Bir dizinin terimlerini listelemeye gerek kalmadan, dizinin tüm terimlerini hesaplamamızı sağlayan ifadeye dizinin genel terimi denir.
Dizilerin indisleri genellikle 1 ile başlasa da, Fibonacci dizisi gibi indisi 0 (ya da herhangi bir pozitif ya da negatif tam sayı) ile başlayan diziler de tanımlanabilir. Aksi belirtilmediği sürece verilen bir dizinin indisinin 1 ile başladığı varsayılabilir.
Diziler genellikle \( (a_n) \) ya da \( \{a_n\} \) şeklinde ifade edilirler (biz birinci gösterimi tercih edeceğiz). Belirli bir terimin gösteriminde parantez kullanılmaz (\( a_3 = 7 \)). Bir dizinin indis değer aralığı parantez dışında aşağıdaki şekillerde belirtilebilir.
Aşağıdaki iki örnekte olduğu gibi, bir dizinin terimleri arasında bir formül ile ifade edilebilen bir matematiksel ilişki olmak zorunda değildir.
Diziler terimlerinin ait oldukları sayı kümelerine göre isimlendirilirler (reel sayı dizisi, tam sayı dizisi, karmaşık sayı dizisi vb.)
Bir diğer tanıma göre, diziler tanım kümeleri pozitif tam sayılar olan birer fonksiyondur. Bu tanıma göre bir dizinin indis değerleri dizinin tanım kümesini, terimleri de görüntü kümesini oluşturur. Buna göre, \( (a_n) = 3n + 2 \) dizisinin fonksiyon gösterimi aşağıdaki gibidir.
Aşağıdaki fonksiyonlar tüm pozitif tam sayılarda tanımlı oldukları için aynı zamanda birer dizidir.
Aşağıdaki fonksiyon tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olmadığı için bir dizi değildir.
Diziler kümelere benzemekle birlikte bazı açılardan kümelerden ayrılırlar.
SORU 1:
Aşağıda verilen dizilerin ilk 5 terimini yazınız.
(a) \( (a_n) = \dfrac{3 - n}{n^2} \)
(b) \( (b_n) = \dfrac{6 + n}{n!} \)
(c) \( (c_n) = \dfrac{(-1)^{n + 1}}{2n + 1} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( (a_n) = \dfrac{3 - n}{n^2} \)
\( a_1 = \dfrac{3 - 1}{1^2} = 2 \)
\( a_2 = \dfrac{3 - 2}{2^2} = \dfrac{1}{4} \)
\( a_3 = \dfrac{3 - 3}{3^2} = 0 \)
\( a_4 = \dfrac{3 - 4}{4^2} = -\dfrac{1}{16} \)
\( a_5 = \dfrac{3 - 5}{5^2} = -\dfrac{2}{25} \)
(b) seçeneği:
\( (b_n) = \dfrac{6 + n}{n!} \)
\( b_1 = \dfrac{6 + 1}{1!} = 7 \)
\( b_2 = \dfrac{6 + 2}{2!} = 4 \)
\( b_3 = \dfrac{6 + 3}{3!} = \dfrac{3}{2} \)
\( b_4 = \dfrac{6 + 4}{4!} = \dfrac{5}{12} \)
\( b_5 = \dfrac{6 + 5}{5!} = \dfrac{11}{120} \)
(c) seçeneği:
\( (c_n) = \dfrac{(-1)^{n + 1}}{2n + 1} \)
\( c_1 = \dfrac{(-1)^{1 + 1}}{2(1) + 1} = \dfrac{1}{3} \)
\( c_2 = \dfrac{(-1)^{2 + 1}}{2(2) + 1} = -\dfrac{1}{5} \)
\( c_3 = \dfrac{(-1)^{3 + 1}}{2(3) + 1} = \dfrac{1}{7} \)
\( c_4 = \dfrac{(-1)^{4 + 1}}{2(4) + 1} = -\dfrac{1}{9} \)
\( c_5 = \dfrac{(-1)^{5 + 1}}{2(5) + 1} = \dfrac{1}{11} \)
SORU 2:
Aşağıda verilen dizilerin ilk 5 terimini yazınız.
