Açık Önerme
Doğruluk değeri içerdiği bir ya da birden fazla değişkene bağlı olarak belirlenen önermelere açık önerme ya da önerme fonksiyonu denir.
Açık önermeler herhangi bir sayıda değişkene bağlı olarak tanımlanabilir.
\( P(x) \)
\( Q(x, y) \)
\( R(x_1, x_2, \ldots, x_n) \)
\( P(x): x \text{ asal sayıdır.} \)
\( P(7) \equiv 1 \)
\( P(15) \equiv 0 \)
\( Q(x, y): x \text{ şehri } y \text{ ülkesinin başkentidir.} \)
\( Q(\text{Londra}, \text{İngiltere}) \equiv 1 \)
\( Q(\text{Hamburg}, \text{Almanya}) \equiv 0 \)
Her fonksiyonda olduğu gibi, açık önermelerin her değişkeninin bir tanım kümesi vardır ve değer kümeleri 0 ve 1 değerlerinden oluşur.
Bir açık önerme kendi başına bir önerme değildir ve doğruluk değeri yoktur, ancak değişkenleri birer değer aldığında bir önerme olur ve doğruluk değerine sahip olur.
Bir açık önermeyi doğrulayan değerler kümesine o açık önermenin doğruluk kümesi (çözüm kümesi) denir. Buna göre; bir \( x = a \) değeri \( P(x) \) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı ise \( P(a) = 1 \), değilse \( P(a) = 0 \) olur.
Denklem ve eşitsizlikler de birer açık önerme ve çözüm kümeleri bu açık önermelerin doğruluk kümeleri olarak düşünülebilir.
\( P(x, y): 2x - 3y \ge 13 \)
açık önermesi için \( P(5, -2) \) ve \( P(1, 2) \) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen değerleri açık önermelerde yerine koyarak önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.
\( P(5, -2): 2(5) - 3(-2) \ge 13 \)
\( 16 \ge 13 \)
Buna göre \( P(5, -2) \) doğru bir önermedir.
\( P(5, -2) \equiv 1 \)
\( P(1, 2): 2(1) - 3(2) \ge 13 \)
\( -4 \not\ge 13 \)
Buna göre \( P(1, 2) \) yanlış bir önermedir.
\( P(1, 2) \equiv 0 \)
\( P(x): x^3 - 2x \gt 0 \) açık önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
(a) \( P(1) \equiv 1 \)
(b) \( P(0) \equiv 1 \)
(c) \( P(2) \equiv 0 \)
(d) \( P(-1) \equiv 1 \)
(e) \( P(3) \equiv 0 \)
Çözümü GösterSeçeneklerde açık önermenin içine yazılan sayılar sırayla eşitsizliğin de içine yazılır.
(a) \( 1^3 - 2(2) \gt 0, \quad P(1) \equiv 0 \)
(b) \( 0^3 - 2(0) \gt 0, \quad P(0) \equiv 0 \)
(c) \( 2^3 - 2(2) \gt 0, \quad P(2) \equiv 1 \)
(d) \( (-1)^3 - 2(-1) \gt 0, \quad P(-1) \equiv 1 \)
(e) \( 3^3 - 2(3) \gt 0, \quad P(3) \equiv 1 \)
Buna göre (d) seçeneğindeki doğruluk değeri doğru verilmiştir.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( P(x, y): xy = 10 \) açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü GösterÇarpımları 10 olan tam sayı ikilileri aşağıdaki gibidir.
\( (x, y) \in \{ (1, 10), (2, 5), (5, 2), (10, 1), (-1, -10), (-2, -5), (-5, -2), (-10, -1) \} \)
Buna göre açık önermenin doğruluk kümesi 8 elemanlıdır.
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( P(x): x \le 3 \)
\( Q(x): x + 1 \text{ tek sayıdır.} \)
açık önermeleri için aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
(a) \( Q(1) \)
(b) \( P'(3) \)
(c) \( P(7) \lor Q(7) \)
(d) \( P(3) \land Q(4) \)
(e) \( (P(-4) \lor Q(-3))' \)
(f) \( P'(-4) \land Q'(-3) \)
Çözümü GösterVerilen açık önermelerin değilleri aşağıdaki gibidir.
\( P'(x): x \gt 3 \)
\( Q'(x): x + 1 \text{ çift sayıdır.} \)
(a) seçeneği:
\( Q(1): 1 + 1 \text{ tek sayıdır.} \)
Bu önerme yanlıştır.
(b) seçeneği:
\( P'(3): 3 \gt 3 \)
Bu önerme yanlıştır.
(c) seçeneği:
\( P(7): 7 \le 3, \quad Q(7): 7 + 1 \text{ tek sayıdır.} \)
İki önerme de yanlıştır, dolayısıyla \( P(7) \lor Q(7) \equiv 0 \) olur.
(d) seçeneği:
\( P(3): 3 \le 3, \quad Q(4): 4 + 1 \text{ tek sayıdır.} \)
İki önerme de doğrudur, dolayısıyla \( P(3) \land Q(4) \equiv 1 \) olur.
(e) seçeneği:
\( P(-4): -4 \le 3, \quad Q(-3): -3 + 1 \text{ tek sayıdır.} \)
Birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlıştır, dolayısıyla \( (P(-4) \lor Q(-3))' \equiv 0 \) olur.
(f) seçeneği:
\( P'(-4)= -4 \gt 3, \quad Q'(-3)= -3 + 1 \text{ çift sayıdır.} \)
Birinci önerme yanlış, ikinci önerme doğrudur, dolayısıyla \( P'(-4) \land Q'(-3) \equiv 0 \) olur.
Buna göre IV. önerme doğru, diğer önermeler yanlıştır.