Kümeleri tanımlarken bir elemanın bir kümede yalnız bir kez yer alabileceğini belirtmiştik. Buna göre aşağıdaki kümeler birbirine eşittir ve her biri üç elemanlıdır.
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 1, 2, 2, 3, 3 \} \)
\( C = \{ 1, 1, 1, 2, 2, 3 \} \)
\( A = B = C \)
Çoklu küme olarak isimlendirilen ve şu ana kadar gördüğümüz kümelerin bir uzantısı olan küme tiplerinde ise bir eleman birden fazla kez yer alabilir. Örneğin aşağıdaki kümeler eşit birer küme, ama farklı birer "çoklu kümedir".
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 1, 2, 3, 3 \} \)
\( C = \{ 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3 \} \)
Kümelerde olduğu gibi çoklu kümelerde de elemanların sıralaması önemli değildir ve sıralamanın değiştirilmesi küme tanımını değiştirmez. Buna göre aşağıdaki çoklu kümeler birbirine eşittir.
\( A = \{ 1, 1, 2, 3, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 1, 3 \} \)
\( C = \{ 3, 3, 2, 1, 1 \} \)
\( A = B = C \)
Konu anlatımları ve sorularda karşımıza çıkan kümelerin her durumda çoklu küme değil, standart küme olduğu varsayılmalıdır. Çoklu kümelere burada yer vermemizin sebebi, aşağıda bahsedeceğimiz birkaç konuda çoklu küme kavramının konuyu anlamada kolaylık sağlamasıdır.
İki çoklu kümenin eşit olması için hem kümelerin elemanları hem de her elemanın kümelerde bulunma sayıları birbirine eşit olmalıdır.
İki çoklu kümenin birleşim kümesinde iki kümenin elemanları bu kümelerde bulunma sayılarının en büyüğü kadar sayıda (toplamı kadar değil) bulunurlar.
\( A = \{ 1, 1, 2, 2, 3, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 2, 2 \} \)
\( A \cup B = \{ 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 \} \)
İki çoklu kümenin kesişim kümesinde iki kümenin elemanları bu kümelerde bulunma sayılarının en küçüğü kadar sayıda bulunurlar.
\( A = \{ 1, 1, 2, 2, 3, 3 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 2, 2 \} \)
\( A \cap B = \{ 1, 2, 2 \} \)
Çoklu kümelerin kullanıldığı konulardan biri tam sayıların asal çarpanlarıdır. Örnek olarak, asal çarpanlarına aşağıdaki gibi ayrılan 360 sayısının çarpanları bir çoklu küme olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
\( A_{360} = \{ 2, 2, 2, 3, 3, 5 \} \)
Çoklu kümelerin kullanıldığı bir diğer konu ise tekrarlı permütasyondur. Örnek olarak "DERSPRESSO" kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabileceğini bulmak için, permütasyon tanımı gereği öncelikle bu kelimenin harfleri bir küme olarak ifade edilmelidir. Normal küme tanımına göre her harf kümede bir kez yer alabileceği için kelimenin tüm harfleri bir çoklu küme olarak ifade edilebilir.
\( A = \{ D, E, R, S, P, R, E, S, S, O \} \)