Geometrik dizilerin genel terimi aşağıdaki gibidir. Bu formüle göre, geometrik dizilerde \( n \). terim ortak oranın \( (n - 1) \) kez 1. terimle çarpılmasıyla bulunur.
Aşağıda genel terimleri verilen bazı dizilerin birer geometrik dizi olup olmadığı belirtilmiştir.
Tablodaki ilk dört diziyi incelersek geometrik dizilerin genel terimi \( n \)'nin tabanının ortak orana eşit olduğu bir üstel fonksiyon formundadır (\( f(x) = k \cdot r^x \)).
Bir geometrik dizide ortak oranın değerine göre dizi artan, azalan ya da sabit dizi olur.
Geometrik diziler indirgemeli dizi olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
Bir geometrik dizide n. terim, birinci ya da herhangi diğer bir terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
Yukarıdaki formül \( p \). ve \( q \). terimler cinsinden yazılıp ortak oran yalnız bırakıldığında, ortak oranın dizinin herhangi iki teriminin oranının bu iki terimin indislerinin farkı derecesinde köküne eşit olduğu bulunur.
Bir geometrik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına (çarpımlarının kareköküne) eşittir.
Bu kuralın bir sonucu olarak, bir terimden eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir.
Aynı kuralın ikinci bir sonucu olarak, bir geometrik dizinin ardışık üç teriminde ortadaki terim diğer iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.
Aynı kuralın üçüncü bir sonucu olarak, bir geometrik dizide indisleri toplamı birbirine eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir.
Aynı kuralın dördüncü bir sonucu olarak, sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir.
\( a \) ve \( b \) sayılarının arasına \( n \) tane terim yerleştirerek oluşturulan bir geometrik dizinin ortak çarpanı aşağıdaki formülle bulunur.
Geometrik dizilerde ilk \( n \) terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.
Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi ise bu dizi sabit dizidir. Sabit bir dizinin aritmetik dizi olarak ortak farkı 0, geometrik dizi olarak ortak çarpanı 1'dir.
SORU 1:
İlk üç terimi verilen aşağıdaki geometrik dizilerin ilk 5 teriminin toplamı kaçtır?
(a) \( (a_n) = (\sqrt{3}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}, \ldots) \)
(b) \( (b_n) = (-4, 1, -\dfrac{1}{4}, \ldots) \)
(c) \( (c_n) = (\dfrac{12}{25}, \dfrac{6}{5}, 3, \ldots) \)
Çözümü Göster
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki sabit orana ortak oran denir ve \( r \) ile gösterilir.
Geometrik dizilerde \( r \) aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( r = \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \)
Geometrik dizilerde ilk \( n \) terimin toplamı \( S_n \) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
(a) seçeneği:
\( (a_n) = (\sqrt{3}, -\sqrt{3}, \sqrt{3}, \ldots) \)
Geometrik dizinin ortak çarpanını bulalım.
\( r = \dfrac{a_3}{a_2} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = -1 \)
İlk 5 teriminin toplamını bulalım.
\( S_5 = \sqrt{3} \cdot \dfrac{1 - (-1)^5}{1 - (-1)} \)
\( = \sqrt{3} \cdot \dfrac{2}{2} \)
\( = \sqrt{3} \)
(b) seçeneği:
\( (b_n) = (-4, 1, -\dfrac{1}{4}, \ldots) \)
Geometrik dizinin ortak çarpanını bulalım.
\( r = \dfrac{b_3}{b_2} \)
\( = \dfrac{-\frac{1}{4}}{1} = -\dfrac{1}{4} \)
İlk 5 teriminin toplamını bulalım.
\( S_5 = -4 \cdot \dfrac{1 - (-\frac{1}{4})^5}{1 - (-\frac{1}{4})} \)
\( = -4 \cdot \dfrac{\frac{1025}{1024}}{\frac{5}{4}} \)
\( = -4 \cdot \dfrac{205}{256} \)
\( = -\dfrac{205}{64} \)
(c) seçeneği:
\( (c_n) = (\dfrac{12}{25}, \dfrac{6}{5}, 3, \ldots) \)
Geometrik dizinin ortak çarpanını bulalım.
\( r = \dfrac{c_3}{c_2} \)
\( = \dfrac{3}{\frac{6}{5}} = \dfrac{5}{2} \)
İlk 5 teriminin toplamını bulalım.
\( S_5 = \dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{1 - (\frac{5}{2})^5}{1 - \frac{5}{2}} \)
\( = \dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{-\frac{3093}{32}}{-\frac{3}{2}} \)
\( = \dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{3093}{32} \cdot \dfrac{2}{3} \)
\( = \dfrac{3093}{100} \)
SORU 2:
Bir ortamdaki negatif iyonların sayısı her 20 dakikada bir üçte birine inmektedir. Başlangıçta ortamda \( 9^{40} \) negatif iyon olduğuna göre, 7. saatin sonunda ortamdaki negatif iyon sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Her 20 dakikalık periyotlar sonundaki negatif iyon sayılarını, ortak oranı \( r = \dfrac{1}{3} \) olan bir geometrik dizinin terimleri olarak tanımlayabiliriz.
\( a_1 = 9^{40} = 3^{80} \)
\( r = \dfrac{1}{3} \)
\( (a_n) = 3^{80} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{n - 1} \)
Bir saatte 20 dakikalık periyotlardan üç tane, 7 saatte 21 tane vardır. Birinci periyodun başlangıcına \( a_1 \) dediğimiz için, 21 periyodun sonundaki iyon sayısını bize 22. terim verecektir.
\( a_{22} = 3^{80} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{22 - 1} \)
\( a_{22} = 3^{80} \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^{21} \)
\( a_{22} = 3^{59} \)
SORU 3:
\( a_n \) bir aritmetik dizi, \( b_n \) ise bir geometrik dizi olmak üzere,
\( a_1 + a_2 + a_3 = 39 \)
\( a_1 + b_1 - 5 = a_2 + b_2 = 19 \)
eşitlikleri veriliyor. \( b_3 = 18 \) olduğuna göre, \( a_4 \) kaçtır?
Çözümü Göster
Bir aritmetik dizide bir terim, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir.
\( 2a_2 = a_1 + a_3 \)
\( 3a_2 = 39 \)
\( a_2 = 13 \) olur.
\( a_2 + b_2 = 19 \)
\( 13 + b_2 = 19 \)
\( b_2 = 6 \) olur.
\( b_3 = b_2 \cdot r \) formülü ile ortak oranı bulalım.
\( r = \dfrac{b_3}{b_2} = \dfrac{18}{6} = 3 \) olur.
\( b_2 = b_1 \cdot r \) formülü ile \( b_1 \)'i bulalım.
\( 6 = b_1 \cdot 3 \)
\( b_1 = 2 \)
\( a_1 + b_1 - 5 = 19 \)
\( a_1 + 2 - 5 = 19 \)
\( a_1 = 22 \) olur.
\( a_2 = a_1 + d \)
\( a_2 = 13 \) olduğuna göre ortak fark \( d = -9 \) olur.
\( a_4 = a_1 + 3d \)
\( = 22 + 3(-9) \)
\( = -5 \) bulunur.
SORU 4:
Saatte 70 km hızla giden bir araba ile saatte 20 km hızla giden bir kamyonet yarışıyorlar. Yarışı kazanacağına emin olan araba her saat sonunda hızını yarıya düşürüyor. Buna göre, kamyonet arabayı en az kaç saat sonra geçmiş olur?
Çözümü Göster
Araba ilk saatte \( 70 \) km, 2. saatte \( \frac{70}{2} = 35 \) km yol alır.
Buna göre arabanın \( t \) saatte aldığı yolu bulalım.
