Toplam Sembolü
Toplam sembolü birden fazla terimin toplamını kısa şekilde ifade etmek için kullanılır. Toplam sembolü \( \sum \) şeklinde yazılır ve "sigma" diye okunur. Bir dizinin \( 1 \)'den \( n \)'ye kadarki terimlerinin toplamını gösteren toplam ifadesi aşağıdaki gibi yazılır.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \)
Toplam sembolünün altında (\( k = 1 \)) ifadenin değişkeni ve bu değişkenin başlangıç değeri tanımlanır. Sembolün üstünde (\( n \)) toplama işleminin değişkenin hangi değerine kadar tekrar edeceği tanımlanır. Toplam sembolünün sağında (\( a_k \)) her değişken değeri için toplanacak terim tanımlanır.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{10}{a^2_k} = a^2_1 + a^2_2 + \ldots + a^2_{10} \)
\( \displaystyle\sum_{k = -2}^{2}{f(k)} = f(-2) + f(-1) \) \( + f(0) + f(1) + f(2) \)
Toplam Sembolü İşlem Kuralları
Toplam sembolü toplanan ifadedeki terimlere dağıtılabilir.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(a_k \pm b_k) \) \( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} \pm \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{b_k} \)
Toplam sembolü toplanan ifadedeki çarpanlara dağıtılamaz.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(a_k \cdot b_k) \) \( \ne \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} \cdot \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{b_k} \)
Toplam sembolünün içindeki ifadenin sabit bir çarpanı toplam sembolünün dışına çarpan olarak çıkarılabilir.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(c \cdot a_k) \) \( = c\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} \)
Bir toplam ifadesi başlangıç ve bitiş değerleri arasındaki bir sayıya kadar ve bu sayıdan sonraki sayılar için ayrı ayrı iki toplam ifadesi şeklinde yazılabilir.
\( 1 \lt j \lt n \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{a_k} \) \( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{j}{a_k} + \displaystyle\sum_{k = j + 1}^{n}{a_k} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{50}{k^2} \) \( = \displaystyle\sum_{k = 1}^{20}{k^2} + \displaystyle\sum_{k = 21}^{50}{k^2} \)
Toplam Sembolü Formülleri
Aşağıda bazı sayı dizilerinin ilk \( n \) teriminin toplamını hesaplayan formüller verilmiştir.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k} \) \( = 1 + 2 + 3 + \ldots + n \) \( = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{2k} \) \( = 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n \) \( = n(n + 1) \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(2k - 1) \) \( = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) \) \( = n^2 \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(2k - 1)^2 \) \( = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + (2n - 1)^2 \) \( = \dfrac{n(4n^2 - 1)}{3} \)
\( r \ne 1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{r^{k - 1}} \) \( = 1 + r + r^2 + \ldots + r^{n - 1} \) \( = \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k^2} \) \( = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \) \( = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k^3} \) \( = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 \) \( = {\left[ \dfrac{n(n + 1)}{2} \right]}^2 \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k(k + 1)} \) \( = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots \) \( + n \cdot (n + 1) \) \( = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{1}{k(k + 1)}} \) \( = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \ldots \) \( + \dfrac{1}{n(n + 1)} \) \( = \dfrac{n}{n + 1} \)
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}{k \cdot k!} \) \( = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots \) \( + n \cdot n! \) \( = (n + 1)! - 1 \)
\( \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{\displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{(i + j)}} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin değerine \( S \) diyelim.
Toplama işlemi ifadenin terimlerine dağıtılabilir.
\( S = \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{(\displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{i} + \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{j})} \)
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{j} \) ifadesini inceleyelim.
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{j} = 1 + 2 + 3 + \ldots + 20 \)
\( = \dfrac{20 \cdot 21}{2} = 210 \)
\( S = \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{(\displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{i} + 210)} \)
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{i} \) ifadesini inceleyelim.
Bu ifadenin içinde \( j \) değişkeni bulunmadığı için 20 tane \( i \)'nin toplamına eşittir.
\( \displaystyle\sum_{j = 1}^{20}{i} = i + i + \ldots + i = 20i \)
\( S = \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{(20i + 210)} \)
Toplama işlemi ifadenin terimlerine dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{20i} + \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{210} \)
Toplama işleminde sabit çarpan işlem dışına alınabilir.
\( = 20\displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{i} + \displaystyle\sum_{i = 1}^{20}{210} \)
\( = 20 \cdot \dfrac{20 \cdot 21}{2} + 20 \cdot 210 \)
\( = 8400 \) bulunur.
\( (a_n) = \dfrac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^8{a_k} \) toplamının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{8}{a_k} = a_1 + a_2 + \ldots + a_8 \)
\( a_1 = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)
Kesri \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) ile genişletelim.
\( = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
Diğer terimleri de paydanın eşleniği ile genişlettiğimizde aşağıdaki terimleri elde ederiz.
\( a_2 = \dfrac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} \)
\( a_3 = \dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} =\sqrt{5} - \sqrt{4} \)
\( \vdots \)
\( a_8 = \dfrac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} = \sqrt{10} - \sqrt{9} \)
Terimlerin toplamını alalım.
\( a_1 + a_2 + \ldots + a_8 \) \( = \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{10} - \sqrt{9} \)
Her terimin ikinci terimi önceki terimin birinci terimi ile sadeleşir.
\( = \sqrt{10} - \sqrt{2} \) bulunur.
\( L = 13 \cdot 19 + 19 \cdot 25 + 25 \cdot 31 + \ldots + 43 \cdot 49 \)
olduğuna göre, \( L \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( L \) sayısını terimleri arasındaki örüntüyü dikkate alarak bir toplama işlemi şeklinde yazalım.
\( n = 1 \Longrightarrow (6n + 7)(6n + 13) = 13 \cdot 19 \)
Örüntünün son terimindeki \( n \) değerini bulalım.
\( 6n + 7 = 43 \Longrightarrow n = 6 \)
\( L = \displaystyle\sum_{n = 1}^{6}{(6n + 7)(6n + 13)} \)
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{6}(36n^2 + 120n + 91) \)
Toplama işlemi ifadenin terimlerine dağıtılabilir.
\( = \displaystyle\sum_{n = 1}^{6}{36n^2} + \displaystyle\sum_{n = 1}^{6}{120n} + \displaystyle\sum_{n = 1}^{6}{91} \)
Toplama işleminde sabit çarpan işlem dışına alınabilir.
\( = 36\displaystyle\sum_{n = 1}^{6}{n^2} + 120\displaystyle\sum_{n = 1}^{6}{n} + \displaystyle\sum_{n = 1}^{6}{91} \)
Ardışık tam kare sayıların toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{n}{n^2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
Ardışık sayıların toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{n}{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( L = 36 \cdot \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} + 120 \cdot \dfrac{6 \cdot 7}{2} + 6 \cdot 91 \)
\( = 36 \cdot 91 + 120 \cdot 21 + 546 \)
\( = 3276 + 2520 + 546 = 6342 \) bulunur.
\( \displaystyle\sum_{k = 1}^{9999}{\log{\frac{k + 1}{k}}} \) toplamının sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen toplam sembolünün açılımını yazalım.
\( \log{\dfrac{2}{1}} + \log{\dfrac{3}{2}} + \log{\dfrac{4}{3}} + \log{\dfrac{5}{4}} + \ldots + \log{\dfrac{10000}{9999}} \)
Logaritma toplama işlem kuralını kullanarak ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirelim.
\( = \log(\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{5}{4} \cdot \ldots \cdot \dfrac{10000}{9999}) \)
İlk çarpanın paydası ve son çarpanın payı dışındaki sayılar aralarında sadeleşir.
\( = \log{\dfrac{10000}{1}} \)
\( = \log{10^4} = 4 \) bulunur.
\( \displaystyle\sum_{t = 1}^{10}{\log_{\sqrt[t]{7}}{49^t}} \) ifadesinin sonucu kaça eşittir?
Çözümü GösterLogaritmanın tabanının üssünün çarpmaya göre tersi, logaritma içinin üssünün kendisi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.
\( \log_{\sqrt[t]{7}}{49^t} = \log_{7^{\frac{1}{t}}}{7^{2t}} \)
\( = 2t \cdot (\dfrac{1}{t})^{-1} \cdot \log_{7}{7} \)
\( = 2t \cdot t \cdot 1 = 2t^2 \)
Verilen toplama işlemini sadeleşmiş haliyle yazalım.
\( \displaystyle\sum_{t = 1}^{10}{\log_{\sqrt[t]{7}}{49^t}} = \displaystyle\sum_{t = 1}^{10}{2t^2} \)
Toplama işleminde sabit çarpan işlem dışına alınabilir.
\( = 2\displaystyle\sum_{t = 1}^{10}{t^2} \)
Ardışık tam kare sayıların toplam formülü aşağıdaki gibidir.
\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{n}{n^2} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} \)
\( = 2 \cdot 385 = 770 \) bulunur.
\( \displaystyle\sum_{j = 0}^{8}{\displaystyle\sum_{i = 0}^{j}{C(j, i)}} \) ifadesinin sonucu kaça eşittir?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı \( 2^n \) olur.
\( \displaystyle\sum_{i = 0}^{n}{C(n, i)} = 2^n \)
Bu kuralı içteki toplam formülüne uygulayalım.
\( \displaystyle\sum_{j = 0}^{8}{\displaystyle\sum_{i = 0}^{j}{C(j, i)}} = \displaystyle\sum_{j = 0}^{8}{2^j} \)
\( = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^8 \)
\( = 1 + 2 + 4 + \ldots + 256 \)
İlk terimi \( a_1 = 1 \) ve ortan oranı \( r = 2 \) olan dokuz terimli geometrik dizinin toplamını bulalım.
\( = a_1 \cdot \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
\( = 1 \cdot \dfrac{1 - 2^9}{1 - 2} \)
\( = 511 \) bulunur.