Küme problemlerinde, küme işlem kuralları kullanılarak farklı sayıda kümenin eleman sayıları bulunmaya çalışılır. Bu tip problemlerde Venn şeması sıklıkla kullanılır.
Aşağıda küme problemlerinin çözümüne temel teşkil etmesi açısından örnek bir küme seti ve farklı alt küme durumları verilmiştir. Bu örnekte bir sınıftaki öğrencilerin Almanca (
Sözel Anlatım | Sayısal Gösterim | Küme Gösterimi |
---|---|---|
Tüm kişiler | ||
Sadece bir dil bilenler | ||
Sadece iki dil bilenler | ||
En az bir dil bilenler | ||
En az iki dil bilenler | ||
En çok bir dil bilenler | ||
En çok iki dil bilenler | ||
Hiçbir dil bilmeyenler | ||
Almanca bilen, ama Fransızca bilmeyenler | ||
İngilizce veya Fransızca bilen, ama Almanca bilmeyenler | ||
İngilizce ve Fransızca bilen, ama Almanca bilmeyenler |
35 kişilik bir sınıfta kalemi veya silgisi olan 16 kişi, silgisi olmayan 22 kişi, kalemi olmayan 24 kişi vardır?
Buna göre, hem kalemi hem de silgisi olan kaç kişi vardır?
Çözümü GösterKalemi olanların kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda hem kalemi hem de silgisi olanların sayısı, yani
Sınıf mevcudu:
Kalemi veya silgisi olanların sayısı:
Silgisi olmayanların sayısı:
Kalemi olmayanların sayısı:
Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
Buna göre, hem kalemi hem de silgisi olan
Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 48 kişilik toplulukta, Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katı, Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin
Buna göre bu toplulukta Almanca bilen kaç kişi vardır?
Çözümü GösterAlmanca bilenlerin kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda Almanca bilenlerin sayısı, yani
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
İki dilden en az birini bilenlerin sayısı:
Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katıdır.
Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin
Birinci denklemde
Üçüncü denklemde
Bu iki denklemi ortak çözelim.
Buna göre, toplulukta Almanca bilen 24 kişi vardır.
Bir sınıfta İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilen 32, en çok birini bilen 28 öğrenci vardır.
Bu sınıfta Almanca bilmeyen 15 öğrenci bulunduğuna göre, İngilizce bilen kaç öğrenci vardır?
Çözümü Gösterİngilizce bilen öğrenciler kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda İngilizce bilen öğrenci sayısı, yani
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
En az bir dil bilenlerin sayısı:
En çok bir dil bilenlerin sayısı:
Almanca bilmeyenlerin sayısı:
Yukarıdaki ikinci eşitlikten üçüncü eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
Bu değeri birinci eşitlikte yerine koyalım.
Buna göre, sınıfta İngilizce bilen 19 öğrenci vardır.
40 kişilik bir sınıfta matematik dersinde 21 öğrenci, kimya dersinde 24 öğrenci başarılı olmuştur.
Her iki derste başarısız olan 6 öğrenci olduğuna göre, sadece kimya dersinde başarılı olan kaç öğrenci vardır?
Çözümü GösterMatematik dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda sadece kimya dersinde başarılı olan öğrenci sayısı, yani
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
Matematik dersinde başarılı olanlar:
Kimya dersinde başarılı olanlar:
Her iki derste de başarısız olanlar:
Sınıf mevcudu:
Yukarıdaki ilk 3 eşitliği taraf tarafa toplayalım.
Bu eşitlikten sınıf mevcudu eşitliğini taraf tarafa çıkaralım.
Buna göre, sınıfta sadece kimya dersinde başarılı olan 13 öğrenci vardır.
Bir turist kafilesi İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerden oluşmaktadır. İngilizce bilenler, diğer iki dili de bilmemektedir.
Grupta İngilizce bilen 5 kişi, sadece Fransızca bilen 2 kişi, Fransızca bilen 6 kişi olduğuna ve Almanca bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişi vardır?
Çözümü Gösterİngilizce bilenlerin kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
İngilizce bilenler diğer iki dili bilmediği için,
Soruda sadece Almanca bilen kişi sayısı, yani
İngilizce bilen kişi sayısı:
Sadece Fransızca bilen kişi sayısı:
Fransızca bilen kişi sayısı:
Almanca bilenler Fransızca bilenlerin sayısının 2 katıdır.
Buna göre, grupta sadece Almanca bilen 8 kişi vardır.
36 kişilik bir spor kulübünde herkes futbol oynarken 10 kişi basketbol ve voleybol da oynamaktadır.
Sadece futbol oynayanların sayısı 12 kişi olduğuna göre, bu sporlardan yalnız ikisini yapanların sayısı kaçtır?
Çözümü GösterFutbol oynayanların kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Tüm oyuncular futbol oynadığı için
Soruda sporlardan yalnız ikisini yapanların sayısı, yani
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
Kulüpteki toplam kişi sayısı 36'dır.
Üç sporu da yapanların sayısı 10'dur.
Sadece futbol oynayanların sayısı 12'dir.
Buna göre, kulüpte yalnız iki sporu yapan 14 kişi vardır.
Bir grup öğrencinin
Biyoloji alan öğrencilerin kümesine
Biyoloji, kimya ve her iki dersi alan öğrenci sayıları tam sayı olmalıdır. Bunun sağlanması için gruptaki toplam öğrenci sayısı verilen kesirlerdeki paydaların, yani 7'nin ve 5'in bir ortak katı olmalıdır.
7'nin ve 5'in en küçük ortak katı 35'tir.
Her iki dersi de alan öğrenci sayısının en küçük değeri istendiği için gruptaki öğrenci sayısını 35 olarak almalıyız.
Bu durumda biyoloji alan öğrenci sayısı
İki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazalım.
Tüm öğrencilerin kümesi
Buna göre, her iki dersi de alan öğrenci sayısı en az 6 olabilir.
Herkesin Türkçe bildiği 32 kişilik bir kafilede, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu kafilede bu üç dilden yanlız birini bilen 10 kişi vardır.
Türkçe ve Almanca bilen 8 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilen kaç kişi vardır?
Çözümü GösterTürkçe bilenlerin kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Herkes Türkçe bildiği için
İngilizce bilenler Almanca bilmedikleri için bu iki küme ayrık kümelerdir.
Soruda Türkçe ve İngilizce bilen kişi sayısı, yani
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
Kafiledeki kişi sayısı:
Yalnız bir dil bilen kişi sayısı:
Türkçe ve Almanca bilen kişi sayısı:
Bu değerleri toplam kişi sayısı formülünde yerine koyalım.
Buna göre, kafilede Türkçe ve İngilizce bilen 14 kişi vardır.
Verileri Venn şeması ile gösterelim.
Aşağıdaki küme özdeşliğini kullanalım.
olduğuna göre,
İki kümenin kesişimi ise 60'tan küçük ya da eşit olan ve hem 3'e hem de 4'e, yani 12'ye tam bölünen doğal sayılardan oluşur.
olduğuna göre,
Bu iki kümenin kesişimi
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülünü kullanalım.
Bir sınıfta tarih ve coğrafya derslerinin en az birinden geçen 36, en çok birinden geçen 21, yalnız birinden geçen 13 kişi vardır.
Buna göre bu sınıfta kaç kişi vardır?
Çözümü GösterTarih dersinden geçenlerin kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda sınıftaki toplam kişi sayısı, yani
En az bir dersten geçenlerin sayısı:
En çok bir dersten geçenlerin sayısı:
Yalnız bir dersten geçenlerin sayısı:
Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
Bu değerleri kullanarak sınıf mevcudunu bulalım.
Ayşe Hanım evine misafirliğe gelecek 30 kişi için 30'ar kişilik kola, portakal suyu ve elma suyu hazırlamıştır. Gelen misafirlerin tümü bir ya da üç çeşit içecekten birer bardak içmiştir.
Misafirler gittiğinde 8 kişilik kola, 10 kişilik portakal suyu ve 14 kişilik elma suyu arttığına göre, üç çeşit içecek içen kaç misafir vardır?
Çözümü GösterKola içenlerin kümesine
Misafirler
Buna göre sadece kola içenlerin sayısı
Misafirlerin tamamı bir ya da üç içecek içtiğine göre, kümelerin ikili kesişimleri boş küme olur.
