Ancak ve Ancak Bağlacı
\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye çift yönlü koşullu önerme ya da "\( p \) ancak ve ancak \( q \)" önermesi denir ve "\( p \Leftrightarrow q \)" şeklinde gösterilir.
\( p \Leftrightarrow q \) bileşik önermesi; bileşeni olan önermeler birbirine denk iken doğru, aksi takdirde yanlış olur.
\( p \Leftrightarrow q \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Leftrightarrow q \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi, her iki önermeden diğerine koşullu önermeler birlikte doğru olduğunda doğru olur.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Leftrightarrow q \) | \( p \Rightarrow q \) | \( q \Rightarrow p \) | \( (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi aynı zamanda iki önermenin birlikte doğru ya da birlikte yanlış olması anlamına gelir. Buna göre, çift yönlü koşullu önerme iki önermenin denkliği (\( p \equiv q \)) olarak da yorumlanabilir.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \land q) \lor (p' \land q') \)
İSPATI GÖSTER
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi, her iki önermeden diğerine koşullu önermeler birlikte doğru olduğunda doğru olur.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
Parantez içindeki "ise" önermelerini "veya" önermeleri şeklinde yazalım.
\( \equiv (p' \lor q) \land (q' \lor p) \)
"Ve" işleminin "veya" işlemi üzerindeki soldan dağılma özelliğini kullanarak birinci parantezi ikinci paranteze dağıtalım.
\( \equiv [(p' \lor q) \land q')] \lor [(p' \lor q) \land p)] \)
"Ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv [(p' \land q') \lor (q \land q')] \lor [(p' \land p) \lor (q \land p)] \)
\( \equiv [(p' \land q') \lor 0] \lor [0 \lor (q \land p)] \)
\( \equiv (p' \land q') \lor (q \land p) \)
"Ve" ve "veya" işlemlerinin değişme özelliği vardır.
\( \equiv (p \land q) \lor (p' \land q') \)
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi iki önermenin değilleri arasındaki çift yönlü koşullu önermeye denktir.
\( p \Leftrightarrow q \equiv p' \Leftrightarrow q' \)
İSPATI GÖSTER
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi, her iki önermeden diğerine koşullu önermeler birlikte doğru olduğunda doğru olur.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
Parantez içindeki "ise" önermelerinin karşıt terslerini yazalım.
\( \equiv (q' \Rightarrow p') \land (p' \Rightarrow q') \)
"Ve" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \equiv (p' \Rightarrow q') \land (q' \Rightarrow p') \)
Bu ifade \( p' \) ve \( q' \) önermeleri arasındaki "ancak ve ancak" işleminin tanımıdır.
\( \equiv (p' \Leftrightarrow q') \)
Yukarıdaki denklikteki "ise" bağlaçlarını "veya" bağlacı olarak yazdığımızda "\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi için üçüncü bir özdeşlik elde ederiz.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p' \lor q) \land (q' \lor p) \)
Ancak ve Ancak Bağlacının Değili
"Ancak ve ancak" bileşik önermesinin değilini aşağıdaki şekillerde yazabiliriz.
\( (p \Leftrightarrow q)' \equiv p' \Leftrightarrow q \equiv p \Leftrightarrow q' \)
\( p \Leftrightarrow q \): Yanıma şemsiye alırım, ancak ve ancak yağmur yağıyorsa.
Aşağıdaki iki bileşik önerme yukarıdaki önermenin değilidir.
\( p' \Leftrightarrow q \): Yanıma şemsiye almam, ancak ve ancak yağmur yağıyorsa.
\( p \Leftrightarrow q' \): Yanıma şemsiye alırım, ancak ve ancak yağmur yağmıyorsa.
İSPATI GÖSTER
"\( p \Leftrightarrow q \)" önermesi, her iki önermeden diğerine koşullu önermeler birlikte doğru olduğunda doğru olur.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
"İse" bağlaçlarını "veya" bağlacı şeklinde yazalım.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p' \lor q) \land (q' \lor p) \)
Denkliğin iki tarafının değilini alalım.
\( (p \Leftrightarrow q)' \equiv [(p' \lor q) \land (q' \lor p)]' \)
De Morgan kuralını kullanalım.