\( 70 + \frac{70}{2} + \frac{70}{4} + \ldots + \frac{70}{2^{t - 1}} \)
\( = 70 + \frac{70}{2^1} + \frac{70}{2^2} + \ldots + \frac{70}{2^{t - 1}} \)
Arabanın her saatte kat ettiği yol bir geometrik dizinin terimlerine karşılık geldiği için \( t \) saatte katettiği yolu geometrik dizinin terimleri toplamı formülü ile bulabiliriz.
\( S_t = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} = 70 \cdot \dfrac{1 - (\frac{1}{2})^t}{1 - \frac{1}{2}} \)
\( = 140 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^t) \)
Kamyonetin \( t \) saatte aldığı yolu bulalım.
\( 20 \cdot t \)
Kamyonun arabadan daha çok yol katettiği zamanları veren eşitsizliği kuralım.
\( 140 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^t) \lt 20t \)
\( 7 \cdot (1 - (\dfrac{1}{2})^t \lt t \)
\( t \)'ye farklı değerler vererek eşitsizliğin sağlandığı, yani kamyonetin arabayı geçtiği ilk \( t \) tam sayı değerini bulalım.
\( t = 5 \) için:
\( 7 \cdot (1 - (\dfrac{1}{2})^5 \lt 5 \)
\( 7 \cdot \dfrac{31}{32} \lt 5 \)
Eşitsizlik sağlanmadığı için araba kamyonetin önündedir.
\( t = 6 \) için:
\( 7 \cdot (1 - (\dfrac{1}{2})^6 \lt 6 \)
\( 7 \cdot \dfrac{63}{64} \lt 6 \)
Eşitsizlik sağlanmadığı için araba kamyonetin önündedir.
\( t = 7 \) için:
\( 7 \cdot (1 - (\dfrac{1}{2})^7 \lt 7 \)
\( 7 \cdot \dfrac{127}{128} \lt 7 \)
Eşitsizlik sağlandığı için kamyonet arabayı geçmiştir.
Buna göre kamyonet en az 7 saat sonra arabayı geçer.
SORU 5:
Arda internetten 10 kutu siparişi veriyor. Kutuların hacimleri sırasıyla \( a_1, a_2, \ldots, a_{10} \)'dur ve her kutunun hacmi bir önceki kutunun hacminin \( \frac{3}{4} \) katıdır.
\( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 \cdot a_7 \cdot a_8 \)
olduğuna göre, 10. kutunun hacmi nedir?
Çözümü Göster
Kutuların hacimleri bir ortak çarpan oranında küçüldüğü için bir geometrik dizi oluştururlar.
Bir geometrik dizide \( n \). terim \( k \). terim cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( a_n = a_k \cdot r^{n - k} \)
Bir geometrik dizide bir terimin karesi, kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir.
\( {a_n}^2 = a_{n - p} \cdot a_{n + p} \)
Buna göre aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.
\( a_1 \cdot a_3 = a_2^2 \)
\( a_4 \cdot a_8 = a_5 \cdot a_7 = a_6^2 \)
\( a_2^3 = a_6^5 \)
\( a_2^3 = (a_2 \cdot r^4)^5 \)
\( a_2^{-2} = r^{20} \)
\( a_2^{-1} = (\dfrac{3}{4})^{10} \)
\( a_2 = (\dfrac{4}{3})^{10} \)
Geometrik dizinin 10. terimini bulalım.
\( a_{10} = a_2 \cdot r^{10 - 2} \)
\( a_{10} = (\dfrac{4}{3})^{10} \cdot (\dfrac{3}{4})^8 = \dfrac{16}{9} \) bulunur.
SORU 6:
\( a \), \( a + 10 \), \( a + 16 \), \( b \) bir geometrik dizinin küçükten büyüğe sıralanmış ardışık dört terimidir.