Venn şemasındaki sayıların toplamı toplamı misafir sayısını verir.
Masa tenisi, basketbol ve yüzme kurslarından en az birine katılanlardan oluşan 50 kişilik bir toplulukta yüzme kursuna katılanların başka kurslara katılmadığı biliniyor.
Bu toplulukta masa tenisi kursuna katılmayan 21 kişi, basketbol kursuna katılmayan 23 kişi ve yalnız bir kursa katılan 30 kişi olduğuna göre, basketbol kursuna katılanların sayısı yüzme kursuna katılanların sayısından kaç fazladır?
Çözümü GösterMasa tenisi kursuna katılanların kümesine
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Yüzme kursuna katılanlar başka kursa katılmadıkları için
Soruda basketbol kursuna katılanların sayısının yüzme kursuna katılanların sayısından kaç fazla olduğu, yani
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
Topluluk mevcudu:
Masa tenisi kursuna katılmayan kişi sayısı:
Basketbol kursuna katılmayan kişi sayısı:
Yalnız bir kursa katılan kişi sayısı:
Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
Buna göre, basketbol kursuna katılanların sayısı yüzme kursuna katılanların sayısından
Bir müzik topluluğunda üyelerin yüzde 55'i klasik müzik çalmakta, diğerleri çalmamaktadır. Klasik müzik çalanların yüzde 20'si, çalmayanların yüzde 60'ı klasik müzik sevmediğini söylemektedir.
Klasik müzik sevenler içinde klasik müzik çalmayanların oranı kaçtır?
Çözümü GösterMüzik topluluğundaki toplam üye sayısına 100 kişi diyelim.
Bu durumda klasik müzik çalan 55, çalmayan 45 üye bulunur.
Klasik müzik çalan 55 üye içinde
Klasik müzik çalmayan 45 üye içinde
Buna göre klasik müzik seven toplam
Klasik müzik sevenler içinde klasik müzik çalmayanların oranı:
Eyüp pencereden okul bahçesinde oynayan çocukları seyrederken çocukların yarısının atkı taktığına, atkı takmayanların sayısının bere takmayanların sayısının iki katı olduğuna, çocukların taktığı atkı ve berelerin toplamının 45 adet olduğuna dikkat ediyor.
Buna göre bahçede oynayan çocuk sayısı kaçtır?
Çözümü GösterAtkı takan çocukların kümesine
Çocukların yarısı atkı takıyor.
Atkı takmayanların sayısı bere takmayanların sayısının iki katıdır.
Çocukların taktığı atkı ve berelerin toplamı 45 adettir.
Üçüncü denklemin taraflarını iki ile çarpalım.
Bu denklemi ikinci denklem ile taraf tarafa toplayalım.
Tüm çocukların sayısı
Bir üniversitedeki fotoğrafçılık ve dağcılık kulüpleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
Buna göre fotoğrafçılık kulübüne üye olan kişi sayısı ile dağcılık kulübüne üye olan kişi sayısı toplamı kaçtır?
Çözümü GösterFotoğrafçılık kulübüne üye olan kişilerin kümesine
Fotoğrafçılık kulübüne üye olmayan kişiler, dağcılık kulübüne üye olmayan kişilerin bir alt kümesidir.
Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.
Fotoğrafçılık kulübüne üye olmayan kişi sayısı 28'dir.
Dağcılık kulübüne üye olmayan kişi sayısı 42'dir.
De Morgan kuralını uygulayalım.
Her iki kulübün üye sayılarının toplamını bulalım.
Aslı ve Timur, dokuz rakamdan oluşan öğrenci numaralarının bazı basamaklarını hatırlamıyorlar.
Aslı: 0*12*9*32
Timur: 26**1*715
Aslı'nın öğrenci numarasındaki rakamlar
Öğrenci numaraları rakamlardan oluştuğu için
6 ve 7 elemanları
Buna göre
Aslı'nın öğrenci numarasında bulunmayan rakamların toplamı
Bir film yapım ekibindeki çalışanlar ihtiyaca göre kamera önünde veya kamera arkasında görev alabilmektedir.