\( \equiv (p' \lor q)' \lor (q' \lor p)' \)
Tekrar De Morgan kuralını kullanalım.
\( \equiv (p \land q') \lor (q \land p') \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerindeki soldan dağılma özelliğini kullanarak birinci parantezi ikinci paranteze dağıtalım.
\( \equiv [(p \land q') \lor q)] \land [(p \land q') \lor p')] \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv [(p \lor q) \land (q' \lor q)] \land [(p \lor p') \land (q' \lor p')] \)
\( \equiv [(p \lor q) \land 1] \land [1 \land (q' \lor p')] \)
\( \equiv (p \lor q) \land (q' \lor p') \)
"Veya" işlemini "ise" işlemi şeklinde yazalım.
\( \equiv (p' \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p') \)
Bu ifade \( p' \) ve \( q \) önermeleri arasındaki "ancak ve ancak" işleminin tanımıdır.
\( \equiv p' \Leftrightarrow q \)
"Ancak ve ancak" önermesinin değili olan ifadelerden birini bulmuş olduk. Diğer ifadeyi de bulmak için yukarıda elde ettiğimiz satırdan işleme devam edelim.
\( \equiv (p \lor q) \land (q' \lor p') \)
"Veya" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \equiv (q \lor p) \land (p' \lor q') \)
"Veya" işlemini "ise" işlemi şeklinde yazalım.
\( \equiv (q' \Rightarrow p) \land (p \Rightarrow q') \)
Bu ifade \( p \) ve \( q' \) önermeleri arasındaki "ancak ve ancak" işleminin tanımıdır.
\( \equiv p \Leftrightarrow q' \)
"Ancak ve ancak" bileşik önermesinin değilini alternatif olarak aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.
\( (p \Leftrightarrow q)' \equiv (p \land q') \lor (q \land p') \)
\( p \Leftrightarrow q \): Yanıma şemsiye alırım, ancak ve ancak yağmur yağıyorsa.
Aşağıdaki bileşik önerme yukarıdaki önermenin değilidir.
\( (p \land q') \lor (q \land p') \): (Yanıma şemsiye alırım ve yağmur yağmaz) veya (Yanıma şemsiye almam ve yağmur yağar.)
İSPATI GÖSTER
"Ancak ve ancak" bileşik önermesinin "ve" ve "veya" önermeleri cinsinden denk olduğu önermeyi yazalım.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p' \lor q) \land (q' \lor p) \)
Bileşik önermenin değilini alalım.
\( (p \Leftrightarrow q)' \equiv [(p' \lor q) \land (q' \lor p)]' \)
\( \equiv (p' \lor q)' \lor (q' \lor p)' \)
\( \equiv (p \land q') \lor (q \land p') \)
Ancak ve Ancak Bağlacı İşlem Özellikleri
"Ancak ve ancak" işleminin değişme özelliği vardır.
\( p \Leftrightarrow q \equiv q \Leftrightarrow p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ancak ve ancak" işleminin değişme özelliği vardır.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Leftrightarrow q \) | \( q \Leftrightarrow p \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
"Ancak ve ancak" işleminin birleşme özelliği vardır.
\( p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r) \equiv (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow r \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ancak ve ancak" işleminin birleşme özelliği vardır.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \Leftrightarrow q \) | \( q \Leftrightarrow r \) | \( (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow r \) | \( p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
"Ancak ve ancak" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
\( p \Leftrightarrow (q \land r) \not\equiv (p \Leftrightarrow q) \land (p \Leftrightarrow r) \)
\( (p \land q) \Leftrightarrow r \not\equiv (p \Leftrightarrow r) \land (q \Leftrightarrow r) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edilmediği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olmadığı görülebilir.
Buna göre "ancak ve ancak" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği yoktur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( q \land r \) | \( p \Leftrightarrow q \) | \( p \Leftrightarrow r \) | \( p \Leftrightarrow (q \land r) \) | \( (p \Leftrightarrow q) \land (p \Leftrightarrow r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edilmediği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olmadığı görülebilir.
