Bir kare \( A \) matrisi ile çarpımı birim matris olan matrise \( A \) matrisinin ters matrisi denir. \( A \) matrisinin tersi \( A^{-1} \) şeklinde gösterilir.
\( AB = BA = I \) ise,
\( A \) ve \( B \) birbirinin ters matrisleridir.
\( B = A^{-1} \)
\( A = B^{-1} \)
\( A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad \) \( B = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \) olmak üzere,
\( B \) matrisinin \( A \) matrisinin tersi olduğunu gösterelim.
\( AB = I \) olup olmadığını kontrol edelim.
\( \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 4 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-4) \\ 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 & 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-4) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2 \)
Sonuç birim matris olduğuna göre \( B \) matrisi \( A \) matrisinin tersidir.
Sadece kare matrislerin tersi alınabilir. \( m \times m \) boyutlarında bir matrisin tersi varsa bu matrisin de boyutları \( m \times m \) olur ve çarpımları \( I_m \) birim matrisini verir.
Çoğu matrisin tersi olsa da her matrisin tersi yoktur. Tersi olmayan matrislere tekil matris, tersi olan matrislere tekil olmayan matris de denir.
Bir matrisin ters matrisini bulma yöntemlerinden biri aşağıdaki formül iledir. Bir matrisin determinantı bir reel sayı ve ek matrisi bir matris olduğu için aşağıdaki formül bir matris skaler çarpma işlemidir.
\( det(A) \ne 0 \) olmak üzere,
\( A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} \cdot Ek(A) \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) matrisinin ters matrisini bulalım.
Önceki bölümde gördüğümüz yöntemleri kullanarak determinantı ve ek matrisi aşağıdaki şekilde bulabiliriz.
\( det(A) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = -2 \)
\( Ek(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^{-1} = \dfrac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \)
\( A \) matrisini tersi ile çarptığımızda birim matrisi elde ettiğimizi teyit edelim.
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 \cdot (-2) + 2 \cdot \frac{3}{2} & 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \\ 3 \cdot (-2) + 4 \cdot \frac{3}{2} & 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2 \)
Yukarıdaki formül basit gibi gözükse de \( 4 \times 4 \) ve daha büyük matrislerin determinantını hesaplamak oldukça fazla işlem gerektirdiği için önümüzdeki bölümde göreceğimiz Gauss - Jordan eliminasyon yöntemi bir matrisin tersini bulmada çoğu zaman daha hızlı sonuç verir.
Determinantı sıfır olan matrislerin ters matrisi yoktur. Karşıt ters ifadeyle, ters matrisi olan matrislerin determinantı sıfırdan farklıdır.
\( m \times m \) boyutlarındaki bir \( A \) matrisiyle ilgili aşağıdaki ifadeler özdeştir, yani ya tümü birlikte doğrudur ya da tümü birlikte yanlıştır.
Bir matris tersi alınabilir bir matris ise yalnızca bir tersi vardır.
\( A \) matrisi tersi alınabilir bir matris olsun.
\( B \) matrisi \( A \) matrisinin tersi olsun.
\( A \cdot B = I \)
\( C \) matrisinin de \( A \) matrisinin tersi olduğunu varsayalım.
\( A \cdot C = I \)
Bir matrisin birim matris ile çarpımının sonucu kendisidir.
\( C \cdot I = C \)
\( I \) yerine \( A \cdot B \) çarpımını yazalım.
\( C \cdot (A \cdot B) = C \)
Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (C \cdot A) \cdot B = C \)
\( C \) matrisinin \( A \) matrisinin tersi olduğunu varsaydığımız için çarpımları birim matris olur.
\( I \cdot B = C \)
Bir matrisin birim matris ile çarpımının sonucu kendisidir.
\( B = C \)
Buna göre tersi \( B \) matrisi olan \( A \) matrisinin ikinci bir tersinin \( C \) matrisi olduğunu varsaymamız \( B \) ve \( C \) matrislerinin birbirine eşit olmasını gerektirir.
Buna göre bir matris tersi alınabilir bir matris ise yalnızca bir tersi vardır.
Bir matrisin diğer bir matrisle çarpımının sonucu birim matris ise bu matrisin tersi vardır ve çarpıldığı matristir.
\( A \cdot X = I \) ise,
\( A \) matrisinin tersi vardır ve \( X \) matrisidir.
\( A^{-1} = X \)
Bir \( A \) matrisinin tersi \( B \) ise \( B \) matrisinin de tersi \( A \)'dır. Bir diğer ifadeyle bir matrisin tersi varsa tersinin tersi kendisidir.
\( A^{-1} = B \Longleftrightarrow B^{-1} = A \)
\( (A^{-1})^{-1} = A \)
Birim matrisin tersi vardır ve kendisidir.
\( I^{-1} = I \)
Bir matrisin tersi varsa tersinin transpozu transpozunun tersine eşittir.
\( (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \)
Bir matrisin tersi varsa sıfırdan farklı bir reel sayı ile çarpımının tersi, tersinin reel sayının çarpmaya göre tersi ile çarpımına eşittir.
\( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( (kA)^{-1} = \dfrac{1}{k}A^{-1} \)
İki ya da daha fazla matrisin tersi varsa çarpımlarının da tersi vardır ve matrislerin terslerinin ters sırada çarpımına eşittir.
\( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \)
\( (A_1A_2 \ldots A_n)^{-1} = A_n^{-1} \ldots A_2^{-1}A_1^{-1} \)
Tersi alınabilir matrislerin indirgenmiş satır eşelon formu birim matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \)
Önceki örneklerde minör, kofaktör ve ek matrislerini bulduğumuz yukarıdaki \( A \) matrisinin ters matrisini bulun.
Verilen \( A \) matrisinin ek matrisini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( Ek(A) = \begin{bmatrix} 8 & -20 & 12 \\ 26 & 7 & -9 \\ 2 & 19 & 3 \end{bmatrix} \)
Bu matrisin determinantını önceki bölümde aşağıdaki şekilde hesaplamıştık.
\( det(A) = 96 \)
Verilen \( A \) matrisinin ters matrisini aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.
\( A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} \cdot Ek(A) \)
\( = \dfrac{1}{96} \cdot \begin{bmatrix} 8 & -20 & 12 \\ 26 & 7 & -9 \\ 2 & 19 & 3 \end{bmatrix} \)
Bu işlem bir skaler çarpma işlemi olduğu için sabit sayıyı matrisin tüm elemanlarıyla çarpalım.
\( = \begin{bmatrix} \frac{8}{96} & -\frac{20}{96} & \frac{12}{96} \\ \frac{26}{96} & \frac{7}{96} & -\frac{9}{96} \\ \frac{2}{96} & \frac{19}{96} & \frac{3}{96} \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} & -\frac{5}{24} & \frac{1}{8} \\ \frac{13}{48} & \frac{7}{96} & -\frac{3}{32} \\ \frac{1}{48} & \frac{19}{96} & \frac{1}{32} \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \)
Yukarıdaki \( A \) matrisi ile önceki örnekte bulduğumuz ters matrisinin çarpımlarının birim matrise eşit olduğunu gösterin.
Verilen \( A \) matrisinin ters matrisini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{12} & -\frac{5}{24} & \frac{1}{8} \\ \frac{13}{48} & \frac{7}{96} & -\frac{3}{32} \\ \frac{1}{48} & \frac{19}{96} & \frac{1}{32} \end{bmatrix} \)
\( A \) matrisi ile ters matrisini çarpalım.
\( A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{12} & -\frac{5}{24} & \frac{1}{8} \\ \frac{13}{48} & \frac{7}{96} & -\frac{3}{32} \\ \frac{1}{48} & \frac{19}{96} & \frac{1}{32} \end{bmatrix}\)
\( = \begin{bmatrix} \frac{2}{12} + \frac{39}{48} + \frac{1}{48} & -\frac{10}{24} + \frac{21}{96} + \frac{19}{96} & \frac{2}{8} - \frac{9}{32} + \frac{1}{32} \\ -\frac{1}{12} + 0 + \frac{4}{48} & \frac{5}{24} + 0 + \frac{76}{96} & -\frac{1}{8} + 0 + \frac{4}{32} \\ \frac{5}{12} - \frac{26}{48} + \frac{6}{48} & -\frac{25}{24} - \frac{14}{96} + \frac{114}{96} & \frac{5}{8} + \frac{6}{32} + \frac{6}{32} \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} \frac{8 + 39 + 1}{48} & \frac{-40 + 21 + 19}{96} & \frac{8 - 9 + 1}{32} \\ \frac{-4 + 0 + 4}{48} & \frac{20 + 0 + 76}{96} & \frac{-4 + 0 + 4}{32} \\ \frac{20 - 26 + 6}{48} & \frac{-100 - 14 + 114}{96} & \frac{20 + 6 + 6}{32} \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_3 \)