Küme Tanımı
Tanımı net ve herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir.
Aşağıdaki tabloda her satırda bu tanımı sağlamayan ve sağlayan birer örnek verilmiştir.
| Küme Değil | Küme |
|---|---|
| Bir sınıftaki çalışkan öğrenciler | Bir sınıfta bu dönem takdir alan öğrenciler |
| Uzun boylu insanlar | Boyu 1.80 m'den uzun insanlar |
| Hızlı koşan hayvanlar | Kedigiller familyasındaki hayvanlar |
| Büyük sayılar | 7 basamaklı sayılar |
| Çok satan kitaplar | Orhan Pamuk'un kitapları |
| Türkiye'nin batısındaki şehirler | Ege Denizi'ne kıyısı olan şehirler |
Kümeler genellikle \( A \), \( B \), \( C \) gibi büyük harflerle gösterilirler. Kümelerin en sık kullanılan gösterim şeklinde, kümenin elemanları "\( \{ \} \)" parantezleri içinde ve virgülle ayrılarak listelenir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ a, b, c, d \} \)
Aşağıdaki ifadelerden hangileri birer küme belirtir?
I. Yılın "M" harfi ile başlayan ayları
II. Avrupa'da üç ülke
III. Çok gol atan futbolcular
IV. James Bond'u oynayan aktörler
V. 8000 m üzerindeki zirveler
Çözümü GösterTanımı net ve herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme denir.
I. ifade küme belirtir.
A = {Mart, Mayıs}
Hangi üç ülke olduğu belirtilmediği için II. ifade küme belirtmez.
Çok gol atma kriteri net olmadığı için III. ifade küme belirtmez.
IV. ifade küme belirtir.
B = {Sean Connery, Daniel Craig, Pierce Brosnan, ...}
Bu ifade 8000 m üzerindeki 14 zirveyi ifade ettiği için bir küme belirtir.
C = {Everest, K2, Lhotse, , ...}
Buna göre I., IV. ve V. ifadeler birer küme belirtir.
Küme Elemanları
Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanları denir. Bir elemanın bir kümeye ait olduğunu göstermek için \( \in \) sembolü, ait olmadığını göstermek için ise \( \notin \) sembolü kullanılır.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( 3 \in A, \quad 4, 5 \in A \)
\( 7 \notin A, \quad 8, 9 \notin A \)
\( \in \) sembolü kullanılırken elemanlar küme parantezi içine alınmaz, bu yüzden aşağıdaki gösterimlerdeki ayrıma dikkat edilmelidir.
\( A = \{ 1, 2, 3, \{ 4 \}, 5 \} \) olmak üzere,
\( 3 \in A, \quad \{ 3 \} \notin A \)
\( \{ 4 \} \in A, \quad 4 \notin A \)
Bir \( A \) kümesinin eleman sayısı \( s(A) \) ya da \( \abs{A} \) ile gösterilir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( s(A) = 5 \)
Bir eleman bir kümede sadece bir kez yer alabilir. Ayrıca bir kümede elemanların sıralaması önemli değildir ve sıralamanın değiştirilmesi küme tanımını değiştirmez. Buna göre aşağıdaki kümeler birbirine eşittir ve her biri üç elemanlıdır.
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 3, 2, 1 \} \)
\( C = \{ 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3 \} \)
\( A = B = C \)
\( s(A) = s(B) = s(C) = 3 \)
Bir kümenin elemanları sıralı ikililer (ya da sıralı n'liler) olabilir. Örneğin aşağıdaki kümenin elemanları birim çemberin eksenleri kestiği noktaların koordinatlarıdır.
\( A = \{ (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) \} \)
\( s(A) = 4 \)
\( (0, 1) \in A \)
Bir küme eleman olarak diğer kümeleri de içerebilir.
\( B = \{ 1, \{ 2, 3 \}, \{ 4, 5, 6 \} \} \)
\( s(B) = 3 \)
\( 1 \in B \)
\( \{ 2, 3 \} \in B \)
\( \{ 4, 5, 6 \} \in B \)
\( 2 \notin B \)
"DERSPRESSO" kelimesinin harflerinden oluşan küme kaç elemanlıdır?
Çözümü GösterBir eleman bir kümede sadece bir kez yer alabileceği için tekrar eden harfler kümede sadece bir kez bulunur.
\( \{ D, E, R, S, P, O \} \) kümesi 6 elemanlıdır.
\( A = \{1, \{2\}, 2, a, \{c, d\}, e\} \)
\( A \) kümesi için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \{1\} \in A \)
II. \( \{2\} \in A \)
III. \( a \in A \)
IV. \( \{c, d\} \in A \)
V. \( \{c\} \notin A \)
VI. \( \{a, e\} \in A \)
VII. \( 1, 2 \in A \)
Çözümü Göster\( \in \) sembolü kullanılırken elemanlar küme parantezi içine alınmaz.
\( 1 \) elemanı \( A \) kümesinin elemanı olduğu için \( 1 \in A \) yazılabilir. I. öncül yanlıştır.
\( \{2\} \) elemanı \( A \) kümesinin elemanıdır. II. öncül doğrudur.
\( a \) elemanı \( A \) kümesinin elemanıdır. III. öncül doğrudur.
\( \{c, d\} \) elemanı \( A \) kümesinin elemanıdır. IV. öncül doğrudur.
\( \{c, d\} \) elemanı \( A \) kümesinin elemanıdır, \( \{c\} \) ise değildir. V. öncül doğrudur.
\( a \) ve \( e \) elemanları \( A \) kümesinin elemanıdır, \( \{a, e\} \) ise değildir. VI. öncül yanlıştır.
\( 1 \) ve \( 2 \) elemanları \( A \) kümesinin elemanıdır. VII. öncül doğrudur.
Buna göre II., III., IV., V. ve VII. öncüller doğrudur.
Boş Küme
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Her \( x \) için, \( x \notin \emptyset \)
Boş küme, içi boş küme parantezleri ya da \( \emptyset \) sembolü ile gösterilir.
\( A = \{ \} \)
\( A = \emptyset \)
\( s(A) = 0 \)
Aşağıdaki \( B \) kümesi boş kümeyi değil, elemanı \( \emptyset \) olan tek elemanlı bir kümeyi ifade eder.
\( B = \{ \emptyset \} \)
\( s(B) = 1 \)
\( \emptyset \in B \)
\( B \ne \emptyset \)
Tek bir boş küme vardır, bunun sonucu olarak iki boş küme birbirine eşittir.
\( \emptyset_1 \) ve \( \emptyset_2 \) boş küme olan iki küme olsun.
\( \emptyset_1 \) boş küme olduğu için tüm kümelerin, dolayısıyla \( \emptyset_2 \) kümesinin bir alt kümesidir.
\( \emptyset_1 \subseteq \emptyset_2 \)
\( \emptyset_2 \) boş küme olduğu için tüm kümelerin, dolayısıyla \( \emptyset_1 \) kümesinin bir alt kümesidir.
\( \emptyset_2 \subseteq \emptyset_1 \)
Kümelerin eşitliğine göre, iki küme birbirinin alt kümesi ise bu iki küme birbirine eşittir.
\( \emptyset_1 = \emptyset_2 \)
Buna göre tek bir boş küme vardır ve boş küme olan iki küme birbirine eşittir.
Aşağıdakilerden hangileri boş kümedir?
\( A = \{ 0 \} \)
\( B = \{ \emptyset \} \)
\( C = 0 \)
\( D = \{ \} \)
\( E = \emptyset \)
Çözümü GösterBoş kümenin doğru gösterimleri \( \{ \} \) ve \( \emptyset \)'dir.
Buna göre \( D \) ve \( E \) birer boş kümedir.
\( A \) kümesinin \( 0 \) olmak üzere bir elemanı vardır.
\( B \) kümesinin \( \emptyset \) olmak üzere bir elemanı vardır.
\( C = 0 \) bir küme ifade etmez.
Aşağıdaki kümelerden hangileri boş kümedir?