Buna göre "ancak ve ancak" işleminin "ve" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği yoktur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \land q \) | \( p \Leftrightarrow r \) | \( q \Leftrightarrow r \) | \( (p \land q) \Leftrightarrow r \) | \( (p \Leftrightarrow r) \land (q \Leftrightarrow r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
"Ancak ve ancak" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
\( p \Leftrightarrow (q \lor r) \not\equiv (p \Leftrightarrow q) \lor (p \Leftrightarrow r) \)
\( (p \lor q) \Leftrightarrow r \not\equiv (p \Leftrightarrow r) \lor (q \Leftrightarrow r) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edilmediği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olmadığı görülebilir.
Buna göre "ancak ve ancak" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği yoktur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( q \lor r \) | \( p \Leftrightarrow q \) | \( p \Leftrightarrow r \) | \( p \Leftrightarrow (q \lor r) \) | \( (p \Leftrightarrow q) \lor (p \Leftrightarrow r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edilmediği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olmadığı görülebilir.
Buna göre "ancak ve ancak" işleminin "veya" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği yoktur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \lor q \) | \( p \Leftrightarrow r \) | \( q \Leftrightarrow r \) | \( (p \lor q) \Leftrightarrow r \) | \( (p \Leftrightarrow r) \lor (q \Leftrightarrow r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
"Ancak ve ancak" işleminin birim (etkisiz) elemanı 1'dir.
\( p \Leftrightarrow 1 \equiv 1 \Leftrightarrow p \equiv p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "ancak ve ancak" işleminin birim (etkisiz) elemanı 1'dir.
| \( p \) | \( 1 \) | \( p \Leftrightarrow 1 \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
Ancak ve Ancak Bağlacı İşlem Kuralları
"Ancak ve ancak" bağlacı ile ilgili bazı özdeşlikler aşağıdaki gibidir.
\( p \Leftrightarrow p \equiv 1 \)
\( p \Leftrightarrow p' \equiv 0 \)
\( p \Leftrightarrow 1 \equiv p \)
\( p \Leftrightarrow 0 \equiv p' \)
\( (8 \ge 3) \Leftrightarrow (-4 \gt -1)' \)
bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster"\( 8 \ge 3 \)" önermesi doğrudur.
"\( -4 \gt -1 \)" önermesi yanlıştır.
\( (8 \ge 3) \Leftrightarrow (-4 \gt -1)'\equiv (1 \Leftrightarrow 0') \)
\( \equiv 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1 \)
I. \( p \Leftrightarrow p \equiv 0 \)
II. \( p \Leftrightarrow 1 \equiv p \)
III. \( 0 \Leftrightarrow p' \equiv p \)
denkliklerinden hangileri doğrudur?
Çözümü GösterÇift yönlü bileşik önerme, önermeler birbirine denk iken doğru olduğu için \( p \Leftrightarrow p \equiv 1 \) olmalıdır. I. öncül yanlıştır.
Çift yönlü bileşik önerme özdeşliklerine göre II. öncül doğrudur.
\( 0 \Leftrightarrow p' \equiv 1 \Leftrightarrow p \equiv p \)
Çift yönlü bileşik önerme özdeşliklerine göre III. öncül doğrudur.
Buna göre II. ve III. öncüller doğrudur.
\( (p \Leftrightarrow 1) \Leftrightarrow (p \Leftrightarrow 0) \) önermesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( (p \Leftrightarrow 1) \Leftrightarrow (p \Leftrightarrow 0) \)
"Ancak ve ancak" işlemine ait özdeşlikleri kullanalım.
\( \equiv p \Leftrightarrow p' \)
\( \equiv 0 \)
\( (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (p \lor p') \equiv 0 \) olduğuna göre, \( p \) ve \( q \) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
(a) \( p \lor q \equiv 0 \)
(b) \( p \land q \equiv 0 \)
(c) \( p' \lor q' \equiv 0 \)
(d) \( q \Rightarrow p \equiv 0 \)
(e) \( p \Leftrightarrow q \equiv 1 \)
Çözümü Göster\( (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (p \lor p') \equiv 0 \)
\( (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow 1 \equiv 0 \)
Denkliğin sol tarafının yanlış olması için "ancak ve ancak" bileşik önermesinin birinci bileşeni yanlış olmalıdır.
\( p \Rightarrow q \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \equiv 1, \quad q \equiv 0 \)
Bu doğruluk değerlerine göre işlem sonucu doğru verilen seçenek (b) olur.
\( p' \Rightarrow (q \Leftrightarrow p) \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki önermelerin hangisinin doğruluk değeri 1'dir?
(a) \( q \Rightarrow p \)
(b) \( p \land q \)
(c) \( p \Leftrightarrow q \)
(d) \( q' \Leftrightarrow p \)
(e) \( p' \veebar q \)
Çözümü Göster"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p' \equiv 1, \quad p \equiv 0 \)
\( q \Leftrightarrow p \equiv q \Leftrightarrow 0 \equiv 0 \)
\( q \equiv 1 \)
\( p \equiv 0 \) ve \(q \equiv 1 \) değerleri için doğruluk değeri 1 olan seçenek (d) olur.
Aşağıdaki ifadelerden hangileri yanlıştır?
I. \( p \lor 0 \equiv 0 \)
II. \( q \land 1 \equiv 1 \)
III. \( p \land 0 \equiv 1' \)
IV. \( p \lor 1 \equiv 1 \)
V. \( p \Rightarrow q \equiv p \lor q' \)
VI. \( p' \Leftrightarrow (p')' \equiv 1 \)
Çözümü GösterI. önerme yanlıştır (\( p \lor 0 \equiv p \)).
II. önerme yanlıştır (\( q \land 1 \equiv q \)).
III. önerme doğrudur (\( p \land 0 \equiv 0 \equiv 1' \)).
IV. önerme doğrudur (\( p \lor 1 \equiv 1\)).
V. önerme yanlıştır (\( p \Rightarrow q \equiv p' \lor q \)).
VI. önerme yanlıştır (\( p' \Leftrightarrow p \equiv 0 \)).
Buna göre I., II., V. ve VI. önermeler yanlıştır.
Aşağıdaki tabloda bazı önermelerin doğruluk değerleri \( a, b, c, d, e, f \) değişkenleri cinsinden verilmiştir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q' \) | \( p \Leftrightarrow q' \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( \sqrt{a} - 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( b + 4 \) | \( 5 - e \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( c - 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( d + 4 \) | \( \frac{f}{4} \) |
Buna göre \( a + b + c + d + e + f \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen tablodaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini yazalım.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q' \) | \( p \Leftrightarrow q' \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
Bulduğumuz doğruluk değerlerini soruda verilen ifadelere eşitleyelim.
\( \sqrt{a} - 1 = 0 \Longrightarrow a = 1 \)
\( b + 4 = 1 \Longrightarrow b = -3 \)
\( c - 1 = 1 \Longrightarrow c = 2 \)
\( d + 4 = 1 \Longrightarrow d = -3 \)
\( 5 - e = 1 \Longrightarrow e = 4 \)
\( \frac{f}{4} = 0 \Longrightarrow f = 0 \)
Buna göre \( a + b + c + d + e + f = 1 \) bulunur.
\( q \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow (\ldots (q \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow q)))) \)
bileşik önermesi 703 tane \( q \) önermesi içerdiğine göre, önermenin sonucu nedir?
Çözümü GösterEn içteki önermenin değerini bulalım.
\( (q \Leftrightarrow q) \equiv 1 \)
Bir dıştaki önermenin değerini bulalım.
\( [q \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow q)] \equiv (q \Leftrightarrow 1) \equiv q \)
Bir dıştaki önermenin değerini bulalım.
\( [q \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow q))] \equiv (q \Leftrightarrow q) \equiv 1 \)
Görülebileceği üzere, çift sayıda \( q \) önermesi içeren bileşik önermelerde sonuç \( 1 \), tek sayıda \( q \) önermesi içeren bileşik önermelerde sonuç \( q \) olmaktadır.
Verilen bileşik önerme 703 tane \( q \) önermesi içerdiği için sonucu \( q \) olur.