Buna göre, \( 5b + 29 \) ve \( a + 41 \) sayıları arasına yeni bir geometrik dizi oluşturulacak şekilde kaç terim yerleştirilirse oluşan dizinin ortak çarpanı \( \sqrt{2} \) olur?
Çözümü Göster
Bir geometrik dizide 2. terimin karesi 1. ve 3. terimlerin çarpımına eşittir.
\( (a + 10)^2 = a \cdot (a + 16) \)
\( a^2 + 20a + 100 = a^2 + 16a \)
\( a = -25 \)
Buna göre verilen geometrik dizinin terimleri aşağıdaki gibi olur.
\( -25, -15, -9, b \)
Bu dizinin ortak çarpanını bulalım.
\( r = \frac{-15}{-25} = \frac{3}{5} \)
\( b \) 3. terimle ortak çarpanın çarpımına eşittir.
\( b = -9 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{27}{5} \)
Oluşturulacak yeni geometrik dizide verilen iki terim \( 5b + 29 = 5 \cdot (-\frac{27}{5}) + 29 = 2 \) ve \( a + 41 = -25 + 41 = 16 \) olur.
Bu iki terim arasında \( n \) terim yerleştirilince geometrik dizi aşağıdaki gibi olur.
\( a_1 = 2, \ldots n \text{ terim} \ldots, a_{n + 2} = 16 \)
\( a_{n + 2} = a_1 \cdot r^{n + 1} \)
\( 16 = 2 \cdot (\sqrt{2})^{n + 1} \)
\( 8 = (\sqrt{2})^{n + 1} \)
\( 2^3 = 2^{\frac{1}{2}(n + 1)} \)
\( n = 5 \) bulunur.
SORU 7:
6 ile 192 sayıları arasına geometrik dizi oluşturacak şekilde 4 pozitif sayı ekleniyor.
Buna göre oluşan geometrik dizinin ortak çarpanı kaç olur?
Çözümü Göster
Oluşan dizinin terimlerini yazalım.
\( 6, a_2, a_3, a_4, a_5, 192 \)
\( a_6 = a_1 \cdot r^5 \)
\( 192 = 6 \cdot r^5 \)
\( r^5 = 32 \)
\( r = 2 \) bulunur.
SORU 8:
İlk terimi 3 olan bir geometrik dizinin 4. ve 7. terimlerinin toplamı 216'dır.
Buna göre bu dizinin ortak çarpanının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( a_1 = 3 \)
\( a_4 + a_7 = 216 \)
Her iki terimi 1. terim cinsinden yazalım.
\( a_1 \cdot r^3 + a_1 \cdot r^6 = 216 \)
\( 3r^3 + 3r^6 = 216 \)
\( r^3 + r^6 = 72 \)
\( r^3 = t \) değişken değiştirmesi yapalım.
\( t^2 + t - 72 = 0 \)
\( (t + 9)(t - 8) = 0 \)
\( t + 9 = 0 \) veya \( t - 8 = 0 \)
\( t = r^3 = -9 \)
Bu durumda \( r \) için tam sayı çözüm bulunmaz.
\( t = r^3 = 8 \)
\( r = 2 \) bulunur.
SORU 9:
\( a \) ve \( b \) birbirinden farklı sayılardır.
Bir artan geometrik dizinin \( a \). ve \( b \). terimleri sırasıyla \( 5^{-b} \) ve \( 5^{-a} \) olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?
Çözümü Göster
Her iki terimi 1. terim cinsinden yazalım.
\( a_a = a_1 \cdot r^{a-1} = 5^{-b} \)
\( a_b = a_1 \cdot r^{b-1} = 5^{-a} \)
İki eşitliği taraf tarafa birbirine bölelim.
\( \dfrac{a_1 \cdot r^{a-1}}{a_1 \cdot r^{b-1}} = \dfrac{5^{-b}}{5^{-a}} \)
\( r^{a-1-(b-1)} = 5^{-b-(-a)} \)
\( r^{a-b} = 5^{a-b} \)
\( a \) ve \( b \) farklı sayılar olduğu için üsler sıfır olamaz, dolayısıyla tabanlar mutlak değer olarak eşit olur.
