Alt Küme Sayısı
Tüm Alt Kümelerin Sayısı
Bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( n \) elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı \( = 2^n \)
\( A = \{ a, b, c, d, e \} \) kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı
\( = 2^5 = 32 \)
Bu formülün mantığı şu şekilde açıklanabilir: Herhangi bir alt kümede belirli bir eleman ya vardır ya da yoktur. Bu iki farklı durum kümenin tüm elemanlarına uygulandığında çarpma yoluyla sayma kuralı gereği ortaya çıkan farklı durum sayısı \( n \) tane \( 2 \)'nin çarpımı, yani \( 2^n \) olur.
r Elemanlı Alt Kümelerin Sayısı
Bir kümenin \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayısı kombinasyon formülü ile bulunabilir (\( n \) eleman içinden \( r \) elemanın farklı seçim sayısı).
\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayısı \( = C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\ (n - r)!} \)
\( A = \{ a, b, c, d, e \} \) kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı
\( = C(5, 3) = \dfrac{5!}{3!\ (5 - 3)!} = 10 \)
Öz Alt Küme Sayısı
Bir kümenin öz alt kümeleri kendisi dışındaki tüm alt kümelerine karşılık geldiği için, eleman sayısı \( n \) olan bir kümenin öz alt küme sayısı tüm alt küme sayısından bir eksik, yani \( 2^n - 1 \) olur.
\( n \) elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı: \( 2^n - 1 \)
\( A = \{ a, b, c, d, e \} \) kümesinin öz alt kümelerinin sayısı
\( = 2^5 - 1 = 31 \)
Bir Alt Küme Örneği
5 elemanlı bir \( A \) kümesi tanımlayalım.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( s(A) = 5 \)
Tüm alt kümelerin sayısı \( = 2^5 = 32 \)
\( A \) kümesinin bu \( 32 \) alt kümesi eleman sayılarına göre aşağıda listelenmiştir.
| Eleman Sayısı | Alt Küme Sayısı | Alt Kümeler |
|---|---|---|
| 0 elemanlı | \( C(5, 0) = 1 \) | \( \{ \} = \emptyset \) |
| 1 elemanlı | \( C(5, 1) = 5 \) | \( \{ 1 \} \), \( \{ 2 \} \), \( \{ 3 \} \), \( \{ 4 \} \), \( \{ 5 \} \) |
| 2 elemanlı | \( C(5, 2) = 10 \) | \( \{ 1, 2 \} \), \( \{ 1, 3 \} \), \( \{ 1, 4 \} \), \( \{ 1, 5 \} \), \( \{ 2, 3 \} \), \( \{ 2, 4 \} \), \( \{ 2, 5 \} \), \( \{ 3, 4 \} \), \( \{ 3, 5 \} \), \( \{ 4, 5 \} \) |
| 3 elemanlı | \( C(5, 3) = 10 \) | \( \{ 1, 2, 3 \} \), \( \{ 1, 2, 4 \} \), \( \{ 1, 2, 5 \} \), \( \{ 1, 3, 4 \} \), \( \{ 1, 3, 5 \} \), \( \{ 1, 4, 5 \} \), \( \{ 2, 3, 4 \} \), \( \{ 2, 3, 5 \} \), \( \{ 2, 4, 5 \} \), \( \{ 3, 4, 5 \} \) |
| 4 elemanlı | \( C(5, 4) = 5 \) | \( \{ 1, 2, 3, 4 \} \), \( \{ 1, 2, 3, 5 \} \), \( \{ 1, 2, 4, 5 \} \), \( \{ 1, 3, 4, 5 \} \), \( \{ 2, 3, 4, 5 \} \) |
| 5 elemanlı | \( C(5, 5) = 1 \) | \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} = A \) |
Binom açılımı konusunda göreceğimiz üzere; bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı, yukarıdaki tabloda hesapladığımız her bir \( r \) elemanlı alt kümelerin sayıları toplamına eşittir.
Tüm alt kümelerin sayısı \( = 2^5 \)
\( = C(5, 0) + C(5, 1) \) \( + C(5, 2) + C(5, 3) \) \( + C(5, 4) + C(5, 5) \)
\( = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 \)
Bu örnekte son satırdaki 5 elemanlı alt küme dışındaki tüm alt kümeler \( A \) kümesinin birer öz alt kümesidir.
\( A = \{ x \mid -8 \le x \lt -3, x \in \mathbb{Z} \} \)
kümesinin alt küme ve öz alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin elemanları aşağıdaki gibidir.
\( A = \{ -8, -7, -6, -5, -4 \} \)
\( s(A) = 5 \)
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) formülü ile bulunur.
\( A \) kümesinin alt küme sayısı \( = 2^5 = 32 \)
\( A \) kümesinin öz alt küme sayısı \( = 2^5 - 1 = 31 \)
\( A \) kümesinin alt küme sayısı 32, \( B \) kümesinin öz alt küme sayısı 255 olduğuna göre, \( s(A) + s(B) \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) formülü ile bulunur.
\( s(A) = a \) ise,
\( 2^a = 32 \)
\( a = 5 \)
\( s(B) = b \) ise,
\( 2^b - 1 = 255 \)
\( b = 8 \)
\( s(A) + s(B) = a + b = 5 + 8 = 13 \) bulunur.
Alt küme ve öz alt küme sayısının toplamı 127 olan kümenin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) formülü ile bulunur.
\( 2^n + (2^n - 1) = 127 \)
\( 2 \cdot 2^n = 128 \)
\( 2^n = 64 \)
\( n = 6 \) bulunur.
Bir kümenin eleman sayısı 3 arttırılırsa alt küme sayısı 56 artıyor. Bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.
Bu kümenin eleman sayısı 3 arttırıldığında eleman sayısı \( n + 3 \), alt küme sayısı \( 2^{n+3} \) olur.
Eleman sayısı 3 arttığında alt küme sayısı 56 artıyor.
\( 2^{n+3} = 2^n + 56 \)
\( 2^n \cdot 2^3 - 2^n = 56 \)
\( 7 \cdot 2^n = 56 \)
\( n = 3 \) bulunur.
Bir kümenin eleman sayısı 2 arttırılırsa alt küme sayısı 96 arttığına göre, bu kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.
Bu kümenin eleman sayısı 2 arttırıldığında eleman sayısı \( n + 2 \), alt küme sayısı \( 2^{n+2} \) olur.
Eleman sayısı 2 arttığında alt küme sayısı 96 artıyor.
\( 2^{n + 2} = 2^n + 96 \)
\( 2^n \cdot 2^2 - 2^n = 96 \)
\( 3 \cdot 2^n = 96 \)
\( n = 5 \)
\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısı \( C(n, r) \) formülü ile bulunur.
\( C(5, 2) = \dfrac{5!}{2!\ (5 - 2)!} = 10 \) bulunur.
\( A \) kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı ile 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı eşit olduğuna göre, \( A \) kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısı \( C(n, r) \) formülü ile bulunur.
\( C(a, 6) = C(a, 5) \)
Kombinasyon kurallarına göre bu eşitlik \( a = 6 + 5 = 11 \) olduğunda sağlanır.
\( A \) kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı:
\( C(11, 2) = \dfrac{11!}{2!\ (11 - 2)!} = 55 \) bulunur.
\( M = \{ a, b, c, d, e, f \} \) kümesinin en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısı \( C(n, r) \) formülü ile bulunur.
6 elemanlı \( M \) kümesinin en az 4 elemanlı alt kümeleri, 4, 5 ve 6 elemanlı alt kümelerinden oluşur.
\( C(6, 4) + C(6, 5) + C(6, 6) \)
\( = \dfrac{6!}{4!\ (6 - 4)!} + \dfrac{6!}{5!\ (6 - 5)!} + \dfrac{6!}{6!\ (6 - 6)!} \)
\( = 15 + 6 + 1 = 22 \) bulunur.
Öz alt kümelerinin sayısı \( 2a + 5 \) olan bir kümenin eleman sayısı 1 azaltıldığında alt küme sayısı \( a \) cinsinden ne kadar azalır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \), öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) formülü ile bulunur.
\( 2^n - 1 = 2a + 5 \)
\( 2^n = 2a + 6 \)
Bu kümenin eleman sayısı 1 azaltıldığında eleman sayısı \( n - 1 \), alt küme sayısı \( 2^{n-1} \) olur.
Eleman sayısı 1 azaldığında alt küme sayısındaki değişimi bulalım.
\( 2^n - 2^{n - 1} = \dfrac{1}{2} \cdot 2^n \)
\( = \dfrac{2a + 6}{2} = a + 3 \) bulunur.
\( A = \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, \abs{x - 1} \le 3 \} \)
\( B = \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, \abs{x + 1} \lt 3 \} \)
olduğuna göre, \( A - B \) kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin elemanlarını listeleyelim.
\( A = \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, \abs{x - 1} \le 3 \} \)
\( -3 \le x - 1 \le 3 \)
\( -2 \le x \le 4\)
\( A = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B \) kümesinin elemanlarını listeleyelim.
\( B = \{ x \mid x \in \mathbb{Z}, \abs{x + 1} \lt 3 \} \)
\( -3 \lt x + 1 \lt 3 \)
\( -4 \lt x \lt 2 \)
\( B = \{ -3, -2, -1, 0, 1 \} \)
\( A - B = \{ 2, 3, 4 \} \)
\( s(A - B) = 3 \)
\( n \) elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.
\( 2^3 = 8 \) bulunur.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanlarının çarpımı tek sayıdır?
Çözümü Göster\( n \) sayının çarpımının tek sayı olması için sayıların tümü tek sayı olmalıdır.
Buna göre \( \{ 1, 3, 5, 7 \} \) kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmamız yeterlidir.
\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt küme sayısı \( C(n, r) \) formülü ile bulunur.
\( C(4, 3) = \dfrac{4!}{3!\ (4 - 3)!} = 4 \) bulunur.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 4 eleman olarak bulunur?
Çözümü Göster2 veya 4 elemanını içeren alt kümeleri, tüm alt kümelerden 2 ve 4 elemanlarının ikisini de içermeyen alt kümeleri çıkararak bulabiliriz.
2 veya 4 elemanını içeren alt kümelerin sayısı = (Tüm alt kümelerin sayısı) - (2 ve 4 elemanlarının ikisini de içermeyen alt kümelerin sayısı)
\( A \) kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı \( 2^6 = 64 \) olur.
2 ve 4 elemanlarının ikisini de içermeyen alt küme sayısı \( B = \{ 1, 3, 5, 6 \} \) kümesinin alt küme sayısına eşit olduğundan \( 2^4 = 16 \) olur.
Buna göre, \( A \) kümesinin 2 veya 4 elemanını içeren alt kümelerin sayısı \( 64 - 16 = 48 \) olarak bulunur.
\( A = \{ a, b, c, d, e \} \) kümesinin alt kümelerinin kaçında \( d \) elemanı bulunur ve \( a \) elemanı bulunmaz?
Çözümü Göster\( \{ b, c, e \} \) kümesinin \( 2^3 = 8 \) alt kümesi vardır ve bu kümelerde \( a \) ve \( d \) elemanları bulunmaz.
Bu alt kümelerin her birine \( d \) elemanı eklenirse \( d \) elemanı içeren, ama \( a \) elemanı içermeyen alt kümeler elde edilir.
Buna göre istenen koşulu sağlayan alt küme sayısı 8 olur.
\( A = \{ a, b, c, d, e, f, g \} \) kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde \( b \) ve \( c \) eleman olarak bulunur ama \( f \) bulunmaz?
Çözümü Göster\( A \) kümesinden \( b \), \( c \) ve \( f \) elemanlarını çıkardığımızda aşağıdaki küme oluşur.
\( A' = \{ a, d, e, g \} \)
Bu kümenin alt küme sayısı \( 2^4 = 16 \) olup bu alt kümelerin hiçbirinde \( b \), \( c \) ve \( f \) elemanları bulunmaz.
Bu 16 alt kümenin her birine \( b \) ve \( c \) elemanlarını eklediğimizde \( b \) ve \( c \) elemanlarını içeren ama \( f \) elemanını içermeyen birer küme elde etmiş oluruz.
Buna göre alt kümelerin 16'sında \( b \) ve \( c \) elemanları bulunur ama \( f \) elemanı bulunmaz.
\( A = \{1, 2\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
olmak üzere, \( A \subseteq K \subset B \) koşulunu sağlayan kaç farklı \( K \) kümesi yazılabilir?
Çözümü Göster\( A \subseteq K \) olduğu için \( K \) kümesinde \( \{1, 2\} \) elemanları bulunmalıdır.
\( K \subset B \) olduğu için \( \{3, 4, 5, 6\} \) kümesinin boş küme dahil ve kendisi hariç tüm alt (öz alt) kümelerinin yanına \( \{1, 2\} \) elemanlarını ekleyerek istenen koşulu sağlayan kümeler oluşturulabilir.
\( n \) elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı \( 2^n - 1 \) formülü ile bulunur, dolayısıyla \( \{3, 4, 5, 6\} \) kümesinin elemanları ile \( 2^4 - 1 = 15 \) farklı küme yazılabilir.
Bu 15 alt kümeye \( \{1, 2\} \) elemanlarının eklenmesiyle istenen koşulu sağlayan 15 alt küme elde edilir.
Buna göre, istenen koşulu sağlayan 15 farklı \( K \) kümesi yazılabilir.
\( A \) kümesinin alt kümelerinin sayısı \( B \) kümesinin alt kümelerinin sayısının 8 katıdır.
\( A \cup B \) kümesinin eleman sayısı 11 olduğuna göre, \( A \cap B \) kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.
\( 2^{s(A)} = 8 \cdot 2^{s(B)} \)
\( 2^{s(A)} = 2^{s(B) + 3} \)
\( s(A) = s(B) + 3 \)
Kesişim kümesinin eleman sayısının en az (sıfır) olduğu durum kümelerin ayrık olduğu durumdur.
Kesişim kümesinin eleman sayısının en çok olduğu durum ise daha az elemanlı \( B \) kümesinin \( A \)'nın alt kümesi olduğu durumdur.
Buna göre \( B \) kümesinin \( A \)'nın alt kümesi olduğu, yani iki kümenin birleşim kümesinin \( A \) kümesi olduğu durumu dikkate alalım.
\( s(A) = s(A \cup B) = 11 \)
\( s(B) = s(A) - 3 = 8 \)
İki kümenin kesişim kümesi \( B \) kümesidir.
\( s(A \cap B) = s(B) = 8 \)
\( a, b, c, d, e \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( A = \{ a, b, c, d, e \} \) kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin her birinin elemanlarının toplamı 30, 28, 43, 34 ve 25 olarak veriliyor.
Buna göre \( A \) kümesinin elemanlarının en büyüğü ile en küçüğünün çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster4 elemanlı alt kümelerin elemanlarının toplamını yazalım.
\( a + b + c + d = 30 \)
\( a + b + c + e = 28 \)
\( a + b + d + e = 43 \)
\( a + c + d + e = 34 \)
\( b + c + d + e = 25 \)
Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( 4(a + b + c + d + e) = 160 \)
\( a + b + c + d + e = 40 \)
Yukarıdaki eşitliklerin her birini bu denklemde yerine koyarsak sırayla bilinmeyen sayıların değerlerini buluruz.
\( a = 15, b = 6, c = -3, d = 12, e = 10 \)
En büyük ve en küçük elemanların çarpımını bulalım.
\( 15 \cdot (-3) = -45 \) bulunur.
\( X \subset \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) olmak üzere, \( X \) kümesinin içinde 3 veya 5 elemanı bulunan kaç alt kümesi vardır?
Çözümü Göster\( \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin \( 2^6 = 64 \) alt kümesi vardır.
\( 3 \) ve \( 5 \) elemanlarını hariç tutarsak \( \{ 1, 2, 4, 6 \} \) kümesinin \( 2^4 = 16 \) alt kümesi vardır.
Buna göre \( \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin alt kümelerinden \( 16 \) tanesi \( 3 \) ve \( 5 \) elemanlarını içermez, \( 64 - 16 = 48 \) tanesi iki elemandan en az birini içerir.
\( X \) kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin bir öz alt kümesi olduğu için bu kümeye eşit olamaz, dolayısıyla istenen koşulu sağlayan alt küme sayısı \( 48 - 1 = 47 \) olarak bulunur.
\( A = \{20, 21, 22, \ldots, 60\} \) kümesinin alt kümelerinden kaçının elemanları toplamı 1590'dır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin elemanlarının toplamını bulalım.
\( 20 + 21 + 22 \ldots + 60 = \dfrac{60 \cdot 61}{2} - \dfrac{19 \cdot 20}{2} \)
\( = 1830 - 190 = 1640 \)
Kümenin elemanları toplamından alt kümenin elemanları toplamını çıkaralım.
\( 1640 - 1590 = 50 \)
Elemanları toplamı 50 olan alt kümeleri yazalım.
\( \{50\}, \{20, 30\}, \{21, 29\}, \{22, 28\}, \{23, 27\}, \{24, 26\} \)
Elemanları toplamı 1590 olan alt kümeler, bu alt kümeleri \( A \) kümesine tamamlayan alt kümelerdir, dolayısıyla sayıları 6'dır.
Buna göre, \( A \) kümesinin alt kümelerinden 6 tanesinin elemanları toplamı 1590'dır.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesi veriliyor.
Ali \( A \) kümesinin boş küme hariç tüm alt kümelerini listeliyor ve her alt kümenin en küçük elemanını not ediyor.
Buna göre, Ali'nin not ettiği sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin boş küme dahil \( 2^6 = 64 \) tane alt kümesi vardır.
Bu 64 alt kümeden \( 2^5 = 32 \) tanesi "1" elemanını içermez, diğer 32 tanesi içerir. "1" elemanını içeren bu 32 alt kümenin en küçük elemanı "1" olur.
"1" elemanını içermeyen 32 alt kümeden \( 2^4 = 16 \) tanesi "2" elemanını içermez, diğer 16 tanesi içerir. "2" elemanını içeren bu 16 alt kümenin en küçük elemanı "2" olur.
"1" ve "2" elemanlarını içermeyen 16 alt kümeden \( 2^3 = 8 \) tanesi "3" elemanını içermez, diğer 8 tanesi içerir. "3" elemanını içeren bu 8 alt kümenin en küçük elemanı "3" olur.
Bu işlemi tekrarladığımızda en küçük elemanı "4" olan 4 alt küme, "5" olan 2 alt küme ve "6" olan 1 alt küme olduğunu buluruz.
Ali'nin not ettiği sayıların toplamını bulalım.
\( 1 \cdot 32 + 2 \cdot 16 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 120 \) bulunur.
\( K = \{x \mid -4 \le x \lt 3, x \in \mathbb{Z}\} \)
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir tek sayı bulunur?
Çözümü Göster\( K \) kümesinin elemanlarını listeleyelim.
\( K = \{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 \} \)
\( K \) kümesinin 3 elemanlı ve en az bir tek sayı içeren alt kümelerinin sayısı, 3 elemanlı tüm alt kümelerinin sayısı ile 3 elemanlı ve tüm elemanları çift sayı olan alt kümelerinin sayısının farkına eşittir.
\( K \) kümesinin 3 elemanlı tüm alt kümelerinin sayısı \( C(7, 3) = 35 \)'tir.
\( K \) kümesinin 3 elemanlı tüm elemanları çift sayı olan alt kümelerinin sayısı; \( \{-4, -2, 0, 2\} \) elemanları ile yazılabilecek 3 elemanlı alt küme sayısına, yani \( C(4, 3) = 4 \)'e eşittir.
Buna göre, \( K \) kümesinin 3 elemanlı ve en az bir tek sayı içeren alt kümelerinin sayısı \( 35 - 4 = 31 \) olarak bulunur.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin tüm alt kümelerindeki elemanların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin 1 elemanını içermeyen \( 2^{n - 1} = 2^5 = 32 \) alt kümesi vardır.
Toplam alt küme sayısı \( 2^6 = 64 \) olduğuna göre, 1 elemanını içeren \( 64 - 32 = 32 \) alt küme vardır.
Bu durum diğer tüm elemanlar için de geçerli olduğu için, alt kümelerin tümü yan yana dizildiğinde her elemandan 32'şer tane bulunur.
Buna göre tüm alt kümelerdeki elemanların toplamı \( 32(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 672 \) olur.
Elemanları tam sayı olan 5 elemanlı bir \( A \) kümesinin tüm iki elemanlı alt kümelerinin elemanları birbiri ile çarpıldığında aşağıdaki değerler elde ediliyor.
\( -16, -14, -10, -6, 15, 21, 24, 35, 40, 56 \)
Buna göre \( A \) kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterListedeki negatif sonuçların ortak çarpanı 2 olduğu için -2 \( A \) kümesinin bir elemanı olmalıdır.
Bu dört negatif çarpımı -2'ye böldüğümüzde diğer elemanları \( 3, 5, 7, 8 \) olarak buluruz.
\( A = \{ -2, 3, 5, 7, 8 \} \)
\( A \) kümesinin elemanları toplamı \( -2 + 3 + 5 + 7 + 8 = 21 \) olarak bulunur.
\( S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \) kümesinin alt kümelerinden kaçının en küçük elemanı bir asal sayıdır?
Çözümü Göster\( S \) kümesindeki asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir.
Alt kümenin en küçük elemanının bu 4 sayıdan biri olduğu dört durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: En küçük eleman 2
2'den daha büyük elemanlardan oluşan \( \{ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \) kümesinin tüm alt kümelerine 2 elemanı eklediğimizde istenen koşul sağlanır.
\( 2^8 = 256 \) alt küme
Durum 2: En küçük eleman 3
3'ten daha büyük elemanlardan oluşan \( \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \) kümesinin tüm alt kümelerine 3 elemanı eklediğimizde istenen koşul sağlanır.
\( 2^7 = 128 \) alt küme
Durum 3: En küçük eleman 5
5'ten daha büyük elemanlardan oluşan \( \{ 6, 7, 8, 9, 10 \} \) kümesinin tüm alt kümelerine 5 elemanı eklediğimizde istenen koşul sağlanır.
\( 2^5 = 32 \) alt küme
Durum 4: En küçük eleman 7
7'den daha büyük elemanlardan oluşan \( \{ 8, 9, 10 \} \) kümesinin tüm alt kümelerine 7 elemanı eklediğimizde istenen koşul sağlanır.
\( 2^3 = 8 \) alt küme
Bulduğumuz alt küme sayılarının toplamını alalım.
\( 256 + 128 + 32 + 8 = 424 \) bulunur.