Kamera önünde çalışanların yüzdesi %48 ile %53 arasında, kamera arkasında çalışanların yüzdesi %65 ile %68 arasında, bu iki grupta da çalışmayan ve setteki diğer işlerde görev alanların yüzdesi ise %1 ile %3 arasında değişmektedir.
Buna göre hem kamera önünde hem de kamera arkasında görev alanların yüzdesi hangi aralıkta olabilir?
Çözümü GösterKamera önünde çalışanların kümesine
Her iki grupta da görev alanların yüzdesine
Ekipteki toplam kişi sayısı evrensel kümeyi temsil ettiği için %100 değerine karşılık gelir.
Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim ve
Önce her grup için alt sınır değerlerini (%48, %65, %1) dikkate alalım.
Şimdi her grup için üst sınır değerlerini (%53, %68, %3) dikkate alalım.
Buna göre her iki grupta da görev alanların yüzdesi için aralık aşağıdaki gibi olur.
Bir okuldaki kimya laboratuvarında deney yapan iki ayrı gruptan birincisinde 25, ikincinde 23 öğrenci vardır.
Kimya öğretmeni birinci gruptaki kız öğrencilerinin tamamını ikinci gruba, ikinci gruptaki erkek öğrencilerin yarısını birinci gruba alıyor. Bu değişiklik ile toplam 23 öğrenci grup değiştiriyor ve ikinci gruptaki öğrenci sayısı birinci gruptaki öğrenci sayısının iki katı oluyor.
Buna göre değişiklikten önce birinci gruptaki kız öğrenci sayısı kaçtır?
Çözümü GösterDeğişiklik öncesinde her iki gruptaki kız ve erkek öğrenci sayılarını gösteren bir tablo oluşturalım.
Birinci gruptaki erkek öğrencilerin sayısına
İkinci gruptaki erkek öğrencilerin sayısına
Değişiklik sonrasında her iki gruptaki kız ve erkek öğrenci sayılarını gösteren bir tablo oluşturalım.
Birinci grupta kız öğrenci kalmamıştır.
İkinci gruptaki erkek öğrencilerin yarısı (
Bu değişiklik sonucunda toplam 23 öğrenci grup değiştirmiştir.
Bu değişiklik sonucunda ikinci gruptaki öğrenci sayısı birinci gruptaki öğrenci sayısının 2 katı oluyor.
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
Buna göre değişiklikten önce birinci gruptaki kız öğrenci sayısı
Bir okulda iki şubenin katıldığı bir sınavla ilgili aşağıdakiler biliniyor.
Buna göre 5B şubesindeki erkeklerin not ortalaması kaçtır?
Çözümü Göster5A şubesinde 15 kız öğrenci olduğuna göre 30 erkek öğrenci vardır.
5B şubesinde 20 erkek öğrenci olduğuna göre 25 kız öğrenci vardır.
Buna göre şubelerdeki kız/erkek öğrenci sayıları aşağıdaki gibi olur.
5A şubesindeki kızların not ortalaması 40 ise toplam notu
Tüm kızların not ortalaması 45 ise tüm kızların toplam notu
5B şubesindeki kızların toplam notu
5B şubesindeki kızların not ortalamasını hesaplayalım.
5A şubesindeki erkeklerin not ortalaması, 5B şubesindeki kızların not ortalamasının
5A şubesindeki erkeklerin toplam notunu hesaplayalım.
Tüm okulun toplam notunu hesaplayalım.
5B şubesindeki erkeklerin toplam notunu hesaplayalım.
5B şubesindeki erkeklerin not ortalamasını hesaplayalım.
Özet olarak şubelerdeki kız/erkek öğrencilerinin toplam notları aşağıdaki gibi olur.
A ve B şubelerinde okuyan öğrencilerin bulunduğu bir grupta, kız öğrencilerin toplam sayısı A sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına, B sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı A sınıfındaki toplam öğrenci sayısına eşittir.
B sınıfında okuyan 30 öğrenci olduğuna göre, A sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Çözümü GösterA sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına
Verilen bilgileri bir tabloya yerleştirelim.
Soruda A sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı, yani
Sütun ve satırdaki toplamlar birbirlerine eşit olmalıdır.
Buna göre, A sınıfında okuyan 15 erkek öğrenci vardır.
