Önermeler

Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan ifadelere önerme denir.

Bir önerme ya kesinlikle doğrudur ya da kesinlikle yanlıştır. Bazen doğru bazen yanlış olan ya da kimine göre doğru kimine göre yanlış olan ifadeler birer önerme değildir. Ayrıca soru, emir ve ünlem cümleleri birer önerme değildir.

Bir ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu bilmiyor olmamız ifadenin önerme olmasına engel değildir, önemli olan ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunun kesin bir şekilde belirlenebilir olmasıdır.

İfade Önerme? Açıklama
Dikdörtgenin köşegen uzunlukları eşittir. Önerme İfadenin doğruluğu kesindir.
\(3^2 \lt 2^3 \) Önerme İfadenin yanlışlığı kesindir.
Antalya güzel bir şehirdir. Önerme değil Herkes Antalya'yı güzel bulmayabilir.
Ali'nin boyu 1.85 metredir. Önerme Ali'nin boyunu ölçerek bu ifadenin doğruluğunu ya da yanlışlığını kesin bir şekilde belirleyebiliriz.
\( x \lt 5 \) Önerme değil \( x \)'in değerine göre ifade bazen doğru bazen yanlış olur.
87178291199 asal sayıdır. Önerme Sayının asal olup olmadığını bilmiyor bile olsak kesinlikle doğru ya da yanlış olduğundan emin olabiliriz.
Kapıyı kapat. Önerme değil Bir emir cümlesi doğruluk/yanlışlık belirten bir ifade değildir.

Önermeler genellikle \( p \), \( q \), \( r \), \( s \), \( t \) gibi küçük harflerle gösterilir.

SORU 1 :

Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir?

(a) Hiçbir şey beklediğim gibi olmadı.

(b) Sorularıma cevap vermelisin.

(c) Toplama işleminin değişme özelliği var mıdır?

(d) Herkes birbirine yardımcı olsun.

(e) Karbon bir element değildir.

Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan ifadelere önerme denir.

Buna göre (a), (b), (c) ve (d) şıkları kesin bir hüküm bildirmediği için önerme değildir.

(e) şıkkındaki ifade yanlış olsa da kesin bir hüküm bildirdiği için önermedir.

SORU 2 :

Bir uçuş sırasında pilot aşağıdaki anonsu yapıyor:

"İyi günler (1). Kaptanınız konuşuyor (2). XY123 no'lu Londra uçuşumuza hoşgeldiniz (3).

İstanbul havalimanındaki yoğunluk sebebiyle uçağımız 45 dk geç kalktı (4). Bu gecikme için özür dileriz (5).

Şu anda 10 bin metre yükseklikte seyrediyoruz (6). Uçuş hızımız saatte 745 km'dir (7).

Planlanan uçuş süremiz 3 saat 45 dk'dır (8). Londra'da hava oldukça güzel (9). Hava sıcaklığı 28° C'dir (10).

Emniyet kemeri ikaz lambası yandığında lütfen koltuğunuza dönünüz (11).

Kendim ve ekibim adına iyi yolculuklar dileriz (12)."

Bu anonstaki hangi cümleler birer önermedir?

Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan ifadelere önerme denir.

Verilen metindeki (2), (4), (6), (7), (8) ve (10) no'lu cümleler birer önermedir.

Bir Önermenin Doğruluk Değeri

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.

Bir önermenin doğruluk değeri \( \equiv \) işareti ile gösterilir.

SORU 3 :

\( p \): "\( a \cdot b = 0 \) ise \( a \) ve \( b \) eşit olamaz."

\( q \): "\( a = -b \) ise \( a \) ve \( b \) eşit olamaz."

\( r \): "\( -a = -b \) ise \( a \) ve \( b \) eşittir."

Yukarıdaki önermelerin doğruluk değerleri nedir?

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.

\( a = b = 0 \) olabilir, dolayısıyla \( p \) önermesi yanlıştır.

\( a = b = 0 \) olabilir, dolayısıyla \( q \) önermesi yanlıştır.

Eşitlik kurallarına göre \( r \) önermesi doğrudur.

Buna göre üç önermenin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.

\( p \equiv q \equiv 0, \quad r \equiv 1 \)

SORU 4 :

\( p \): "1'in toplamaya ve çarpmaya göre tersi aynıdır."

\( q \): "\( x \in \mathbb{Z^+} \) ise \( 0 \lt \dfrac{1}{x} \le 1 \) olur."

\( r \): "-2 asal sayıdır."

Yukarıdaki önermelerden hangilerinin doğruluk değeri 0'dır?

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.

Bir \( a \) reel sayısının toplamaya göre tersi \( -a \), çarpmaya göre tersi \( \frac{1}{a} \)'dır. Buna göre 1'in toplamaya göre tersi -1, çarpmaya göre tersi 1'dir, dolayısıyla \( p \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

\( q \) önermesinin doğruluk değeri 1'dir.

Negatif sayılarda asallığa bakılmaz. \( r \) önermesinin doğruluk değeri 0'dır.

Buna göre \( p \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değeri 0'dır.

SORU 5 :

\( p \): " \( -1 \) ne tektir ne çifttir."