(a) \( (a_n) = \cos{\dfrac{n\pi}{6}} \)
(b) \( (b_n) = 2\log_{n + 1}(n + 2) \)
(c) \( (c_n) = (-1)^n\sin{\dfrac{n\pi}{4}} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( (a_n) = \cos{\dfrac{n\pi}{6}} \)
\( a_1 = \cos{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( a_2 = \cos{\dfrac{2\pi}{6}} = \dfrac{1}{2} \)
\( a_3 = \cos{\dfrac{3\pi}{6}} = 0 \)
\( a_4 = \cos{\dfrac{4\pi}{6}} = -\dfrac{1}{2} \)
\( a_5 = \cos{\dfrac{5\pi}{6}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
(b) seçeneği:
\( (b_n) = 2\log_{n + 1}(n + 2) \)
\( b_1 = 2\log_{1 + 1}(1 + 2) = 2\log_2{3} \)
\( b_2 = 2\log_{2 + 1}(2 + 2) = 2\log_3{4} \)
\( b_3 = 2\log_{3 + 1}(3 + 2) = 2\log_4{5} \)
\( b_4 = 2\log_{4 + 1}(4 + 2) = 2\log_5{6} \)
\( b_5 = 2\log_{5 + 1}(5 + 2) = 2\log_6{7} \)
(c) seçeneği:
\( (c_n) = (-1)^n\sin{\dfrac{n\pi}{4}} \)
\( c_1 = (-1)^1\sin{\dfrac{\pi}{4}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( c_2 = (-1)^2\sin{\dfrac{2\pi}{4}} = 1 \)
\( c_3 = (-1)^3\sin{\dfrac{3\pi}{4}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( c_4 = (-1)^4\sin{\dfrac{4\pi}{4}} = 0 \)
\( c_5 = (-1)^5\sin{\dfrac{5\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
SORU 3:
Aşağıda verilen dizilerin genel terimini bulunuz.
(a) \( \dfrac{2}{10}, \dfrac{4}{15}, \dfrac{8}{20}, \dfrac{16}{25}, \ldots \)
(b) \( -\dfrac{2}{9}, -\dfrac{8}{11}, -\dfrac{26}{13}, -\dfrac{80}{15}, \ldots \)
(c) \( -1, \dfrac{8}{9}, -\dfrac{6}{7}, \dfrac{16}{19}, \ldots \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \dfrac{2}{10}, \dfrac{4}{15}, \dfrac{8}{20}, \dfrac{16}{25}, \ldots \)
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
\( \dfrac{2^1}{5(1 + 1)}, \dfrac{2^2}{5(2 + 1)}, \dfrac{2^3}{5(3 + 1)}, \dfrac{2^4}{5(4 + 1)}, \ldots \)
\( (a_n) = \dfrac{2^n}{5(n + 1)} \)
(b) seçeneği:
\( -\dfrac{2}{9}, -\dfrac{8}{11}, -\dfrac{26}{13}, -\dfrac{80}{15}, \ldots \)
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
\( -\dfrac{3^1 - 1}{2(1) + 7}, -\dfrac{3^2 - 1}{2(2) + 7}, -\dfrac{3^3 - 1}{2(3) + 7}, -\dfrac{3^4 - 1}{2(4) + 7}, \ldots \)
\( (b_n) = -\dfrac{3^{n} - 1}{2n + 7} \)
(c) seçeneği:
\( -1, \dfrac{8}{9}, -\dfrac{6}{7}, \dfrac{16}{19}, \ldots \)
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
\( -\dfrac{4}{4}, \dfrac{8}{9}, -\dfrac{12}{14}, \dfrac{16}{19}, \ldots \)
\( -\dfrac{4(1)}{5(1) - 1}, \dfrac{4(2)}{5(2) - 1}, -\dfrac{4(3)}{5(3) - 1}, \dfrac{4(4)}{5(4) - 1}, \ldots \)
Dizinin terimleri bir negatif, bir pozitif şeklinde ilerlediği için terimleri \( (-1)^n \) ile çarpalım.
\( (-1)^1 \cdot \dfrac{4(1)}{5(1) - 1}, (-1)^2 \cdot \dfrac{4(2)}{5(2) - 1}, (-1)^3 \cdot \dfrac{4(3)}{5(3) - 1}, (-1)^4 \cdot \dfrac{4(4)}{5(4) - 1}, \ldots \)
\( (c_n) = (-1)^n \cdot \dfrac{4n}{5n - 1} \)
SORU 4:
Aşağıda verilen dizilerin genel terimini bulunuz.