62 kişilik bir sınıfta öğrencilerin 40'ı erkek, 24'ü gözlüklüdür.
Gözlüksüz kızların sayısı gözlüklü erkeklerin sayısının yarısı ise sınıfta kaç gözlüklü kız vardır?
Çözümü GösterGözlüksüz kızların sayısına
Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Erkek öğrenciler sütununu kullanarak
Buna göre gözlüklü kız öğrencilerin sayısı
58 kişilik bir turist grubunda,
Buna göre bu grupta kaç kadın vardır?
Çözümü Gösterİngiliz erkeklerin sayısına
Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Satır ve sütun toplamlarının toplamı birbirine eşit ve 58 olmalıdır.
Sütun toplamlarının toplamını alalım.
Buna göre turist grubundaki kadınların sayısı
Bir spor kulübünde oyuncular futbol ve basketboldan sadece birini oynamaktadır. Bu kulüpte 16 erkek 20 kadın oyuncu vardır, 19 oyuncu basketbol oynamaktadır ve futbol oynayan erkeklerle basketbol oynayan kadınların toplamı 13'tür.
Buna göre bu kulüpte futbol oynayan kaç kadın vardır?
Çözümü GösterFutbol oynayan erkeklerin sayısına
Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Erkekler sütununu kullanarak
Futbol oynayan kadın sayısını bulalım.
Bir kasabada kadınların sayısının erkeklerin sayısına oranı
Bu kasabada ehliyeti olan 12960 erkek olduğuna göre, ehliyeti olmayan kadınların sayısı kaçtır?
Çözümü GösterKasabadaki toplam kadın sayısına
Ehliyeti olan erkeklerin sayısını kullanarak ehliyeti olan kadınların sayısını bulalım.
Ehliyeti olan kadınların sayısına
Toplam kadın ve erkek sayılarından ehliyeti olan kadın ve erkek sayılarını çıkarırsak ehliyeti olmayan kadın ve erkek sayılarını buluruz.
Tüm bilgileri kullanarak bir tablo oluşturalım.
Ehliyeti olmayan kadınların sayısının ehliyeti olmayan erkeklerin sayısına oranı
Ehliyeti olmayan kadınların sayısını bulalım.
30 tercümanın bulunduğu bir tercüme bürosunda İngilizce konuşan 21 kişi, Almanca konuşan 23 kişi, İspanyolca konuşan 25 kişi, Fransızca konuşan 26 kişi vardır.
Bu tercüme bürosunda bu dört dili de konuşan tercüman sayısı en az kaç olabilir?
Çözümü GösterTercüme bürosunda 9 kişi İngilizce, 7 kişi Almanca, 5 kişi İspanyolca, 4 kişi Fransızca konuşmamaktadır.
Bu kişilerin farklı kişiler olduklarını varsayarsak en az bir dil konuşmayan tercüman sayısı en fazla
Buna göre dört dili de konuşan tercüman sayısı en az
Üç basamaklı sayılardan kaç tanesi 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmez?
Çözümü GösterÜç basamaklı 900 sayının dörtte biri 4'e tam bölünür.
Üç basamaklı 900 sayının beşte biri 5'e tam bölünür.
Bu iki kümenin kesişimi, hem 4'e hem 5'e, yani 20'ye tam bölünen 3 basamaklı sayılardır.
Üç basamaklı 900 sayının yirmide biri 20'ye tam bölünür.
5 ile bölünen sayılardan 20 ile bölünen sayıları çıkarırsak 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmeyen sayıları buluruz.
Bir okuldaki 160 öğrenciden 152'si futbol, 98'i basketbol oynuyor.
Buna göre, sadece futbol oynayan öğrencilerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
(a)
Sadece futbol oynayan öğrenci sayısına
Soruda verilen bilgileri birer eşitlik olarak yazalım.
İkinci ve üçüncü eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
Sadece futbolu seven öğrenci sayısının aralığını bulmak için alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmamız gerekir.
Yukarıdaki birinci eşitliği dördüncüden taraf tarafa çıkaralım.
Yukarıdaki ikinci eşitliği birinciden taraf tarafa çıkaralım.
Buna göre cevap (b) seçeneğidir.
