Diziler de birer fonksiyon oldukları için fonksiyonlar arasında geçerli olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemler diziler için de geçerlidir. İki dizi arasında bu işlemlerin yapılabilmesi için diziler aynı indisle başlamalıdır.
Aşağıdaki örneklerde kullanmak üzere iki dizi tanımlayalım.
\( (a_n) = n^2 - 1 \)
\( = (0, 3, 8, 15, 24, 35, \ldots) \)
\( (b_n) = 2n + 1 \)
\( = (3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots) \)
İki dizi arasındaki toplama işleminde dizilerin genel terimleri toplanır.
\( (a_n) + (b_n) = (a_n + b_n) \)
\( = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \) \( a_3 + b_3, \ldots) \)
\( (a_n) + (b_n) = ((n^2 - 1) + (2n + 1)) \) \( = (n^2 + 2n) \)
\( = (0 + 3, 3 + 5, 8 + 7, \) \( 15 + 9, \ldots) \)
\( = (3, 8, 15, 24, 35, 48, \ldots) \)
İki dizi arasındaki çıkarma işleminde dizilerin genel terimleri birbirinden çıkarılır.
\( (a_n) - (b_n) = (a_n - b_n) \)
\( = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \) \( a_3 - b_3, \ldots) \)
\( (a_n) - (b_n) = ((n^2 - 1) - (2n + 1)) \) \( = (n^2 - 2n - 2) \)
\( = (0 - 3, 3 - 5, 8 - 7, \) \( 15 - 9, \ldots) \)
\( = (-3, -2, 1, 6, 13, 22, \ldots) \)
Bir dizinin sabit bir sayıyla çarpma işleminde dizinin genel terimi sabit sayıyla çarpılır.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( c \cdot (a_n) = (c \cdot a_n) \)
\( = (c \cdot a_1, c \cdot a_2, c \cdot a_3, \ldots) \)
\( 2 \cdot (a_n) = (2 \cdot (n^2 - 1)) = (2n^2 - 2) \)
\( = (2 \cdot 0, 2 \cdot 3, \) \( 2 \cdot 8, 2 \cdot 15, \ldots) \)
\( = (0, 6, 16, 30, 48, 70, \ldots) \)
İki dizi arasındaki çarpma işleminde dizilerin genel terimleri birbiriyle çarpılır.
\( (a_n) \cdot (b_n) = (a_n \cdot b_n) \)
\( = (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, a_3 \cdot b_3, \ldots) \)
\( (a_n) \cdot (b_n) = ((n^2 - 1) \cdot (2n + 1)) \) \( = (2n^3 + n^2 - 2n - 1) \)
\( = (0 \cdot 3, 3 \cdot 5, \) \( 8 \cdot 7, \ldots) \)
\( = (0, 15, 56, 135, \) \( 264, 455, \ldots) \)
İki dizi arasındaki bölme işleminde dizilerin genel terimleri birbirine bölünür.
\( (b_n) \) dizisinin tüm terimleri sıfırdan farklı olmak üzere,
\( \dfrac{(a_n)}{(b_n)} = \left( \dfrac{a_n}{b_n} \right) \)
\( = \left( \dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}, \dfrac{a_3}{b_3}, \ldots \right) \)
\( \dfrac{(a_n)}{(b_n)} = \left( \dfrac{n^2 - 1}{2n + 1} \right) \)
\( = \left( 0, \dfrac{3}{5}, \dfrac{8}{7}, \dfrac{15}{9}, \dfrac{24}{11}, \dfrac{35}{13}, \ldots \right) \)