(a) \( 0, -2, 0, 2, 0, \ldots \)
(b) \( \dfrac{\ln{6}}{\sqrt{2}}, \dfrac{\ln{11}}{2}, \dfrac{4\ln{2}}{\sqrt{6}}, \dfrac{\ln{21}}{2\sqrt{2}}, \ldots \)
(c) \( 2\sqrt{5}, \sqrt{7}, 0 , \sqrt{11}, 2\sqrt{13}, \ldots \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( 0, -2, 0, 2, 0, \ldots \)
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
\( 2(0), 2(-1), 2(0), 2(1), 2(0), \ldots \)
Parantez içerisindeki değerleri kosinüs cinsinden ifade edebiliriz.
\( 2(\cos{\frac{\pi}{2}}), 2(\cos{\frac{2\pi}{2}}), 2(\cos{\frac{3\pi}{2}}), 2(\cos{\frac{4\pi}{2}}), 2(\cos{\frac{5\pi}{2}}), \ldots \)
\( (a_n) = 2\cos{\dfrac{n\pi}{2}} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{\ln{6}}{\sqrt{2}}, \dfrac{\ln{11}}{2}, \dfrac{4\ln{2}}{\sqrt{6}}, \dfrac{\ln{21}}{2\sqrt{2}}, \ldots \)
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
\( \dfrac{\ln{6}}{\sqrt{2}}, \dfrac{\ln{11}}{\sqrt{4}}, \dfrac{\ln{16}}{\sqrt{6}}, \dfrac{\ln{21}}{\sqrt{8}}, \ldots \)
\( \dfrac{\ln(5 + 1)}{\sqrt{2}}, \dfrac{\ln(10 + 1)}{\sqrt{4}}, \dfrac{\ln(15 + 1)}{\sqrt{6}}, \dfrac{\ln(20 + 1)}{\sqrt{8}}, \ldots \)
\( (b_n) = \dfrac{\ln(5n + 1)}{\sqrt{2n}} \)
(c) seçeneği:
\( 2\sqrt{5}, \sqrt{7}, 0 , \sqrt{11}, 2\sqrt{13}, \ldots \)
Dizinin terimlerini düzenleyelim.
\( 2\sqrt{5}, \sqrt{7}, 0\sqrt{9}, \sqrt{11}, 2\sqrt{13}, \ldots \)
\( 2\sqrt{2 + 3}, \sqrt{4 + 3}, 0\sqrt{6 + 3}, \sqrt{8 + 3}, 2\sqrt{10 + 3}, \ldots \)
Köklü ifadelerin katsayıları \( 2, 1, 0, 1, 2, \ldots \) şeklinde ilerlemektedir.
Bu katsayıları sinüs cinsinden ifade edebiliriz.
\( (\sin{\dfrac{\pi}{2}} + 1)\sqrt{2 + 3}, (\sin{\dfrac{2\pi}{2}} + 1)\sqrt{4 + 3}, (\sin{\dfrac{3\pi}{2}} + 1)\sqrt{6 + 3}, (\sin{\dfrac{4\pi}{2}} + 1)\sqrt{8 + 3}, (\sin{\dfrac{5\pi}{2}} + 1)\sqrt{10 + 3}, \ldots \)
\( (c_n) = (\sin(\dfrac{n\pi}{2}) + 1)\sqrt{2n + 3} \)
SORU 5:
Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir reel sayı dizisinin genel terimidir?
I. \( \dfrac{1}{n^2 - 64} \)
II. \( \dfrac{7}{\sin((n + 1)\pi)} \)
III. \( \dfrac{1}{\cos((n - 1)\pi)} \)
IV. \( \sqrt[4]{100 - n^2} \)
V. \( \sqrt[3]{n^3 - 12n^2} \)
Çözümü Göster
I. öncül:
\( \dfrac{1}{n^2 - 64} \)
\( n = 8 \) için ifade tanımsızdır.
\( \dfrac{1}{8^2 - 64} = \dfrac{1}{0} \)
Buna göre ifade bir dizi değildir.
II. öncül:
\( \dfrac{7}{\sin((n + 1)\pi)} \)
Tüm tam sayı \( n \) değerlerinde ifadenin paydası sıfır olduğu için ifade tanımsızdır.
\( \sin(2\pi) = \sin(3\pi) = \sin(4\pi) = \ldots = 0 \)
Buna göre ifade bir dizi değildir.
III. öncül:
\( \dfrac{1}{\cos((n - 1)\pi)} \)
İfadenin paydası farklı \( n \) değerlerinde 1 ve -1 değerleri alır.
\( c_1 = \dfrac{1}{\cos{0}} = 1 \)
\( c_2 = \dfrac{1}{\cos{\pi}} = -1 \)
\( c_3 = \dfrac{1}{\cos(2\pi)} = 1 \)
\( c_4 = \dfrac{1}{\cos(3\pi)} = -1 \)
\( c_5 = \dfrac{1}{\cos(4\pi)} = 1 \)
Bu ifade hiçbir \( n \) değeri için tanımsız değildir.
Buna göre ifade bir dizidir.
IV. öncül:
\( \sqrt[4]{100 - n^2} \)
\( n \gt 10 \) için kök içi sıfırdan küçüktür, dolayısıyla köklü ifade reel sayılarda tanımsız olur.
Buna göre ifade bir dizi değildir.
V. öncül:
\( \sqrt[3]{n^3 - 12n^2} \)
Kök içindeki ifade farklı \( n \) değerlerinde pozitif ya da negatif olabilir, ancak köklü ifadenin derecesi tek sayı olduğu için ifade tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Buna göre ifade bir dizidir.
III. ve V. öncüllerdeki ifadeler birer reel sayı dizisinin genel terimidir.
SORU 6:
\( (a_n) = \dfrac{n^3 + 18}{6} \) dizisinin kaçıncı terimi \( \dfrac{41}{3} \)'e eşittir?
Çözümü Göster
Dizinin genel terimini verilen değere eşitleyelim.
\( \dfrac{n^3 + 18}{6} = \dfrac{41}{3} \)
\( n^3 + 18 = 82 \)
\( n^3 = 64 \)
\( n = 4 \)
Dizinin 4. terimi \( \frac{41}{3} \)'e eşittir.
SORU 7:
\( (a_n) = \begin{cases}
2k + 3 & n \le 2 \\
(a_{n - 1}) + (a_{n - 2}) & n \gt 2
\end{cases} \)
\( (a_n) \) dizisinin ilk 4 teriminin toplamı 119 olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin ilk dört terimini bulalım.
\( a_1 = 2k + 3 \)
\( a_2 = 2k + 3 \)
\( a_3 = a_2 + a_1 \)
\( = (2k + 3) + (2k + 3) = 4k + 6 \)
\( a_4 = a_3 + a_2 \)
\( = (4k + 6) + (2k + 3) = 6k + 9 \)
İlk dört terimin toplamını 119'a eşitleyelim.
\( (2k + 3) + (2k + 3) + (4k + 6) + (6k + 9) = 119 \)
\( 14k + 21 = 119 \)
\( k = 7 \) bulunur.
SORU 8:
\( (a_n) = \dfrac{3^{2n}}{(n + 3)!} \) dizisi veriliyor.
\( \dfrac{a_{k + 1}}{a_{k + 2}} = \dfrac{4}{3} \)
olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster
Dizi genel terimini verilen eşitlikte \( (k + 1) \). ve \( (k + 2) \). terimler için yerine koyalım.
\( \dfrac{\frac{3^{2(k + 1)}}{(k + 1 + 3)!}}{\frac{3^{2(k + 2)}}{(k + 2 + 3)!}} = \dfrac{4}{3} \)
\( \dfrac{\frac{3^{2k + 2}}{(k + 4)!}}{\frac{3^{2k + 4}}{(k + 5)!}} = \dfrac{4}{3} \)
\( \dfrac{3^{2k + 2}}{(k + 4)!} \cdot \dfrac{(k + 5)!}{3^{2k + 4}} = \dfrac{4}{3} \)
\( 3^{-2} \cdot (k + 5) = \dfrac{4}{3} \)
\( k + 5 = \dfrac{4 \cdot 3^2}{3} \)
\( k + 5 = 12 \)
\( k = 7 \) bulunur.
SORU 9:
\( (a_n) = -4n^2 + 16n + 5 \) dizisinin en büyük terimi kaçtır?
Çözümü Göster
\( -4n^2 + 16n + 5 \) ifadesini sürekli bir fonksiyon olarak düşünürsek grafiği bir paraboldür.
Başkatsayısı negatif (kolları aşağı yönlü) olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{16}{2(-4)} = 2 \)
Buna göre ifade en büyük değerini \( n = 2 \) değerinde alır.
Bu değeri dizi tanımında yerine koyalım.
\( a_2 = -4(2)^2 + 16(2) + 5 \)
\( = -16 + 32 + 5 = 21 \)
\( (a_n) \) dizisinin en büyük terimi \( a_2 = 21 \) olarak bulunur.
SORU 10:
\( (a_n) = \dfrac{n^2 - 4n + k}{n^2 + 1} \)
dizisinin tüm terimlerinin pozitif reel sayı olabilmesi için \( k \)'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Genel terimin paydası her zaman pozitif değer alacağı için, ifadenin pozitif olması için pay pozitif olmalıdır.
Paydaki ikinci dereceden ifadeyi bir sürekli fonksiyon olarak düşünürsek, ifadenin her zaman pozitif olabilmesi için grafiği olan parabol her zaman \( x \) ekseninin üstünde kalmalı, bir diğer ifadeyle bir reel kökü olmamalı, yani ifadenin deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4k \lt 0 \)
\( 16 - 4k \lt 0 \)
\( k \gt 4 \)
Buna göre \( k \)'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 5'tir.
SORU 11:
\( n \ge 1 \) olmak üzere,
\( (a_n) = 2n^2 + n - 15 \) dizisinin kaç terimi negatiftir?
Çözümü Göster
İkinci dereceden dizinin negatif değer aldığı aralığı bulmak için ifadeyi önce çarpanlarına ayıralım.
\( 2n^2 + n - 15 = (n + 3)(2n - 5) \)
Dizinin genel terimini sürekli bir fonksiyon olarak düşünürsek, grafiği pozitif başkatsayılı bir parabol olan bu ifadenin negatif değer aldığı aralık kökleri arasındaki açık aralık, yani \( n \in (-3, \frac{5}{2}) \) aralığıdır.
Dizinin ilk terimi \( a_1 \) olduğu için dizi sadece \( n = 1 \) ve \( n = 2 \) indis değerlerinde negatif değer alır. Buna göre cevap 2 olur.
\( a_1 = 2(1)^2 + 1 - 15 = -12 \)
\( a_2 = 2(2)^2 + 2 - 15 = -5 \)
\( n = 3 \) indis değerinde dizinin pozitif değer aldığını kontrol edebiliriz.
\( a_3 = 2(3)^2 + 3 - 15 = 6 \)
SORU 12:
\( (a_n) = \dfrac{n^2 + 12}{n} \) dizisinin kaç terimi 8'den küçüktür?
Çözümü Göster
Genel terimin 8'den küçük değerler ürettiği \( n \) değerlerini bulalım.
\( \dfrac{n^2 + 12}{n} \lt 8 \)
Tüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( \dfrac{n^2 + 12}{n} - 8 \lt 0 \)
\( \dfrac{n^2 - 8n + 12}{n} \lt 0 \)
\( \dfrac{(n - 2)(n - 6)}{n} \lt 0 \)
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan \( \{ 0, 2, 6 \} \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, 6) \) ve \( (6, +\infty) \) aralıklarını oluşturur.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan \( n = 0 \) değerinde tanımsız, payı sıfır yapan \( \{ 2, 6 \} \) değerlerinde sıfır olur.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin negatif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( n \in (-\infty, 0) \cup (2, 6) \)
\( n \) negatif olamayacağı için alabileceği değerler 3, 4, 5 olur.
Buna göre \( a_n \) dizisinin üç terimi 8'den küçüktür.
SORU 13:
\( (a_n) = \dfrac{n^2 + 5n - 126}{n^2 + n + 1} \) dizisinin ilk pozitif terimi kaçıncı terimdir?
Çözümü Göster
Dizinin genel teriminin payını çarpanlarına ayıralım.
\( (a_n) = \dfrac{(n - 9)(n + 14)}{n^2 + n + 1} \)
Payda tüm \( n \) değerleri için pozitiftir.