\( A \): 19'a bölünen asal sayılar kümesi
\( B \): 8'e bölünen ama 4'e bölünmeyen sayılar kümesi
\( C \): Negatif asal sayılar kümesi
\( D \): 2'ye tam bölünen negatif sayılar
Çözümü Göster19 sayısının kendisi asal olduğu ve 19'a bölündüğü için \( A \) boş küme değildir.
8'e bölünen tüm sayılar 4'e de bölündüğü için \( B \) boş kümedir.
Asal sayılar sadece pozitif olduğu için \( C \) boş kümedir.
Negatif çift sayılar 2'ye bölündüğü için \( D \) boş küme değildir.
Buna göre \( B \) ve \( C \) kümeleri boş kümedir.
Evrensel Küme
Üzerinde işlem yapılan konu ya da bağlamdaki tüm kümeleri ve elemanları kapsayan kümeye evrensel küme denir ve \( E \) ile gösterilir.
Bir okuldaki öğrencilerin ilgilendikleri spor dallarını birer küme olarak göstermek istersek (futbol oynayan öğrenciler, voleybol oynayan öğrenciler vb.), evrensel küme tüm insanlar ya da öğrenciler değil, bu okuldaki öğrenciler olacaktır.
Eşit Küme
Tüm elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. Eşit kümeler "\( = \)" sembolü ile, eşit olmayan kümeler "\( \ne \)" sembolü ile gösterilir. Eşit kümelerin eleman sayıları da eşittir.
Her \( x \) için, \( x \in A \Longleftrightarrow x \in B \) ise,
\( A \) ve \( B \) eşit kümelerdir.
\( A = \{ a, b, c \} \)
\( B = \{ c, a, b \} \)
\( A = B \)
\( s(A) = s(B) = 3 \)
\( C = \{ x, y, z \} \)
\( D = \{ x, y \} \)
\( C \ne D \)
Denk Küme
Eleman sayıları eşit olan ve elemanları arasında birebir eşleşme kurulabilen kümelere denk küme denir. Denk kümelerin elemanlarının aynı olması gerekmez, eleman sayılarının eşit olması yeterlidir. Denk kümeler "\( \equiv \)" sembolü ile gösterilir.
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ a, b, c \} \)
\( A \equiv B \)
\( s(A) = s(B) = 3 \)
Eşit kümeler aynı zamanda denktir, ama denk kümeler eşit olmayabilir.
Aşağıdaki kümelerden hangileri denktir?
\( A \): \( x^2 - 1 = 0 \) denklemini sağlayan reel sayılar kümesi
\( B \): \( x^4 - 16 = 0 \) denklemini sağlayan reel sayılar kümesi
\( C = \{ -99, 99 \} \)
Çözümü GösterEleman sayıları eşit olan ve elemanları arasında birebir eşleşme kurulabilen kümelere denk küme denir.
\( A \) kümesi:
\( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0 \)
\( A = \{ -1, 1 \} \)
\( B \) kümesi:
\( x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 \)
\( (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0 \)
\( B = \{ -2, 2 \} \)
\( C \) kümesi:
\( C = \{ -99, 99 \} \)
Üç kümenin de eleman sayıları eşit olduğu için bu üç küme denk kümelerdir.
\( A \equiv B \equiv C \)
Sonlu ve Sonsuz Kümeler
Sonlu Küme
Sonlu sayıda elemana sahip olan ya da boş küme olan kümelere sonlu küme denir.
Sonlu kümelere aşağıdaki örnekler verilebilir.
\( A \): 2 basamaklı pozitif tam sayılar
\( B \): Türk alfabesindeki harfler
\( C \): Periyodik tablodaki elementler
Bir sonlu kümenin herhangi bir alt kümesi ve iki sonlu kümenin birleşim kümesi de birer sonlu kümedir.
Sonsuz Küme
Sonsuz sayıda elemana sahip olan kümelere sonsuz küme denir.
Sonsuz kümelere aşağıdaki örnekler verilebilir.