Bir sınıftaki 25 öğrencinin kalemkutusunda siyah, mavi ve kırmızı renkteki tükenmez kalemlerden en az biri vardır.
Siyah kaleme sahip öğrenci sayısı, mavi kaleme sahip öğrenci sayısı ve kırmızı kaleme sahip öğrenci sayısının toplamı 34'tür. 7 öğrencide ise bu kalemlerin en az iki farklı rengi vardır.
Buna göre kaç öğrencide sadece iki farklı renkte kalem vardır?
Çözümü GösterSiyah, mavi ve kırmızı renkte kaleme sahip öğrencilerin kümesine sırasıyla
Bir Venn şeması çizelim ve kesişim kümelerinin eleman sayılarına
Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Grupta toplam 25 öğrenci vardır.
Siyah kaleme sahip öğrenci sayısı, mavi kaleme sahip öğrenci sayısı ve kırmızı kaleme sahip öğrenci sayısının toplamı 34'tür.
Bu değerleri birleşim kümesi formülünde yerine koyalım.
7 öğrencide kalemlerin en az iki farklı rengi vardır.
İki denklemi taraf tarafa çıkaralım.
Sadece iki farklı renkte kaleme sahip öğrenci sayısı
Bir çikolata firmasının iki yeni ürünü hakkında yaptığı bir araştırmada ürünler 250 katılımcıya tattırılıyor ve her bir ürünü beğenip beğenmedikleri sorusuna ayrı ayrı "Evet" ya da "Hayır" cevabı vermeleri isteniyor.
Araştırma sonuçlarında "Evet" cevaplarının sayısının "Hayır" cevaplarının sayısından 240 fazla olduğu, ayrıca en az bir ürünü beğendiğini söyleyen katılımcıların sayısının en fazla bir ürünü beğendiğini söyleyen katılımcıların sayısının iki katı olduğu görülüyor.
Buna göre sadece bir ürünü beğenen katılımcıların sayısı kaçtır?
Çözümü GösterBirinci ürünü beğenen katılımcıların kümesine
Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.
Katılımcıların toplam sayısı 250'dir.
Birinci ürünü beğenen
Birinci ürünü beğenmeyen
"Evet" cevaplarının sayısı "Hayır" cevaplarının sayısından 240 fazladır.
En az bir ürünü beğendiğini söyleyen katılımcıların sayısı, en fazla bir ürünü beğendiğini söyleyen katılımcıların sayısının iki katıdır.
Eşitliğin taraflarına
Katılımcıların toplam sayısı 250'dir.
Yukarıda bulduğumuz
Sadece bir ürünü beğenen katılımcıların sayısı
Bir öğretmen kümeler konusunu anlatırken elemanları harflerden oluşan ve eleman sayıları sırasıyla 9 ve 11 olan
Öğretmen daha sonra
Buna göre
(a) Terlik, (b) Kiremit, (c) Retina, (d) Tekerlek, (e) Terazi
Çözümü GösterVerilen seçenekleri sırayla inceleyelim.
"Terlik" kelimesinden
"Kiremit" kelimesinden
"Retina" kelimesinden
"Tekerlek" kelimesinden
(a) seçeneği için yazdıklarımız bu seçenek için de geçerlidir. Bu kelime de yazılabilir.
"Terazi" kelimesinden
Kesinlikle yazılamayacak seçenek (e) seçeneğidir.
"merak", "kameraman" ve "ekspresyon" kelimelerinden biri
Buna göre aşağıdaki kelimelerden hangisi
(a) karmaşık, (b) karnaval, (c) kışkırtma, (d) karnıyarık, (e) karanlık
Çözümü Göster"merak" kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi yazalım.
"kameraman" kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi yazalım.
"ekspresyon" kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi yazalım.
"ekspresyon" kelimesinin harflerinden oluşan küme sekiz elemanlıdır, dolayısıyla bu kelime
Kümeler sekiz elemanlı olduğuna göre,
Soruda verilen kelimeleri inceleyelim.
"karmaşık" kelimesinden
"karnaval" kelimesinden
"kışkırtma" kelimesinden
"karnıyarık" kelimesinden
"karanlık" kelimesinden
Doğru cevap (c) seçeneğidir.
