Lineer denklem sistemleri konusunda bir denklem sistemini matris denklemi şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edebileceğimizi görmüştük.
\( AX = B \)
\( X \): \( n \times 1 \) boyutlarında değişkenler matrisi
\( A \): \( m \times n \) boyutlarında katsayılar matrisi
\( B \): \( m \times 1 \) boyutlarında sabit terimler matrisi
Bu denklemin iki tarafını \( A \) matrisinin tersi ile çarptığımızda denklemi aşağıdaki forma getirebiliriz.
\( A^{-1}AX = A^{-1}B \)
Bir matrisin tersi ile çarpımı birim matrise eşittir.
\( IX = A^{-1}B \)
Bir matrisin birim matris ile çarpımı kendisine eşittir.
\( X = A^{-1}B \)
Buna göre bir denklem sisteminin çözüm kümesini verecek olan \( X \) matrisini \( A \) katsayı matrisinin tersi ile \( B \) sabit terim matrisini çarparak bulabiliriz.
Aşağıdaki lineer denklem sisteminin çözümünü ters matris yöntemi ile bulalım.
\( 4x - y = 5 \)
\( x + 2y = 8 \)
Katsayı matrisi:
\( A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)
Sabit terim matrisi:
\( B = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \)
Katsayı matrisinin tersini bulalım.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ -\frac{1}{9} & \frac{4}{9} \end{bmatrix} \)
Denklem sistemini yukarıdaki formülle çözelim.
\( X = A^{-1}B \)
\( = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ -\frac{1}{9} & \frac{4}{9} \end{bmatrix} \cdot \) \( \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} \cdot 5 + \frac{1}{9} \cdot 8 \\ -\frac{1}{9} \cdot 5 + \frac{4}{9} \cdot 8 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi \( (x, y) = (2, 3) \) olarak bulunur.