Pozitif tam sayılar kümesi:
\( \mathbb{Z^+} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \} \)
Çift sayılar kümesi:
\( A = \{ \ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots \} \)
Asal sayılar kümesi:
\( B = \{ 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \} \)
Bir sonsuz kümeyi kapsayan bir diğer küme ve iki sonsuz kümenin (örneğin tek ve çift sayılar kümelerinin) birleşim kümesi de birer sonsuz kümedir.
Aşağıdaki kümelerden hangileri sonsuz kümedir?
\( A \): \( (0, 1) \) aralığındaki reel sayıların kümesi
\( B \): \( y = 2x \) denkleminin çözüm kümesi
\( C \): Bir plajdaki kum tanelerinin kümesi
\( D \): Bir noktadan geçen doğruların kümesi
Çözümü GösterSonsuz sayıda elemana sahip olan kümelere sonsuz küme denir.
\( A \) kümesi:
\( (0, 1) \) aralığında sonsuz sayıda reel sayı olduğu için \( A \) bir sonsuz kümedir.
\( B \) kümesi:
\( y = 2x \) denklemini sağlayan sonsuz sayıda \( (x, y) \) ikilisi olduğu için \( B \) bir sonsuz kümedir.
\( B = \{ (0, 0), (1, 2), (2, 4), \ldots \} \)
\( C \) kümesi:
Tam sayısını bilemesek de bir plajda sonlu sayıda kum tanesi bulunduğu için \( C \) bir sonlu kümedir.
\( D \) kümesi:
Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçtiği için \( D \) bir sonsuz kümedir.
Buna göre \( A \), \( B \) ve \( D \) kümeleri sonsuz kümelerdir.
Sayı Kümeleri
Sayılar konusunda gördüğümüz sayı kümeleri de sonsuz birer kümedir ve her biri özel birer sembolle isimlendirilirler.
\( \mathbb{N} \): Doğal sayılar kümesi
\( \mathbb{Z} \): Tam sayılar kümesi
\( \mathbb{Z^+} \): Pozitif tam sayılar kümesi
\( \mathbb{Z^-} \): Negatif tam sayılar kümesi
\( \mathbb{Q} \): Rasyonel sayılar kümesi
\( \mathbb{Q'} \): İrrasyonel sayılar kümesi
\( \mathbb{R} \): Reel sayılar kümesi
\( \mathbb{C} \): Karmaşık sayılar kümesi
İki ya da daha fazla sayıda ardışık pozitif tam sayıdan oluşan ve elemanlarının toplamı 65 olan kaç küme yazılabilir?
Çözümü GösterKümenin eleman sayısına \( n \), en küçük elemanına \( a \) diyelim.
Kümenin elemanlarının toplamını \( n \) ve \( a \) cinsinden bulalım.
\( a + (a + 1) + \ldots + (a + n - 1) = na + \dfrac{n(n - 1)}{2} \)
\( = \dfrac{2na + n(n - 1)}{2} \)
\( = \dfrac{n(2a + n - 1)}{2} \)
Kümenin elemanlarının toplamı 65'e eşittir.
\( \dfrac{n(2a + n - 1)}{2} = 65 \)
\( n(2a + n - 1) = 130 = 2 \cdot 5 \cdot 13 \)
\( n \) ve \( a \) pozitif tam sayılar olduğuna göre, bu eşitliği sağlayan \( (n, a) \) sıralı ikililerini yazalım.
\( (n, a) \in \{ (2, 32), (5, 11), (10, 2) \} \)
Kümenin eleman sayısı iki ya da daha fazla olduğu için \( n = 1 \) olamaz. Ayrıca negatif \( a \) değeri elde edildiği için \( n \gt 10 \) olamaz.
Buna göre, istenen koşulları sağlayan 3 küme yazılabilir.
\( a = 32 \) ve \( n = 2 \) için:
\( A_1 = \{ 32, 33 \} \)
\( a = 11 \) ve \( n = 5 \) için:
\( A_2 = \{ 11, 12, 13, 14, 15 \} \)
\( a = 2 \) ve \( n = 10 \) için:
\( A_3 = \{ 2, 3, 4, \ldots, 11 \} \)