Matrisler farklı özelliklerine göre farklı şekillerde adlandırılırlar.
Tüm elemanları sıfır olan matrislere sıfır matris denir. \( m \times n \) boyutunda tek bir sıfır matris vardır ve \( O_{m \times n} \) şeklinde gösterilir.
\( A \) boyutu \( m \times n \) olan bir matris olmak üzere,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, n \) için,
\( a_{ij} = 0 \) ise,
\( A \) matrisi sıfır matristir.
\( O_{1 \times 2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( O_{2 \times 4} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Satır ve sütun sayıları birbirine eşit olan matrislere kare matris denir. \( m \) satırlı ve sütunlu bir kare matrisin boyutu \( m \times m \)'dir.
\( A = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & -4 & 6 \end{bmatrix} \)
Kare matrisler bazı ek özelliklerine göre aşağıdaki tiplerde olabilir.
Ana köşegenindeki elemanları \( 1 \), diğer tüm elemanları \( 0 \) olan kare matrise birim matris denir. \( m \times m \) boyutundaki bir birim matris \( I_m \) şeklinde gösterilir.
\( A \) boyutu \( m \times m \) olan bir kare matris olmak üzere,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, m \) için,
\( a_{ii} = 1 \) ve
\( i \ne j \) olmak üzere, \( a_{ij} = 0 \) ise,
\( A \) matrisi birim matristir.
\( I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \)
\( I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( I_m = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \)
Ana köşegeninin altında kalan tüm elemanları sıfıra eşit olan kare matrislere üst üçgen matris denir.
\( A \) boyutu \( m \times m \) olan bir kare matris olmak üzere,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, m \) için,
\( i \gt j \) olmak üzere, \( a_{ij} = 0 \) ise,
\( A \) matrisi bir üst üçgen matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 0 & 1 \\ \textcolor{red}{0} & 4 & -2 & 7 \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 3 & 9 \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 6 \end{bmatrix} \)
Ana köşegeninin üstünde kalan tüm elemanları sıfıra eşit olan kare matrislere alt üçgen matris denir.
\( A \) boyutu \( m \times m \) olan bir kare matris olmak üzere,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, m \) için,
\( i \lt j \) olmak üzere, \( a_{ij} = 0 \) ise,
\( A \) matrisi bir alt üçgen matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 2 & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\ 5 & 4 & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\ 0 & -2 & 3 & \textcolor{red}{0} \\ 1 & 7 & 9 & 6 \end{bmatrix} \)
Ana köşegeni dışındaki tüm elemanları sıfır olan kare matrislere köşegen matris denir.
\( A \) boyutu \( m \times m \) olan bir kare matris olmak üzere,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, m \) için,
\( i \ne j \) olmak üzere, \( a_{ij} = 0 \) ise,
\( A \) matrisi bir köşegen matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 5 & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{red}{0} & 7 & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 0 & \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & 9 \end{bmatrix} \)
Köşegen matrisler aynı zamanda birer alt üçgen ve üst üçgen matristir.
Ana köşegene göre simetrik elemanları birbirine eşit olan kare matrislere simetrik matris denir.
\( A \) boyutu \( m \times m \) olan bir kare matris olmak üzere,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, m \) için,
\( a_{ij} = a_{ji} \) ise,
\( A \) matrisi bir simetrik matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 7 \\ 1 & 1 & 4 & 5 \\ -2 & 4 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 6 \end{bmatrix} \)
Simetrik matrislerin transpozu (devriği) kendisine eşittir.
\( A \) bir simetrik matris ise,
\( A^T = A \)
İki simetrik matrisin toplamı ve farkı da simetriktir. Ayrıca bir simetrik matrisin skaler çarpımı da simetriktir.
\( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 0 & 5 & 7 \\ 5 & -3 & 3 \\ 7 & 3 & 4 \end{bmatrix} \)
\( A + B = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 5 \\ 6 & -2 & 7 \\ 5 & 7 & 3 \end{bmatrix} \)
\( 2A = \begin{bmatrix} 6 & 2 & -4 \\ 2 & 2 & 8 \\ -4 & 8 & -2 \end{bmatrix} \)
Bir kare matrisin ve transpozunun toplamı her zaman simetriktir.
\( A + A^T = B \) ise,
\( B \) bir simetrik matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \\ -2 & -3 & -4 \end{bmatrix} \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 2 & 0 & -3 \\ 3 & -1 & -4 \end{bmatrix} \)
\( A + A^T = \begin{bmatrix} 2 & 6 & 1 \\ 6 & 0 & -4 \\ 1 & -4 & -8 \end{bmatrix} \)
Kare olan ya da olmayan bir matrisin ve transpozunun çarpımı her zaman simetriktir.
\( A \cdot A^T = A^T \cdot A = B \) ise,
\( B \) bir simetrik matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 6 & -2 & -3 \\ 4 & 7 & -2 \end{bmatrix} \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 6 & 4 \\ 1 & 2 & -2 & 7 \\ -1 & 4 & -3 & -2 \end{bmatrix} \)
\( A \cdot A^T = \begin{bmatrix} 11 & -2 & 19 & 21 \\ -2 & 20 & -16 & 6 \\ 19 & -16 & 49 & 16 \\ 21 & 6 & 16 & 69 \end{bmatrix} \)
Birim ve köşegen matrisler simetriktir.
Ana köşegene göre simetrik elemanları birbirinin ters işaretlisi olan kare matrise ters simetrik matris ya da antisimetrik matris denir. Bu özelliğin sağlanabilmesi için ters simetrik matrislerin ana köşegenleri üzerindeki tüm elemanlar sıfır olmalıdır.
\( A \) boyutu \( m \times m \) olan bir kare matris olmak üzere,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, m \) için,
\( a_{ij} = -a_{ji} \) ve \( a_{ii} = 0 \) ise,
\( A \) matrisi bir ters simetrik matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 & -7 \\ 1 & 0 & 4 & 5 \\ -2 & -4 & 0 & 0 \\ 7 & -5 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Ters simetrik matrislerin transpozu matrisin toplamaya göre tersine eşittir.
\( A \) bir ters simetrik matris ise,
\( A^T = -A \)
\( A = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 7 \\ 2 & 0 & 5 \\ -7 & -5 & 0 \end{bmatrix} \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -7 \\ -2 & 0 & -5 \\ 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} \)
İki ters simetrik matrisin toplamı ve farkı da ters simetriktir. Ayrıca bir ters simetrik matrisin skaler çarpımı da ters simetriktir.
\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 7 \\ 5 & 0 & 3 \\ -7 & -3 & 0 \end{bmatrix} \)
\( A + B = \begin{bmatrix} 0 & -4 & 5 \\ 4 & 0 & -1 \\ -5 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)
\( 2A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -4 \\ -2 & 0 & -8 \\ 4 & 8 & 0 \end{bmatrix} \)
Bir kare matrisin ve transpozunun farkı her zaman ters simetriktir.
\( A - A^T = B \) ise,
\( B \) bir ters simetrik matristir.
\( A = \begin{bmatrix} 5 & -1 & -3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 8 \end{bmatrix} \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 6 \\ -1 & 2 & 0 \\ -3 & 4 & 8 \end{bmatrix} \)
\( A - A^T = \begin{bmatrix} 0 & -4 & -9 \\ 4 & 0 & 4 \\ 9 & -4 & 0 \end{bmatrix} \)
Tek satırdan oluşan matrislere satır matrisi denir. \( n \) sütunlu bir satır matrisinin boyutu \( 1 \times n \)'dir.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 7 \end{bmatrix} \)
Tek sütundan oluşan matrislere sütun matrisi denir. \( m \) satırlı bir sütun matrisinin boyutu \( m \times 1 \)'dir.
\( A = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix} \)