\( q \): " \( -3^2 = 9 \)"

\( r \): "100 tane tek sayının çarpımı tektir."

\( s \): "2 negatif sayının farkı her zaman negatiftir."

Yukarıdaki önermelerin doğruluk değerlerinin toplamı kaçtır?

\( p \): -1 tek sayıdır. Bu önerme yanlıştır.

\( q \): \( -3^2 = -9, (-3)^2 = 9 \). Bu önerme yanlıştır.

\( r \): Tek sayıların çarpımı her zaman tektir. Bu önerme doğrudur.

\( s \): Çıkarma işleminde sonucun işareti terimlerin işaretine göre değil, terimler arasındaki büyüklük ilişkisine göre belirlenir. Bu önerme yanlıştır.

Doğru önermelerin doğruluk değeri 1, yanlış önermelerin doğruluk değeri 0'dır.

\( 0 + 0 + 1 + 0 = 1 \) bulunur.

Doğruluk Tablosu

Bir önermenin tüm olası doğruluk değerlerinin listelendiği tabloya doğruluk tablosu denir.

Bir \( p \) önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir. Tek bir önermenin doğru ve yanlış olmak üzere 2 olası değeri olabileceği için, \( p \) önermesinin doğruluk tablosu iki satırdan oluşur.

\( p \)
\( 1 \)
\( 0 \)

Denk Önermeler

Doğruluk değerleri aynı (ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış) olan önermelere denk önermeler denir.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin doğruluk değerinin değiştirilmesiyle elde edilen önermeye o önermenin değili ya da olumsuzu denir. Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğrudur. \( p \) önermesinin değili \( p' \), \( \sim p \) ya da \( \lnot p \) ile gösterilir.

Aşağıda \( p \) önermesi ve değili için doğruluk tablosu verilmiştir.

\( p \) \( p' \)
\( 1 \) \( 0 \)
\( 0 \) \( 1 \)

Bir önermenin değilinin değili kendisine denktir.

Matematiksel eşitlik ve eşitsizlikler aşağıdaki şekilde olumsuz hale getirilir.

İşaret Değili
\( a = b \) \( a \ne b \)
\( a \ne b \) \( a = b \)
\( a \gt b \) \( a \le b \)
\( a \ge b \) \( a \lt b \)
\( a \lt b \) \( a \ge b \)
\( a \le b \) \( a \gt b \)

Bir önermenin değilini alırken cümlenin sonuna "değildir" ifadesi getirmek yeterlidir.

Önerme ve Değili Notlar

\( p \): Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur.

\( p' \): Türkiye'nin başkenti İstanbul değildir.

 Önermenin değili "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." değildir, çünkü Ankara İstanbul dışındaki tüm olasılıkları kapsamamaktadır. Ayrıca bir önermenin değilinin değili kendisine denk olmalıdır. "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." önermesinin değili "Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur." olamaz.

\( q \): Karenin iç açıları toplamı 180°'dir.

\( q' \): Karenin iç açıları toplamı 180° değildir.

 Önermenin değili "Karenin iç açıları toplamı 360°'dir." değildir.

\( r \): Elon Musk zengindir.

\( r' \): Elon Musk zengin değildir.

 Önermenin değili "Elon Musk fakirdir." değildir.
SORU 6 :

\( p \), \( q' \) ve \( r' \) önermeleri birbirine denk olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

(a) \( p' \equiv r' \)

(b) \( (p')' \equiv q \)

(c) \( (q')' \equiv r \)

(d) \( (p')' \equiv r \)

(e) \( p' \equiv q' \)

\( p \equiv q' \equiv r' \)

\( p \equiv r' \) olduğu için \( p' \equiv r' \) doğru olamaz.

\( p \equiv q' \) olduğu için \( (p')' \equiv p \equiv q \) doğru olamaz.

\( q' \equiv r' \) olduğu için \( (q')' \equiv q \equiv r \) doğru olur.

\( p \equiv r' \) olduğu için \( (p')' \equiv p \equiv r \) doğru olamaz.

\( p \equiv q' \) olduğu için \( p' \equiv q' \) doğru olamaz.

Buna göre doğru seçenek (c)'dir.

SORU 7 :

Aşağıdaki önermelerden hangileri birbirine denktir?

\( p \): \( 0,\overline{3} \) bir rasyonel sayıdır.

\( q \): Tüm köklü sayılar irrasyoneldir.

\( r \): 45'e tam bölünen bir sayı 9'a da tam bölünür.

\( 0,\overline{3} = \frac{1}{3} \) olduğu için \( 0,\overline{3} \) bir rasyonel sayıdır (\( p \equiv 1 \)).

\( \sqrt{4} \) örneğinde olduğu gibi tam kare sayıların karekökü rasyoneldir (\( q \equiv 0 \)).

45'e tam bölünen bir sayı 45'in bir böleni olan 9'a da tam bölünür (\( r \equiv 1 \)).

Buna göre \( p \) ve \( r \) önermeleri birbirine denktir ve doğruluk değerleri 1'dir.

\( p \equiv r \equiv 1 \)

« Önceki
Mantık
Sonraki »
Bileşik Önermeler

Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır