Bileşik Önermeler
Yalnızca bir hüküm içeren önermelere basit önerme denir.
Basit önermelerin "ve", "veya", "ya da", "ise", "ancak ve ancak" bağlaçlarından biri ya da birkaçı ile birleştirilmesiyle elde edilen önermelere bileşik önerme denir. Bir bileşik önermeyi oluşturan basit önermelere bileşik önermenin bileşenleri denir.
| Basit Önerme | Bileşik Önerme |
|---|---|
| Bugün 29 Ekim. | Bugün 29 Ekim VE günlerden pazartesi. |
| Odamdaki televizyon bozuldu. | Odamdaki televizyon bozuldu VEYA elektrikler kesildi. |
| Bugün günlerden pazar. | Bugün Anneler Günü İSE günlerden pazardır. |
Bileşik önermeyi oluşturan basit önermelerin her birinin doğruluk değerine ek olarak, bileşik önermenin de bir doğruluk değeri vardır ve bu doğruluk değeri bileşenlerin doğruluk değerlerine ve kullanılan bağlaça göre belirlenir.
Bağlaçların cümleler arasında değil de cümle öğeleri arasında kullanılmasıyla bileşik önermeler bazen daha kısa şekilde ifade edilebilir. Bir bileşik önermenin doğruluk değerini bulurken önermenin uzun şekliyle değerlendirilmesi gerekebilir.
| Bileşik Önerme | Denk Önerme |
|---|---|
| 2 çift VE asal sayıdır. | "2 çift sayıdır" VE "2 asal sayıdır". |
| Bir parabolün kolları aşağı YA DA yukarı yönlü olabilir. | "Bir parabolün kolları aşağı yönlü olabilir" YA DA "Bir parabolün kolları yukarı yönlü olabilir". |
| Bir sayıyı asal çarpanlarına bölen listesi VEYA çarpan ağacı yöntemi ile ayırabiliriz. | "Bir sayıyı asal çarpanlarına bölen listesi yöntemi ile ayırabiliriz" VEYA "Bir sayıyı asal çarpanlarına çarpan ağacı yöntemi ile ayırabiliriz". |
Bileşik Önermelerin Doğruluk Tablosu
Birbirinden farklı ve bağımsız \( n \) tane önermenin \( 2^n \) farklı doğruluk durumu vardır, dolayısıyla \( n \) önermeden oluşan bir bileşik önermenin doğruluk tablosu \( 2^n \) satırdan oluşur.
\( p \text{ VE } (q \text{ VEYA } r) \) bileşik önermesi 3 farklı basit önermeden oluştuğu için \( 2^3 = 8 \) farklı doğruluk durumu vardır.
\( p \text{ VE } (q \text{ VEYA } p) \) bileşik önermesi 2 farklı basit önermeden oluştuğu için \( 2^2 = 4 \) farklı doğruluk durumu vardır.
İSPATI GÖSTER
Her bir basit önermenin iki farklı doğruluk değeri vardır (doğru ve yanlış).
Birbirinden farklı ve bağımsız \( n \) tane basit önermeden oluşan bir bileşik önermede her basit önerme bu iki doğruluk değerinden birini alabileceği için, farklı doğruluk durumlarının sayısını çarpma yoluyla sayma yöntemini kullanarak bulabiliriz.
Farklı doğruluk durumu sayısı \( = \underbrace{2 \cdot 2 \ldots 2}_\text{n adet} = 2^n \)
Buna göre, iki farklı \( p \) ve \( q \) önermesi için oluşan \( 2^2 = 4 \) satırlı doğruluk tablosu aşağıdaki gibi olur.
| \( p \) | \( q \) | Notlar |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( p \) ve \( q \) doğru |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( p \) doğru, \( q \) yanlış |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( p \) yanlış, \( q \) doğru |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( p \) ve \( q \) yanlış |
Üç farklı \( p \), \( q \) ve \( r \) önermesi için oluşan \( 2^3 = 8 \) satırlı doğruluk tablosu aşağıdaki gibi olur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
Bir doğruluk tablosu şablonunu hızlı ve hatasız bir şekilde oluşturmak için kullanılabilecek bir yöntem aşağıdaki gibidir. Yukarıdaki doğruluk tabloları da bu yöntemle hazırlanmıştır.
- \( n \) farklı basit önermeden oluşan bir bileşik önerme için \( n \) sütunlu ve (başlık satırı hariç) \( 2^n \) satırlı bir tablo oluşturulur.
- En sağdaki sütuna 1'den başlayarak ve her satırda değer değiştirilerek doğruluk değerleri girilir (1-0-1-0 şeklinde).
- Onun solundaki sütuna yine 1'den başlayarak, bu sefer 2 satırda bir değer değiştirilerek doğruluk değerleri girilir (1-1-0-0 şeklinde).
- Onun solundaki sütuna yine 1'den başlayarak, bu sefer 4 satırda bir değer değiştirilerek doğruluk değerleri girilir (1-1-1-1-0-0-0-0 şeklinde).
- Bileşik önermede daha fazla sayıda önerme varsa sütunlarda sola doğru ilerledikçe doğruluk değeri değiştirme periyodu 2'nin kuvvetleri (1, 2, 4, 8, 16, ...) şeklinde artar.
Birbirinden farklı \( (a + 2) \) önermeden oluşan bir bileşik önermenin 128 farklı doğruluk durumu olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) farklı önerme için toplam doğruluk durumu sayısı \( 2^n \) formülü ile hesaplanır.
\( 2^{a + 2} = 128 = 2^7 \)
\( a = 5 \) bulunur.
Yaren \( n \), Yusuf \( n + 2 \) tane bağımsız önermeden oluşan doğruluk tablosu hazırlıyor.
Yusuf'un tablosundaki satır sayısı Yaren'in tablosundaki satır sayısından 192 fazla olduğuna göre, \( n \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) farklı önerme için toplam doğruluk durumu sayısı \( 2^n \) formülü ile hesaplanır.
O halde; Yaren'in tablosundaki satır sayısı \( 2^n \), Yusuf'un tablosundaki satır sayısı \( 2^{n + 2} \) olur.
Yusuf'un tablosundaki satır sayısı Yaren'inkinden 192 fazladır.
\( 2^{n + 2} = 2^n + 192 \)
\( 2^{n + 2} - 2^n = 192 \)
\( 4 \cdot 2^n - 2^n = 192 \)
\( 3 \cdot 2^n = 192 \)
\( 2^n = 64 \)
\( n = 6 \) bulunur.