Buna göre \( (a_n) \) dizisi payı pozitif yapan \( n \) değerlerinde pozitif, payı negatif yapan \( n \) değerlerinde negatif olur.
Payı (dolayısıyla dizinin terimlerini) pozitif yapan \( n \) değerlerini bulalım.
\( (n - 9)(n + 14) \gt 0 \)
Bu eşitsizliğin sağlandığı aralık, çarpanları sıfır yapan değerlerin dışında kalan \( n \in (-\infty, -14) \cup (9, +\infty) \) aralığıdır.
\( n \) negatif olamayacağı için dizinin pozitif terimleri \( n \)'nin \( (9, +\infty) \) aralığındaki değerlerdir.
O halde dizinin ilk pozitif terimi 10. terimdir.
SORU 14:
\( (a_n) = \log_2(n + 3) \) dizisinin kaç terimi \( [5, 6) \) aralığındadır?
Çözümü Göster
\( 5 \le \log_2(n + 3) \lt 6 \)
Eşitsizliğin taraflarının 2 tabanında üssünü alalım.
\( 2^5 \le n + 3 \lt 2^6 \)
\( 32 \le n + 3 \lt 64 \)
\( 29 \le n \lt 61 \)
Bu aralıkta \( 60 - 29 + 1 = 32 \) tane tam sayı \( n \) değeri vardır.
SORU 15:
\( (a_n) = (-1)^{n - 5} \cdot \dfrac{4n + 78}{n} \)
dizisinin kaç terimi pozitif tam sayıdır?
Çözümü Göster
Dizinin genel terimini düzenleyelim.
\( (a_n) = (-1)^{n - 5} \cdot (4 + \dfrac{78}{n}) \)
Dizinin terimlerinin pozitif tam sayı olması için \( (-1)^{n - 5} \) ifadesinde \( n - 5 \) çift sayı, dolayısıyla \( n \) tek sayı olmalıdır.
Ayrıca dizinin terimlerinin tam sayı olması için \( \frac{78}{n} \) ifadesi tam sayı olmalıdır, dolayısıyla \( n \) 78'i tam bölmelidir.
\( 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13 \)
78'in pozitif tam bölenleri aşağıdaki gibidir.
\( 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78 \)
Bu sayılardan tek sayı olanlar aşağıdaki gibidir.
\( 1, 3, 13, 39 \)
Buna göre dizinin 4 terimi pozitif tam sayıdır.
SORU 16:
\( (a_n) = \dfrac{n^2 + 2n + 6}{n + 5} \)
dizisinin tam sayı terimlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin genel teriminin payı ve paydası arasında polinom bölmesi yaparsak bölüm \( n - 3 \), kalan \( 21 \) olur.
\( (a_n) = \dfrac{(n + 5)(n - 3) + 21}{n + 5} \)
\( = n - 3 + \dfrac{21}{n + 5} \)
Bu dizinin bir teriminin tam sayı olması için kesirli ifade tam sayı olmalıdır, bunun için paydadaki ifade 21'i tam bölmelidir.
\( 21 = 3 \cdot 7 \)
21'in pozitif tam bölenleri aşağıdaki gibidir.
\( 1, 3, 7, 21 \)
\( n \ge 1 \) olduğu için, paydadaki \( n + 5 \) ifadesi \( n \)'nin iki değerinde bu değerlerden biri olur.
\( n \in \{2, 16\} \)
Bu iki indis değeri için dizinin terimlerini bulalım.
\( a_2 = \dfrac{2^2 + 2(2) + 6}{2 + 5} = 2 \)
\( a_{16} = \dfrac{16^2 + 2(16) + 6}{16 + 5} = 14 \)
Bu iki terimin toplamı \( 2 + 14 = 16 \) olarak bulunur.
SORU 17:
\( (a_n) = 12n - 20 \) dizisinin kaç terimi üç basamaklıdır?
Çözümü Göster
Genel terimin istenen koşulu sağlayan değerler ürettiği \( n \) değerlerini bulalım.
Dizinin genel terimini incelediğimizde negatif üç basamaklı terim olamayacağını görebiliriz.
\( 100 \le 12n - 20 \le 999 \)
\( 120 \le 12n \le 1019 \)
\( 10 \le n \le \dfrac{1019}{12} \)
Buna göre \( n \in [10, 84] \) aralığında dizinin terimleri üç basamaklıdır.