\( r = 5 \) veya \( r = -5 \)
Dizinin artan olduğu belirtildiği için \( r \gt 1 \) olmalıdır.
Buna göre \( r = 5 \) olur.
SORU 10:
Bir altıgenin iç açıları ölçüleri ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin ardışık 6 terimidir.
Buna göre bu altıgenin en küçük geniş iç açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
Altıgenin iç açıları toplamı \( 180 \cdot (6 - 2) = 720 \) derecedir.
6 terimli bir geometrik dizinin terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
\( 720 = a_1 \cdot \dfrac{1 - 2^6}{1 - 2} \)
\( 720 = a_1 \cdot 63 \)
\( a_1 = \dfrac{80}{7} \)
Buna göre üçgenin iç açıları aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{80}{7}, \dfrac{160}{7}, \dfrac{320}{7}, \dfrac{640}{7}, \dfrac{1280}{7}, \dfrac{2560}{7} \)
Derecesi 90 dereceden büyük açılara geniş açı denir.
Bu açılar içindeki en küçük geniş açı \( \frac{640}{7} \) açısıdır.
SORU 11:
\( (a_n) \) ve \( (b_n) \) birer dizi olmak üzere,
\( (a_n) = \dfrac{5n + 9}{kn + k + 8} \)
\( b_2 = 8 \)
\( b_n \) dizisi ortak çarpanı \( a_n \) olan bir geometrik dizidir. Buna göre, \( b_5 \) kaçtır?
Çözümü Göster
Geometrik dizinin ortak çarpanının sabit bir sayı olması gerektiği için \( a_n \) sabit dizi olmalıdır.
\( a_n \) dizisinin sabit dizi olması için pay ve paydadaki katsayılar arasında aşağıdaki oran sağlanmalıdır.
\( \dfrac{5}{k} = \dfrac{9}{k + 8} \)
\( 9k = 5k + 40 \)
\( k = 10 \)
\( (a_n) = \dfrac{5n + 9}{10n + 18} \)
\( = \dfrac{1}{2} \)
Buna göre \( b_n \) geometrik dizisinin ortak çarpanı \( \frac{1}{2} \) olur.
\( b_5 \) değerini bulalım.
\( b_5 = b_2 \cdot r^3 \)
\( b_5 = 8 \cdot (\dfrac{1}{2})^3 \)
\( = 8 \cdot \dfrac{1}{8} = 1 \) bulunur.
SORU 12:
Bir restoran açan Nevzat ilk ay 450 sipariş almıştır. Restoranın sipariş sayısı her ay bir önceki aya göre \( \%2 \) oranında artmaktadır.
Buna göre, restoran bir yıl sonunda ayda kaç sipariş alır?
Çözümü Göster
Restoran her ay bir önceki aya göre sabit bir çarpan oranında daha fazla sipariş aldığı için aylık sipariş sayıları bir geometrik dizi oluşturur.
\( a_1 = 450 \)
\( a_2 = a_1 \cdot \dfrac{102}{100} \)
\( a_3 = a_1 \cdot (\dfrac{102}{100})^2 \)
Dizinin 12. terimini bulalım.
\( a_{12} = 450 \cdot (\dfrac{102}{100})^{11} \)
SORU 13:
Bir geometrik dizide aşağıdaki eşitlik veriliyor.
\( \dfrac{a_{12} + a_{15} + a_{23} + a_{28}}{a_6 + a_9 + a_{17} + a_{22}} = 64 \)
Buna göre bu dizinin ortak çarpanının alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm terimleri 6. terim cinsinden yazalım.
