Minör ve Kofaktör
Minör ve kofaktör bir kare matrisin her elemanı için hesaplanan değerlerdir ve matrisin determinantının hesaplanmasında ve tersinin bulunmasında kullanılırlar.
Minör
\( m \times m \) boyutunda bir kare matrisin belirli bir elemanının minörü, o elemanın bulunduğu satır ve sütun matristen silindiğinde geriye kalan \( (m - 1) \times (m - 1) \) matrisin determinantına eşittir. Bir matrisin \( a_{ij} \) elemanının minörü \( M_{ij} \) ile gösterilir.
Örnek olarak, aşağıdaki \( 3 \times 3 \) matrisin \( a_{12} \) elemanının minörünü bulmak için bu elemanın bulunduğu 1. satır ve 2. sütun matristen silinir ve geriye kalan (turuncu ile işaretli) elemanlardan oluşan \( 2 \times 2 \) matrisin determinantı hesaplanır.
\( M_{12} = \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| = a_{21} \cdot a_{33} - a_{31} \cdot a_{23} \)
Bir matrisin tüm elemanlarının bu yöntemle hesaplanan minörlerinden oluşan minör matrisi aşağıdaki gibi olur.
\( M = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} & M_{13} \\ M_{21} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \) matrisinin minör matrisini bulalım.
\( a_{11} \) elemanının minörü için matrisin 1. satırını ve 1. sütununu silelim ve geriye kalan matrisin determinantını hesaplayalım.
\( M_{11} = \left|\begin{matrix} 0 & 4 \\ -2 & 6 \end{matrix}\right| \)
\( M_{11} = 0 \cdot 6 - (-2) \cdot 4 = 8 \)
Aynı şekilde \( a_{12} \) elemanının minörü için matrisin 1. satırını ve 2. sütununu silelim ve geriye kalan matrisin determinantını hesaplayalım.
\( M_{12} = \left|\begin{matrix} -1 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix}\right| \)
\( M_{12} = (-1) \cdot 6 - 5 \cdot 4 = -26 \)
Diğer elemanların minörlerini aynı şekilde hesaplayalım.
\( M_{13} = (-1) \cdot (-2) - 5 \cdot 0 = 2 \)
\( M_{21} = 3 \cdot 6 - (-2) \cdot 1 = 20 \)
\( M_{22} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 1 = 7 \)
\( M_{23} = 2 \cdot (-2) - 5 \cdot 3 = -19 \)
\( M_{31} = 3 \cdot 4 - 0 \cdot 1 = 12 \)
\( M_{32} = 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 1 = 9 \)
\( M_{33} = 2 \cdot 0 - (-1) \cdot 3 = 3 \)
Hesapladığımız minör değerleri \( A \) matrisinin minör matrisini oluşturur.
\( M = \begin{bmatrix} 8 & -26 & 2 \\ 20 & 7 & -19 \\ 12 & 9 & 3 \end{bmatrix} \)
Kofaktör
Bir kare matrisin \( a_{ij} \) elemanının kofaktörü, o elemanın minörünün \( (-1)^{i+j} \) ile çarpılmasıyla elde edilir. Bir matrisin \( a_{ij} \) elemanının kofaktörü \( C_{ij} \) ile gösterilir.
\( C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \)
Bu formüle göre, bir elemanın kofaktörü o elemanın satır ve sütun numaralarının toplamı çift sayı ise elemanın minörüne, tek sayı ise minörünün ters işaretlisine eşittir.
Bir matrisin tüm elemanlarının bu yöntemle hesaplanan kofaktörlerinden oluşan kofaktör matrisi aşağıdaki gibi olur.
\( C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \) matrisinin kofaktör matrisini bulalım.
\( A \) matrisinin minör matrisini yukarıdaki örnekte aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( M = \begin{bmatrix} 8 & -26 & 2 \\ 20 & 7 & -19 \\ 12 & 9 & 3 \end{bmatrix} \)
Hesapladığımız kofaktör değerleri \( A \) matrisinin kofaktör matrisini oluşturur.
\( C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} \)
\( C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot 8 = 8 \)
\( C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot (-26) = 26 \)
\( C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot 2 = 2 \)
\( C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot 20 = -20 \)
\( C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot 7 = 7 \)
\( C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot (-19) = 19 \)
\( C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot 12 = 12 \)
\( C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot 9 = -9 \)
\( C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot 3 = 3 \)
Tüm kofaktörlerden oluşan matris \( A \) matrisinin kofaktör matrisidir.
\( C = \begin{bmatrix} 8 & 26 & 2 \\ -20 & 7 & 19 \\ 12 & -9 & 3 \end{bmatrix} \)
Ek Matris
Bir kare matrisin kofaktör matrisinin transpozuna o matrisin ek matrisi denir. Bir \( A \) matrisinin ek matrisi \( Ek(A) \) ile gösterilir.
\( Ek(A) = C^T \)
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \) matrisinin ek matrisini bulalım.
\( A \) matrisinin kofaktör matrisini yukarıdaki örnekte aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( C = \begin{bmatrix} 8 & 26 & 2 \\ -20 & 7 & 19 \\ 12 & -9 & 3 \end{bmatrix} \)
Bir matrisin ek matrisi o matrisin kofaktör matrisinin transpozuna eşittir.
\( Ek(A) = \begin{bmatrix} 8 & -20 & 12 \\ 26 & 7 & -9 \\ 2 & 19 & 3 \end{bmatrix} \)