Dizinin genel terimi doğrusal ve artan olduğu için aynı değeri birden fazla \( n \) değerinde alamaz.
O halde dizinin \( 84 - 10 + 1 = 75 \) terimi üç basamaklıdır.
SORU 18:
\( (a_n) \) dizisinin herhangi ardışık üç teriminin çarpımı birbirine eşittir.
\( a_3 \cdot a_4 = a_5 = 4 \) eşitliği veriliyor.
\( \dfrac{a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot \ldots \cdot a_{10}}{a_{11} \cdot a_{12} \cdot a_{13}} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster
\( a_3 \cdot a_4 = a_5 = 4 \) eşitliğini kullarak ardışık üç terimin çarpımını bulalım.
\( a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 = 4 \cdot 4 = 16 \)
Dizinin herhangi ardışık üç teriminin çarpımı birbirine eşittir.
\( a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 16 \)
\( a_5 \cdot a_6 \cdot a_7 = 16 \)
\( a_8 \cdot a_9 \cdot a_{10} = 16 \)
\( a_{11} \cdot a_{12} \cdot a_{13} = 16 \)
\( \dfrac{a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot \ldots \cdot a_{10}}{a_{11} \cdot a_{12} \cdot a_{13}} \)
\( = \dfrac{16 \cdot 16 \cdot 16}{16} \)
\( = 256 \) bulunur.
SORU 19:
\( (a_n) = \dfrac{3n - 40}{n} \) dizisi veriliyor.
\( a_n \) dizisinin terimlerini tam sayı yapan \( n \) değerlerinin kümesi \( A \), negatif yapan \( n \) değerlerinin kümesi \( B \) olduğuna göre, \( A \cap B \) kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster
\( (a_n) = \dfrac{3n - 40}{n} = 3 - \dfrac{40}{n} \)
Dizinin terimlerinin tam sayı olması için \( \frac{40}{n} \) ifadesi tam sayı olmalıdır.
40'ı tam bölen pozitif tam sayı \( n \) değerlerinde dizinin terimleri tam sayı olur.
\( A = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\} \)
Dizinin terimlerini negatif yapan \( n \) değerlerini bulalım.
\( 3 - \dfrac{40}{n} \lt 0 \)
\( \dfrac{40}{n} \gt 3 \)
Diziyi negatif yapan değerler aşağıdaki gibidir.
\( B = \{1, 2, 3, \ldots, 13\} \)
\( A \cap B = \{1, 2, 4, 5, 8, 10\} \)
\( s(A \cap B) = 6 \) bulunur.
SORU 20:
\( (a_n) = \begin{cases}
2n + 1 & \text{n tek ise} \\
4 - 2n & \text{n çift ise}
\end{cases} \)
dizisinin ilk 100 teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin terimlerini hesaplayalım.
\( a_1 = 2(1) + 1 = 3 \)
\( a_2 = 4 - 2(2) = 0 \)
\( a_3 = 2(3) + 1 = 7 \)
\( a_4 = 4 - 2(4) = -4 \)
\( a_5 = 2(5) + 1 = 11 \)
\( a_6 = 4 - 2(6) = -8 \)
\( \vdots \)
\( a_{99} = 2(99) + 1 = 199 \)
\( a_{100} = 4 - 2(100) = -196 \)
\( (a_n) \) dizisinin ilk 100 teriminin toplamını yazalım.
\( \underbrace{3 + 0}_{3} + \underbrace{7 + (-4)}_{3} + \underbrace{11 + (-8)}_{3} \ldots + \underbrace{199 + (-196)}_{3} \)
Bu toplamda terimleri ikişerli gruplarsak ardışık iki terimin toplamı 3 olur.
Dizinin ilk 100 teriminde toplamları 3 olan 50 tane ikili grup vardır.
\( 50 \cdot 3 = 150 \) bulunur.
SORU 21:
\( (a_n) \) dizisinin ilk \( n \) teriminin toplamı \( S_n = n^2 + 4n + 2 \) olduğuna göre, \( a_4 + a_7 \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
İlk \( n \) terim toplam formülü kullanılarak dizinin \( n \). terimi aşağıdaki formülle bulunabilir.