\( \dfrac{a_6 \cdot r^6 + a_6 \cdot r^9 + a_6 \cdot r^{17} + a_6 \cdot r^{22}}{a_6 + a_6 \cdot r^3 + a_6 \cdot r^{11} + a_6 \cdot r^{16}} = 64 \)
Pay ve paydadaki ifadeleri ortak çarpan parantezine alalım.
\( \dfrac{a_6 \cdot r^6 (1 + r^3 + r^{11} + r^{16})}{a_6 \cdot (1 + r^3 + r^{11} + r^{16})} = 64 \)
\( r^6 = 64 \)
\( r = 2 \) ya da \( r = -2 \) olur.
\( r \) değerler çarpımı \( 2 \cdot (-2) = -4 \) olarak bulunur.
SORU 14:
\( (a_n) \) ortak çarpanı \( r \) olan bir geometrik dizidir.
Buna göre, \( (b_n) = (\dfrac{1}{3})^n \cdot (a_n) \) dizisinin ortak çarpanı nedir?
Çözümü Göster
\( (a_n) \) dizisinin genel terimini yazalım.
\( (a_n) = a_1 \cdot r^{n-1} \)
\( (b_n) \) dizisinin genel terimini yazalım.
\( (b_n) = (\dfrac{1}{3})^n \cdot a_1 \cdot r^{n-1} \)
\( = \dfrac{1}{3} \cdot (\dfrac{1}{3})^{n-1} \cdot a_1 \cdot r^{n-1} \)
\( = \dfrac{1}{3} \cdot a_1 \cdot (\dfrac{r}{3})^{n-1} \)
Buna göre \( (b_n) \) dizisinin ortak terimi \( \frac{r}{3} \)'tür.
SORU 15:
\( (a_n) \) bir geometrik dizidir.
\( \dfrac{a_7 - a_6}{a_5^2 - a_4^2} = \dfrac{1}{7} \)
\( a_1 = \dfrac{1}{8} \)
olduğuna göre, \( a_4 \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \dfrac{a_7 - a_6}{(a_5 - a_4)(a_5 + a_4)} = \dfrac{1}{7} \)
Geometrik dizilerde \( n \). terim aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
Tüm terimleri \( a_1 \) cinsinden yazalım.
\( \dfrac{a_1 \cdot r^6 - a_1 \cdot r^5}{(a_1 \cdot r^4 - a_1 \cdot r^3)(a_1 \cdot r^4 + a_1 \cdot r^3)} = \dfrac{1}{7} \)
\( = \dfrac{a_1 \cdot r^5(r - 1)}{a_1 \cdot r^3(r - 1) \cdot a_1 \cdot r^3(r + 1)} = \dfrac{1}{7} \)
\( = \dfrac{1}{a_1 \cdot r(r + 1)} = \dfrac{1}{7} \)
\( a_1 = \dfrac{1}{8} \) yazalım.
\( \dfrac{1}{\frac{1}{8} \cdot r(r + 1)} = \dfrac{1}{7} \)
\( r(r + 1) = 56 \)
\( r = 7 \)
\( a_4 \) terimini bulalım.
\( a_4 = \dfrac{1}{8} \cdot 7^{4 - 1} \)
\( = \dfrac{343}{8} \) bulunur.
SORU 16:
\( (a_n) = (4, 20, 100, 500, \ldots) \) geometrik dizisinin 44. teriminin sonunda kaç tane sıfır vardır?
Çözümü Göster
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki sabit orana ortak oran denir ve \( r \) ile gösterilir.
Geometrik dizilerde \( r \) aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( r = \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \)
Geometrik dizinin ortak çarpanını bulalım.
\( \dfrac{a_2}{a_1} = r \)
\( r = \dfrac{20}{4} = 5 \)
Geometrik dizinin 44. terimini bulalım.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( a_{44} = 4 \cdot 5^{43} \)
\( = 2^2 \cdot 5^{43} \)
\( = 10^2 \cdot 5^{41} \)
\( = 100 \cdot 5^{41} \)
Buna göre 44. teriminin sonunda 2 tane sıfır bulunur.