\( p \Leftrightarrow q' \equiv 1 \) ve \( q \Leftrightarrow r \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
(a) \( p \lor r \)
(b) \( p' \land r \)
(c) \( p \Leftrightarrow r \)
(d) \( p \Rightarrow q \)
(e) \( q' \Rightarrow r' \)
Çözümü GösterVerilen çift yönlü koşullu önermelere göre iki olasılık vardır. \( p \equiv 1 \) ve \( p \equiv 0 \) olasılıklarının her biri için diğer önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.
\( p \equiv 1 \) ise \( q \equiv 0, r \equiv 1 \)
\( p \equiv 0 \) ise \( q \equiv 1, r \equiv 0 \)
Her iki durumda da doğru olan seçenek (c)'dir.
\( p' \Leftrightarrow q' \) ve \( p \Leftrightarrow q \) önermelerinin denk olduğunu doğruluk tablosu kullanmadan gösterin.
Çözümü GösterÇift yönlü bileşik önermeyi iki koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p' \Leftrightarrow q' \equiv (p' \Rightarrow q') \land (q' \Rightarrow p') \)
"İse" önermelerini "veya" önermeleri şeklinde yazalım.
\( \equiv ((p')' \lor q') \land ((q')' \lor p') \)
\( \equiv (p \lor q') \land (q \lor p') \)
"Veya" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \equiv (q' \lor p) \land (p' \lor q) \)
"Veya" önermelerini "ise" önermeleri şeklinde yazalım.
\( \equiv (q \Rightarrow p) \land (p \Rightarrow q) \)
"Ve" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
Bu ifade "ancak ve ancak" önermesine denktir.
\( \equiv p \Leftrightarrow q \)
Çift Yönlü Gerektirme
Doğruluk değeri 1 olan çift yönlü koşullu önermeye çift yönlü gerektirme denir.
\( p \Leftrightarrow q \equiv 1 \) ise,
Bu çift yönlü koşullu önerme bir çift yönlü gerektirmedir.
\( x \) çift sayıdır, ancak ve ancak \( x + 2 \) çift sayı ise.
\( 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1 \) ya da \( 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1 \)
Bir \( p \Leftrightarrow q \) çift yönlü koşullu önermesinde her iki önerme de diğeri için yeterli ve gerekli birer koşuldur.
\( p: x = 1 \)
\( q: x^2 = 1 \)
\( r: x^3 = 1 \)
önermelerine göre aşağıdakilerden hangileri çift yönlü gerektirmedir?
I. \( p \Leftrightarrow r \)
II. \( p \Leftrightarrow q \)
III. \( q \Leftrightarrow r \)
Çözümü GösterI. önerme \( x \)'in her değeri için doğru olduğu için bir çift yönlü gerektirmedir.
II. önerme \( x = -1 \) için yanlıştır, dolayısıyla bir çift yönlü gerektirme değildir.
III. önerme \( x = -1 \) için yanlıştır, dolayısıyla bir çift yönlü gerektirme değildir.
Buna göre sadece I. önerme bir çift yönlü gerektirmedir.
\( r \Leftrightarrow (p \land q) \) önermesi çift yönlü gerektirmedir.
Buna göre, kaç farklı \( (p, q, r) \) sıralı üçlüsü vardır?
Çözümü GösterDoğruluk değeri 1 olan çift yönlü koşullu önermeye çift yönlü gerektirme denir.
\( r \Leftrightarrow (p \land q) \equiv 1 \)
Bir çift yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri 1 ise bileşeni olan önermelerin ya ikisi de doğrudur ya da ikisi de yanlıştır.
\( r \equiv 1 \) için:
\( p \land q \equiv 1 \)
\( p \equiv 1, \quad q \equiv 1 \)
\( (p, q, r) = (1, 1, 1) \)
\( r \equiv 0 \) için:
\( p \land q \equiv 0 \)
\( (p, q) \) üç şekilde olabilir.
\( (p, q) = (1, 0) \)
\( (p, q) = (0, 1) \)
\( (p, q) = (0, 0) \)
Buna göre verilen koşulu sağlayan 4 sıralı üçlü vardır.
\( (p, q, r) \in \{(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)\} \)