\( a_n = S_n - S_{n-1} \)
\( a_4 = S_4 - S_3 \)
\( = (4^2 + 4(4) + 2) - (3^2 + 4(3) + 2) \)
\( = 34 - 23 = 11 \)
\( a_7 = S_7 - S_6 \)
\( = (7^2 + 4(7) + 2) - (6^2 + 4(6) + 2) \)
\( = 79 - 62 = 17 \)
\( a_4 + a_7 = 11 + 17 = 28 \) bulunur.
SORU 22:
\( a_1 = -3 \) ve \( a_{n+1} - a_n = n - 3 \) olduğuna göre,
\( (a_n) \) dizisinin genel terimi nedir?
Çözümü Göster
\( a_{n+1} - a_n = n - 3 \) eşitliğini farklı \( n \) değerleri için yazalım.
\( n = 1 \) için:
\( a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2 \)
\( n = 2 \) için:
\( a_3 - a_2 = 2 - 3 = -1 \)
\( n = 3 \) için:
\( a_4 - a_3 = 3 - 3 = 0 \)
\( \vdots \)
\( n = n - 1 \) için:
\( a_n - a_{n-1} = (n - 1) - 3 = n - 4 \)
Bu eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \ldots + (a_n - a_{n-1}) = (-2) + (-1) + 0 + \ldots + (n - 4) \)
\( a_n - a_1 = (-2) + (-1) + 0 + \ldots + (n - 4) \)
Ardışık sayılarda toplama işlemi formülünü kullanalım.
\( a_n - a_1 = \dfrac{(n - 4)(n - 3)}{2} + (-2) + (-1) \)
\( a_1 = -3 \) değerini yerine yazalım.
\( a_n - (-3) = \dfrac{(n - 4)(n - 3)}{2} - 3 \)
\( (a_n) = \dfrac{(n - 4)(n - 3)}{2} - 6 \)
\( = \dfrac{n^2 - 7n + 12 - 12}{2} \)
\( = \dfrac{n^2 - 7n}{2} \)
\( = \dfrac{n(n - 7)}{2} \) bulunur.
SORU 23:
\( B = \{1, 2, 3, \ldots, 50\} \) olmak üzere,
\( b_n: B \to \mathbb{R} \)
\( (b_n) = \sin{\frac{n\pi}{2}} \) dizisinin terimlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Dizinin ilk terimlerini bulalım.
\( b_1 = \sin{\frac{1\pi}{2}} = 1 \)
\( b_2 = \sin{\frac{2\pi}{2}} = 0 \)
\( b_3 = \sin{\frac{3\pi}{2}} = -1 \)
\( b_4 = \sin{\frac{4\pi}{2}} = 0 \)
\( b_5 = \sin{\frac{5\pi}{2}} = 1 \)
\( b_6 = \sin{\frac{6\pi}{2}} = 0 \)
Buna göre dizinin periyodu 4 olur, yani dizinin her ardışık dört teriminin toplamı 0 olur.
50'nin 4'e bölümünden kalan 2 olduğu için son iki terim \( a_{49} = 1 \) ve \( a_{50} = 0 \) olur.
\( \underbrace{b_1 + b_2 + \ldots + b_{48}}_{0} + b_{49} + b_{50} = 1 + 0 = 1 \) bulunur.
SORU 24:
\( (a_n) = \dfrac{37!}{3^n} \)
dizisinin kaç terimi tam sayıdır?
Çözümü Göster
Faktöriyel bölümünde gördüğümüz yöntemi kullanarak 37! sayısında kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulalım.
\( 37! \) sayısının içinde:
3'ün her katı için \( \floor{37/3} = 12 \) tane,
9'un her katı için \( \floor{12/3} = 4 \) tane,
27'nin her katı için \( \floor{4/3} = 1 \) tane 3 çarpanı vardır.
Toplamda \( 12 + 4 + 1 = 17 \) tane 3 çarpanı vardır.
Buna göre 37! sayısındaki 3 çarpanlarını ayırdığımızda sayıyı \( 37! = 3^{17} \cdot A \) şeklinde yazabiliriz.
\( (a_n) = \dfrac{3^{17} \cdot A}{3^n} \)
Dolayısıyla \( n \le 17 \) için paydadaki 3'ler sadeleşecek ve terim bir tam sayı olacaktır.
Buna göre dizinin 17 terimi tam sayıdır.