SORU 17:
\( a, b, c \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( a \), \( b \) ve \( c \) sayıları \( a \gt b \gt c \) olacak şekilde ortak çarpanı \( r \) olan bir geometrik dizi oluşturmaktadır.
Ayrıca \( 7c \), \( 33b \) ve \( 27a \) sayıları ortak farkı \( d \) olan bir sıralı aritmetik dizi oluşturmaktadır.
Buna göre \( r \) kaçtır?
Çözümü Göster
Geometrik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi yazalım.
\( r \gt 1 \) olmak üzere,
\( c = c \)
\( b = cr \)
\( a = cr^2 \)
Aritmetik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi yazalım.
\( 33b = 7c + d \)
\( 27a = 33b + d \)
İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
\( 33b - 27a = 7c - 33b \)
\( 27a - 66b + 7c = 0 \)
Sayıları \( r \) cinsinden yazalım.
\( 27cr^2 - 66cr + 7c = 0 \)
\( 27r^2 - 66r + 7 = 0 \)
\( (9r - 1)(3r - 7) = 0 \)
\( 9r - 1 = 0 \Longrightarrow r = \dfrac{1}{9} \)
\( 3r - 7 = 0 \Longrightarrow r = \dfrac{7}{3} \)
\( a \gt b \gt c \) koşulunun sağlanması için \( r \gt 1 \) olmalıdır.
Buna göre geometrik dizinin ortak çarpanı \( r = \frac{7}{3} \) olarak bulunur.
SORU 18:
\( a_{2n+3} + a_{n^3} = a_{2n+2} + a_{n^3+1} \)
eşitliğinin sağlandığı \( a_n \) dizisi için,
I. \( a_n \) dizisi ortak çarpanı 1 olan geometrik dizidir.
II. \( a_n \) dizisi bir aritmetik dizidir.
III. \( a_n \) dizisi bir sabit dizidir.
ifadelerinden hangileri doğru olabilir?
Çözümü Göster
Dizi ortak çarpanı 1 olan bir geometrik dizi ise:
\( a_{2n+3} = a_{2n+2} \cdot 1 \)
\( a_{n^3+1} = a_{n^3} \cdot 1 \)
\( a_{2n+2} + a_{n^3} = a_{2n+2} + a_{n^3} \)
Eşitlik sağlandığı için I. ifade doğru olabilir.
Dizi bir aritmetik dizi ise:
\( a_{2n+3} = a_{2n+2} + d \)
\( a_{n^3+1} = a_{n^3} + d \)
\( a_{2n+2} + d + a_{n^3} = a_{2n+2} + a_{n^3} + d \)
Eşitlik sağlandığı için II. ifade doğru olabilir.
Dizi bir sabit dizi ise:
\( a_{2n+3} = c \)
\( a_{n^3} = c \)
\( a_{2n+2} = c \)
\( a_{n^3+1} = c \)
\( c + c = c + c \)
Eşitlik sağlandığı için III. ifade doğru olabilir.
Buna göre ifadelerin tümü doğru olabilir.
SORU 19:
I. \( a_n \) dizisi hem geometrik hem de aritmetik dizi ise sabit dizidir.
II. \( b_n \) ortak çarpanı \( r \) olan bir geometrik dizi ise \( b_2 - b_1, b_3 - b_2, \ldots , b_{n+1} - b_n \) dizisi de ortak çarpanı \( r \) olan bir geometrik dizidir.
