Bir önceki bölümde incelediğimiz aritmetik ve geometrik diziler dışındaki diğer bazı dizi tiplerini bu bölümde inceleyeceğiz.
İlk iki terimi 0 ve 1 olan ve sonraki her terimi kendisinden önceki iki terimin toplamına eşit olan sayı dizisine Fibonacci dizisi denir.
Fibonacci dizisinde bir terim ile kendisinden önceki terimlerin toplamı arasında aşağıdaki ilişki vardır.
Fibonacci dizisinin önemli bir özelliği, terimler büyüdükçe ardışık terimlerin oranının altın orana yaklaşmasıdır (\( \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618... \)).
Karesel sayı dizisinin genel terimi ve bazı terimleri aşağıdaki gibidir.
Karesel sayı dizileri indirgemeli dizi şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere, \( 1 \)'den kendisine kadarki sayma sayılarının toplamına eşit olan sayılara üçgensel sayı, üçgensel sayılardan oluşan sayı dizisine üçgensel sayı dizisi denir.
Üçgensel sayı dizisinin genel terimi ve bazı terimleri aşağıdaki gibidir.
Üçgensel sayı dizileri indirgemeli dizi şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
SORU 1:
1'den başlayan üçgensel ve karesel sayı dizileri için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. İki basamaklı en büyük üçgensel sayı, iki basamaklı en büyük karesel sayıdan 10 fazladır.
II. Karesel sayı dizisinin 1'den büyük her elemanı üçgensel sayı dizisinin ardışık iki elemanın toplamına eşittir.
III. İki dizinin toplamı bir aritmetik dizidir.
Çözümü Göster
İki dizinin de 100'den küçük terimlerini listeleyelim.
Üçgensel sayılar:
\( 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91 \)
Karesel sayılar:
\( 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 \)
I. ifade doğrudur (\( 91 = 81 + 10 \)).
II. ifade doğrudur.
İki dizinin toplamı olan diziyi yazalım.
\( 2, 7, 15, 26, 40, \ldots \)
Dizinin terimleri arasındaki ortak fark sabit kalmayıp arttığı için III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. ifadeler doğrudur.
SORU 2:
Sabit ivmeyle hızlanan bir aracın hareketinin her saniyesinde aldığı yollar aşağıdaki gibi bir dizi oluşturuyor.
\( 8, 22, 42, 68, \ldots \)
Buna göre bu araç hareketinin 13. saniyesinde kaç metre yol alır?
Çözümü Göster
Aracın aldığı yolları sıralayarak terimler arasındaki artış miktarını inceleyelim.
\( 8\overset{+14}{\longrightarrow}22\overset{+20}{\longrightarrow}42\overset{+26}{\longrightarrow}68, \ldots \)
Artış miktarlarının aritmetik bir dizi oluşturduğunu görüyoruz.
Bu durumda genel terim ikinci dereceden bir denklemle ifade edilebilir.
\( (a_n) = an^2 + bn + c \)
\( n = 1 \) verelim.
\( a + b + c = 8 \)
\( n = 2 \) verelim.
\( 4a + 2b + c = 22 \)
\( n = 3 \) verelim.
\( 9a + 3b + c = 42 \)
3 bilinmeyenin değerini bulmak için 3 denklem yeterlidir.
\( a + b + c = 8 \implies b + c = 8 - a \)
\( 4a + b + (b + c) = 22 \)
\( 4a + b + 8 - a = 22 \)
\( 3a + b = 14 \)
\( 3(3a + b) + c = 42 \)
\( 42 + c = 42 \)
\( c = 0 \implies b = 8 - a \)
\( 3a + (8 - a) = 14 \)
\( 2a + 8 = 14 \)
\( 2a = 6 \)
\( a = 3 \)
\( b = 8 - 3 = 5 \)
Buna göre dizinin genel terimi aşağıdaki gibi olur.
\( (a_n) = 3n^2 + 5n \)
Aracın 13. saniyede aldığı yolu hesaplayalım.
\( a_{13} = 3 \cdot 13^2 + 5 \cdot 13 = 572 \) bulunur.
SORU 3:
\( A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L \) 12 terimden oluşan bir dizidir. Bu dizide ardışık herhangi 4 terimin toplamı 55'tir. Dizinin üçüncü terimi ilk terimin \( -2 \) katı olduğuna ve ikinci terim 7 olduğuna göre, dizinin 4., 7. ve 9. terimlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Önce verilen bilgileri kullanarak ilk 4 terimi ele alalım.
Dizinin ilk terimi olan \( A \)'nın değerine \( x \) diyelim.
