Sıralı sayı listelerine dizi denir. Diziler genellikle
Pozitif tam sayılar dizisi:
Pozitif çift sayılar dizisi:
Tam kare sayılar dizisi:
Bir dizinin elemanlarına o dizinin terimleri denir. Bir dizinin
Bir dizinin terimlerini listelemeye gerek kalmadan, dizinin tüm terimlerini hesaplamamızı sağlayan ifadeye dizinin genel terimi denir.
Dizilerin indisleri genellikle 1 ile başlasa da, Fibonacci dizisi gibi indisi 0 (ya da herhangi bir pozitif ya da negatif tam sayı) ile başlayan diziler de tanımlanabilir. Aksi belirtilmediği sürece verilen bir dizinin indisinin 1 ile başladığı varsayılabilir.
Diziler genellikle
Aşağıdaki iki örnekte olduğu gibi, bir dizinin terimleri arasında bir formül ile ifade edilebilen bir matematiksel ilişki olmak zorunda değildir.
Asal sayılar dizisi:
Mükemmel sayılar dizisi:
Diziler terimlerinin ait oldukları sayı kümelerine göre isimlendirilirler (reel sayı dizisi, tam sayı dizisi, karmaşık sayı dizisi vb.)
Bir diğer tanıma göre, diziler tanım kümeleri pozitif tam sayılar olan birer fonksiyondur. Bu tanıma göre bir dizinin indis değerleri dizinin tanım kümesini, terimleri de görüntü kümesini oluşturur. Buna göre,
Aşağıdaki fonksiyonlar tüm pozitif tam sayılarda tanımlı oldukları için aynı zamanda birer dizidir.
Aşağıdaki fonksiyon tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olmadığı için bir dizi değildir.
Fonksiyon
Diziler kümelere benzemekle birlikte bazı açılardan kümelerden ayrılırlar.
Aşağıda verilen dizilerin ilk 5 terimini yazınız.
(a)
(b)
(c)
Dizinin genel terimini verilen değere eşitleyelim.
Dizinin 4. terimi
Aşağıda verilen dizilerin ilk 5 terimini yazınız.
(a)
(b)
(c)
Aşağıda verilen dizilerin genel terimini bulunuz.
(a)
(b)
(c)
(a) seçeneği:
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
(b) seçeneği:
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
(c) seçeneği:
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
Dizinin terimleri bir negatif, bir pozitif şeklinde ilerlediği için terimleri
Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir reel sayı dizisinin genel terimidir?
I.
II.
III.
IV.
V.
I. öncül:
Buna göre ifade bir dizi değildir.
II. öncül:
Tüm tam sayı
Buna göre ifade bir dizi değildir.
III. öncül:
İfadenin paydası farklı
Bu ifade hiçbir
Buna göre ifade bir dizidir.
IV. öncül:
Buna göre ifade bir dizi değildir.
V. öncül:
Kök içindeki ifade farklı
Buna göre ifade bir dizidir.
III. ve V. öncüllerdeki ifadeler birer reel sayı dizisinin genel terimidir.
Dizinin ilk dört terimini bulalım.
İlk dört terimin toplamını 119'a eşitleyelim.
olduğuna göre,
Dizi genel terimini verilen eşitlikte
Başkatsayısı negatif (kolları aşağı yönlü) olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktası
Buna göre ifade en büyük değerini
Bu değeri dizi tanımında yerine koyalım.
dizisinin tüm terimlerinin pozitif reel sayı olabilmesi için
Genel terimin paydası her zaman pozitif değer alacağı için, ifadenin pozitif olması için pay pozitif olmalıdır.
Paydaki ikinci dereceden ifadeyi bir sürekli fonksiyon olarak düşünürsek, ifadenin her zaman pozitif olabilmesi için grafiği olan parabol her zaman
Buna göre
İkinci dereceden dizinin negatif değer aldığı aralığı bulmak için ifadeyi önce çarpanlarına ayıralım.
Dizinin genel terimini sürekli bir fonksiyon olarak düşünürsek, grafiği pozitif başkatsayılı bir parabol olan bu ifadenin negatif değer aldığı aralık kökleri arasındaki açık aralık, yani
Dizinin ilk terimi
Genel terimin 8'den küçük değerler ürettiği
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Çözüm kümesi:
Buna göre
Dizinin genel teriminin payını çarpanlarına ayıralım.
Payda tüm
Buna göre
Payı (dolayısıyla dizinin terimlerini) pozitif yapan
Bu eşitsizliğin sağlandığı aralık, çarpanları sıfır yapan değerlerin dışında kalan
O halde dizinin ilk pozitif terimi 10. terimdir.
Eşitsizliğin taraflarının 2 tabanında üssünü alalım.
Bu aralıkta
dizisinin kaç terimi pozitif tam sayıdır?
Çözümü GösterDizinin genel terimini düzenleyelim.
