Bu bölümde bileşik önermelerle ilgili iki kural setinden bahsedeceğiz.
De Morgan kurallarının birincisine göre; bir "ve" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "veya" bileşik önermesine denktir.
\( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)
\( (p \land q \land r)' \equiv p' \lor q' \lor r' \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
\( p \) | \( q \) | \( p \land q \) | \( (p \land q)' \) | \( p' \) | \( q' \) | \( p' \lor q' \) |
---|---|---|---|---|---|---|
\( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
\( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
\( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
\( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
De Morgan kurallarının ikincisine göre; bir "veya" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "ve" bileşik önermesine denktir.
\( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
\( (p \lor q \lor r)' \equiv p' \land q' \land r' \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
\( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( (p \lor q)' \) | \( p' \) | \( q' \) | \( p' \land q' \) |
---|---|---|---|---|---|---|
\( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
\( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
\( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
\( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Birinci absorbe kuralı aşağıdaki gibidir.
\( p \land (p \lor q) \equiv p \)
İspat 1:
\( p \lor 0 \equiv p \) özdeşliğini kullanalım.
\( p \land (p \lor q) \equiv (p \lor 0) \land (p \lor q) \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv p \lor (0 \land q) \)
\( \equiv p \lor 0 \)
\( \equiv p \)
İspat 2:
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
\( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( p \land (p \lor q) \) |
---|---|---|---|
\( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
\( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
\( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
\( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
İkinci absorbe kuralı aşağıdaki gibidir.
\( p \lor (p \land q) \equiv p \)
İspat 1:
\( p \land 1 \equiv p \) özdeşliğini kullanalım.
\( p \lor (p \land q) \equiv (p \land 1) \lor (p \land q) \)
"Ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv p \land (1 \lor q) \)
\( \equiv p \land 1 \)
\( \equiv p \)
İspat 2:
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
\( p \) | \( q \) | \( p \land q \) | \( p \lor (p \land q) \) |
---|---|---|---|
\( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
\( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
\( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
\( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |