \( \sqrt{2} \) gibi değerleri denklemi sağlasa da çözüm kümesinin birer elemanı olmazlar.
\( x(x + 2)(x - \sqrt{3}) = 0 \) olmak üzere,
\( x \in \mathbb{R} \Longrightarrow \text{Ç.K.} = \{-2, 0, \sqrt{3} \} \)
\( x \in \mathbb{Z} \Longrightarrow \text{Ç.K.} = \{-2, 0\} \)
\( x \in \mathbb{N} \Longrightarrow \text{Ç.K.} = \{0\} \)
\( x \in \mathbb{Z^+} \Longrightarrow \text{Ç.K.} = \emptyset \)
Bir denklem ya da eşitsizliğin çözüm kümesindeki değerleri ve değer aralıklarını birkaç şekilde gösterebiliriz.
Bir çözüm kümesi tek bir değerden oluşuyorsa bu değer eşittir işareti (\( = \)) ile gösterilebilir. Çözüm kümesi birbirinin toplamaya göre tersi olan iki değerden oluşuyorsa \( \pm \) sembolü ile iki değer tek bir eşitlikle gösterilebilir.
\( 2x - 4 = 8 \Longrightarrow x = 6 \)
\( x^2 = 25 \Longrightarrow x = \pm 5 \)
Küme gösteriminde çözüm kümesindeki değerler liste şeklinde listelenir.
\( 2x - 4 = 8 \Longrightarrow x \in \{ 6 \} \)
\( x^2 = 25 \Longrightarrow x \in \{ -5, 5 \} \)
\( x + 1 = x + 2 \Longrightarrow x \in \{ \} \)
Bir denklem ya da eşitsizliğin çözüm kümesindeki değer aralıkları, aralık gösterimi bölümünde gördüğümüz yöntemlerden biri ile gösterilebilir.
Bir denklem iki bilinmeyenli ise her çözüm bir sıralı ikili ile, üç bilinmeyenli ise bir sıralı üçlü ile, \( n \) bilinmeyenli ise bir sıralı \( n \)'li ile ifade edilir.
Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz gibi, bir denklemin, eşitsizliğin ya da denklem/eşitsizlik sisteminin grafiği de o problemin çözüm kümesini görsel olarak verir.