Dizinin terimlerinin pozitif tam sayı olması için
Ayrıca dizinin terimlerinin tam sayı olması için
78'in pozitif tam bölenleri aşağıdaki gibidir.
Bu sayılardan tek sayı olanlar aşağıdaki gibidir.
Buna göre dizinin 4 terimi pozitif tam sayıdır.
Genel terimin istenen koşulu sağlayan değerler ürettiği
Dizinin genel terimini incelediğimizde negatif üç basamaklı terim olamayacağını görebiliriz.
Buna göre
Dizinin genel terimi doğrusal ve artan olduğu için aynı değeri birden fazla
O halde dizinin
İlk
Bir dizinin
Bu toplamda dizinin her teriminin ilk terimi kendinden iki önceki terimin ikinci terimi ile sadeleşir.
Terimler bu şekilde sadeleşince geriye dizinin ilk iki teriminin birinci terimleri ve son iki terimin ikinci terimleri kalır.
Dizinin herhangi ardışık üç teriminin çarpımı birbirine eşittir.
Dizinin terimlerinin tam sayı olması için
40'ı tam bölen pozitif tam sayı
Dizinin terimlerini negatif yapan
Diziyi negatif yapan değerler aşağıdaki gibidir.
dizisinin ilk 100 teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDizinin terimlerini hesaplayalım.
Bu toplamda terimleri ikişerli gruplarsak ardışık iki terimin toplamı 3 olur.
Dizinin ilk 100 teriminde toplamları 3 olan 50 tane ikili grup vardır.
İlk
Dizinin ilk terimlerini bulalım.
Buna göre dizinin periyodu 4 olur, yani dizinin her ardışık dört teriminin toplamı 0 olur.
50'nin 4'e bölümünden kalan 2 olduğu için son iki terim
Aşağıda verilen dizilerin genel terimini bulunuz.
(a)
(b)
(c)
(a) seçeneği:
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
Parantez içerisindeki değerleri kosinüs cinsinden ifade edebiliriz.
(b) seçeneği:
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
(c) seçeneği:
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
Köklü ifadelerin katsayıları
Bu katsayıları sinüs cinsinden ifade edebiliriz.
dizisinin tam sayı terimlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDizinin genel teriminin payı ve paydası arasında polinom bölmesi yaparsak bölüm
Bu dizinin bir teriminin tam sayı olması için kesirli ifade tam sayı olmalıdır, bunun için paydadaki ifade 21'i tam bölmelidir.
21'in pozitif tam bölenleri aşağıdaki gibidir.
Bu iki indis değeri için dizinin terimlerini bulalım.
Bu iki terimin toplamı
Buna göre,
Basit kesirlere ayırma yöntemiyle dizinin genel terimini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
Kesirlerin paylarını eşitleyelim.
Bu ifadeyi değişkeni
İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları eşittir.
Buna göre genel terimin basit kesirlerin toplamı şeklinde yazılışı aşağıdaki gibi olur.
İlk 18 terimi yazalım
1. terim:
2. terim:
3. terim:
...
18. terim:
Tüm terimleri alt alta topladığımızda dizinin her teriminin birinci terimi sonraki terimin ikinci terimi ile birbirini götürür.
Terimlerin toplamını bulalım.
Bu eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
Ardışık sayılarda toplama işlemi formülünü kullanalım.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I.
II.
III.
İlk
I. ifade
II. ifade
III. ifade
Buna göre I. ve III. ifadeler doğrudur.
olduğuna göre,
Sırayla dizinin terimlerini hesaplayalım.
İlk 9 terimin çarpımını bulalım.
Eşitliğin her iki tarafını
Eşitliğin solundaki ilk 2 çarpan kare farklı özdeşliği oluşturur.
Eşitliğin solundaki ilk 2 çarpan kare farklı özdeşliği oluşturur.
Eşitliğin solundaki tüm çarpanlar bu şekilde sadeleşir.
Oluşan sayının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü GösterBir sayının son 3 basamağındaki sayı 8 ile tam bölünüyorsa o sayı 8 ile tam bölünür.
Sayı 8 ile tam bölünmüyorsa son 3 basamağının 8 ile bölümünden kalan, o sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
Sayının son 3 basamağını bulmak için
737 sayısı 3 basamaklı olduğu için oluşan sayının son üç basamağını oluşturur.
737 sayısının 8 ile bölümünden kalanı bulalım.
Buna göre
dizisinin kaç terimi tam sayıdır?
Çözümü GösterFaktöriyel bölümünde gördüğümüz yöntemi kullanarak 37! sayısında kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulalım.
3'ün her katı için
9'un her katı için
27'nin her katı için
Toplamda
Buna göre 37! sayısındaki 3 çarpanlarını ayırdığımızda sayıyı
Dolayısıyla
Buna göre dizinin 17 terimi tam sayıdır.