Dizinin üçüncü terimi ilk terimin \( -2 \) katıdır.
\( C = -2x \)
Dizinin ardışık herhangi 4 teriminin toplamı 55 olduğuna göre ilk 4 terimin toplamı da 55'tir.
\( A + B + C + D = x + 7 + (-2x) + D = 55 \)
\( D = 48 + x \)
Dizinin ardışık herhangi 4 teriminin toplamının 55 olması için 5. terim 1. terime, 6. terim 2. terime, 7. terim 3. terime, ..., 12. terim 8. terime eşit olmalıdır.
\( a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} + a_{n+4} = 55 \)
\( a_n = a_{n+4} \)
\( A = x \)
\( B = 7 \)
\( C = -2x \)
\( D = 48 + x \)
\( E = x \)
\( F = 7 \)
\( G = -2x \)
\( H = 48 + x \)
\( I = x \)
\( J = 7 \)
\( K = -2x \)
\( L = 48 + x \)
Dizinin 4., 7. ve 9. terimlerini toplayalım.
\( D + G + I = (48 + x) + (-2x) + x \)
\( = 48 \) bulunur.
SORU 4:
Terimleri doğal sayı olan bir dizide ilk iki terimden sonraki terimler kendinden önceki iki terimin çarpımına eşittir.
Bu dizinin beşinci terimi 1323'e eşitse, ilk iki terimin toplamı kaça eşittir?
Çözümü Göster
Diziye \( a_n \), dizinin ilk terimine \( a \), ikinci terimine \( b \) diyelim.
Verilen kuralı kullanarak dizinin ilk 5 terimini yazalım.
\( (a_n) = (a, b, ab, ab^2, a^2b^3, \ldots) \)
\( a_5 = a^2b^3 = 1323 \)
1323 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( a^2b^3 = 3^3 \cdot 7^2 \)
Dizinin terimleri doğal sayı olduğu için \( a = 7 \) ve \( b = 3 \) olur.
\( a + b = 7 + 3 = 10 \) bulunur.
SORU 5:
Terimleri doğal sayı olan bir dizide ilk iki terimden sonraki terimler, kendinden bir önceki terimin kendinden iki önceki terime bölümüne eşittir.
Dizinin 807. terimi \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre, 810. terimi kaça eşittir?
Çözümü Göster
Diziye \( a_n \), dizinin ilk terimine \( a \), ikinci terimine \( b \) diyelim.
Dizinin ilk birkaç terimini yazarak bir örüntü bulmayan çalışalım.
\( (a_n) = (a, b, \dfrac{b}{a}, \dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{a}{b}, a, b, \ldots) \)
Buna göre dizinin terimleri 6 terimde bir kendini tekrar etmektedir.
807'nin 6'ya bölümünden kalan 3'tür.
\( 807 = 6 \cdot 134 + 3 \)
Buna göre dizinin 807. terimi 3. terimine eşittir.
\( a_{807} = a_3 = \dfrac{1}{3} \)
Değeri istenen 810. terim ise 6. terime eşittir.
\( a_{810} = a_6 \)
Bulduğumuz örüntüye göre dizinin 3. ve 6. terimleri birbirinin çarpmaya göre tersidir.
\( a_3 = \dfrac{b}{a} \Longrightarrow a_6 = \dfrac{a}{b} \)
\( a_{810} = a_6 = \dfrac{1}{a_{3}} = 3 \) bulunur.
SORU 6:
Üçgensel sayılarla ilgili aşağıdaki bilgilerden hangileri doğrudur?
I. Üçgensel sayılar dizisinin 24. terimi 216'dır.
II. 91 bir üçgensel sayıdır.
III. \( (a_n) \) bir üçgensel sayı dizisi ise \( a_{n + 1} - a_n = n + 1 \) olur.
Çözümü Göster
Bir üçgensel sayı dizisinin genel terimi aşağıdaki gibidir.
\( (a_n) = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
I. öncül:
\( a_{24} = \dfrac{24 \cdot 25}{2} \)
\( = 300 \)
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
91 sayısının üçgensel sayı olabilmesi için genel terim bir \( n \) pozitif tam sayısı için 91'e eşit olmalıdır.
\( (a_n) = \dfrac{n(n + 1)}{2} = 91 \)
\( n(n + 1) = 182 \)
\( n = 13 \)
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( a_{n + 1} - a_n = \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2} - \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( = \dfrac{(n + 1)}{2}(n + 2 - n) \)
\( = n + 1 \)
III. öncül doğrudur.
Buna göre II. ve III. öncüller doğrudur.