III. Bir geometrik dizinin 6. ve 8. terimleri biliniyorsa bu dizinin ortak çarpanı bulunabilir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
Çözümü Göster
I. \( a_n \) dizisi hem geometrik hem de aritmetik dizi ise sabit dizidir. Bu ifade doğrudur.
II. Dizinin terimlerini bulalım.
\( b_2 - b_1 = b_1 \cdot r - b_1 \)
\( = b_1 \cdot (r - 1) \)
\( b_3 - b_2 = b_1 \cdot r^2 - b_1 \cdot r \)
\( = b_1 \cdot r \cdot (r - 1) \)
\( b_4 - b_3 = b_1 \cdot r^3 - b_1 \cdot r^2 \)
\( = b_1 \cdot r^2 \cdot (r - 1) \)
\( b_5 - b_4 = b_1 \cdot r^4 - b_1 \cdot r^3 \)
\( = b_1 \cdot r^3 \cdot (r - 1) \)
Oluşan yeni dizi de ortak oranı \( r \) olan bir geometrik dizidir. Bu ifade doğrudur.
III. \( a_6 \cdot r^2 = a_8 \)
\( r^2 \) ifadesini bu eşitlikle bulabiliriz, ancak \( r \) pozitif ve negatif değer alabileceği için işaretini bilemeyiz. Bu ifade doğru değildir.
Buna göre I. ve II. ifadeler doğrudur.
SORU 20:
\( ABC \) bir dik üçgendir.
Üçgenin kenar uzunlukları bir geometrik dizi oluşturduğuna göre, dar açılardan büyük olanın sekant değeri kaçtır?
Çözümü Göster
En kısa kenara \( x \) ve kenar uzunluklarının oluşturduğu geometrik dizinin ortak çarpanına \( r \) diyelim (\( r \gt 1 \)).
Buna göre üçgenin kenar uzunlukları küçükten büyüğe \( x \), \( xr \) ve \( xr^2 \) olur.
Üçgenin en uzun kenarı hipotenüs olduğu için hipotenüs uzunluğu \( xr^2 \) olur.
Üçgenin kenarlarına Pisagor teoremini uygulayalım.
\( (xr^2)^2 = (xr)^2 + x^2 \)
\( r^4 = r^2 + 1 \)
\( r^2 = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 = t + 1 \)
\( t^2 - t - 1 = 0 \)
Denklemin köklerini bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 \gt 0 \)
Buna göre denklemin iki farklı reel kökü vardır.
\( t_{1,2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( t_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \)
\( t_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \)
\( t = r^2 \) olduğundan \( t \) negatif değer alamaz, dolayısıyla \( t_2 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( r^2 = t = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\)
Soruda dar açılardan büyük olanın sekant değeri isteniyor. Üçgende açı/kenar bağıntısına göre dar açılardan büyük olan açı \( xr \) kenarını gören açı olur.
\( \sec{\alpha} = \dfrac{xr^2}{x} \)
\( = r^2 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \) bulunur.
SORU 21:
Geometrik bir dizinin 7. ve 10. terimleri sırasıyla \( -5! \) ve \( 6! \) olarak veriliyor. Buna göre bu dizinin ilk terimi kaçtır?
Çözümü Göster
Geometrik diziye \( a_n \), dizinin ortak çarpanına \( r \) diyelim.
\( a_7 = -5! = -(5!) \)
\( a_{10} = 6! \)
Bir geometrik dizinin \( p \). ve \( q \). terimleri arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a_q = a_p \cdot r^{q - p} \)
\( q = 10 \) ve \( p = 7 \) yazalım.
\( a_{10} = a_7 \cdot r^{10 - 7} \)
\( 6! = -5! \cdot r^3 \)
\( 6 \cdot 5! = -5! \cdot r^3 \)
\( r^3 = -6 \)
\( r = \sqrt[3]{-6} \)
\( a_1 \) terimini bulabilmek için \( a_7 \) terimini \( a_1 \) cinsinden yazalım.
\( a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} \)
\( a_7 = a_1 \cdot r^6 \)
\( -5! = a_1 \cdot (\sqrt[3]{-6})^6 \)
\( a_1 = \dfrac{-5!}{(-6)^2} \)
\( = \dfrac{-(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{36} \)
\( = -\dfrac{10}{3} \) bulunur.