Bir arkadaş grubundaki kişilerin %70'i Wordle, %50'si Sudoku oynamaktadır.
Bu grupta 14 kişi hem Wordle hem Sudoku oynadığına göre, grupta en çok kaç kişi oyunların ikisini de oynamamaktadır?
Çözümü GösterWordle oynayanların kümesine
Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.
Gruptaki toplam kişi sayısına
Verilen bilgileri denklem haline getirelim.
Soruda
Glütensiz ve vegan yemekler yapan bir restoran eve servis hizmeti de sunmaktadır. Bazı müşteriler sadece glütensiz ya da sadece vegan yemek sipariş ederken, bazıları her ikisini de sipariş etmektedir. Müşterilerin belirli bir günde verdiği siparişlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
Buna göre bu günde sipariş edilen toplam yemek sayısı kaçtır?
Çözümü GösterGlütensiz yemek sipariş eden müşterilerin kümesine
Eve servis isteyen müşterilerin kümesine
Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.
Sadece vegan yemek sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayısına
Vegan yemek sipariş edip restoranda yiyen ve sadece vegan yemek sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayıları birbirine eşittir.
Buna göre iki yemekten de sipariş edip restoranda yiyen müşteri sayısı
Glütensiz yemek sipariş edip eve servis isteyen ve sadece vegan yemek sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayıları birbirine eşittir.
Buna göre iki yemekten de sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayısı
Sadece glütensiz yemek sipariş edip restoranda yiyen müşteri sayısına
Restoranda yiyen müşteri sayısı, eve servis isteyen müşteri sayısının iki katıdır.
Soruda verilen diğer bilgileri sırasıyla denklem halinde yazalım.
Glütensiz yemek sipariş eden müşteri sayısının üç katı, vegan yemek sipariş eden müşteri sayısının beş katından 18 fazladır.
İki yemekten de sipariş eden müşteri sayısı 10'dur.
Glütensiz yemek sipariş edip restoranda yiyen müşteri sayısı 36'dır.
Son denklemde bulduğumuz
Aynı
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
Bulduğumuz
Bulduğumuz değerleri Venn şemasında yerlerine yerleştirelim.
Sipariş edilen glutensiz yemeklerin sayısını bulalım.
Sipariş edilen vegan yemeklerin sayısını bulalım.
Sipariş edilen toplam yemek sayısını bulalım.
Bir yemek yarışmasına katılan 50 yarışmacıya yapmaları için üç farklı yemek verilmiştir.
İlk yemeği yapabilen 42, ikinci yemeği yapabilen 38, üçüncü yemeği yapabilen 33 yarışmacı olduğuna göre, tüm yemekleri yapmayı başaran yarışmacı sayısı en az kaçtır?
Çözümü Göster1. Yöntem:
Tüm yemekleri yapmayı başaran yarışmacı sayısının en az olduğu durum, her bir yemeği yapamayan yarışmacıların tümünün farklı kişiler olduğu durumdur.
İlk yemeği yapamayan 8, ikinci yemeği yapamayan 12, üçüncü yemeği yapamayan 17 yarışmacı vardır.
Bu durumda en az bir yemeği yapamayan yarışmacı sayısı en fazla
Buna göre tüm yemekleri yapmayı başaran yarışmacı sayısı en az
2. Yöntem:
Yukarıdaki çözümü cebirsel olarak gösterelim.
Her bir yemeği yapabilen yarışmacıların kümesine sırasıyla
Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.
Buna göre mavi renkteki bölgeler sadece bir yemeği yapabilen yarışmacılara, turuncu renkteki bölgeler sadece iki yemeği yapabilen yarışmacılara, yeşil renkteki bölge ise üç yemeği de yapabilen yarışmacılara karşılık gelir.
Toplam 50 yarışmacı vardır.
İlk yemeği yapabilen 42 yarışmacı vardır.
İkinci yemeği yapabilen 38 yarışmacı vardır.
Üçüncü yemeği yapabilen 33 yarışmacı vardır.
Üç denklemi taraf tarafa toplayalım.
Toplam yarışmacı sayısı eşitliğini 2 ile çarpıp bu denklemden çıkaralım.
Tüm yemekleri yapmayı başaran yarışmacı sayısı (