Asimptot
Bir fonksiyonda \( x \) ve \( y \) değerleri ayrı ayrı ya da birlikte pozitif ya da negatif sonsuza doğru giderken, fonksiyonun grafiği bir doğru ya da eğriye aralarındaki uzaklık sıfıra yaklaşacak şekilde yaklaşıyorsa bu doğruya/eğriye fonksiyonun bir asimptotu denir.
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen üç doğru fonksiyonun asimptotlarıdır.
Asimptotlar bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı hakkında bilgi verir ve fonksiyonun eğrisinin çiziminde kullanılan adımlardan biridir.
Asimptotlar dikey, yatay, eğik ve eğri olmak üzere dört tipte olabilir.
Dikey Asimptot
Bir fonksiyonda \( x \) belirli bir \( a \) değerine soldan veya sağdan yaklaştıkça \( y \) değeri pozitif ya da negatif sonsuza gidiyorsa fonksiyonun bu \( a \) değerinde bir dikey asimptotu vardır ve denklemi \( x = a \) doğrusudur.
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \)
veya
\( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \)
ise, \( x = a \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir dikey asimptotudur.
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) doğruları \( f(x) \) fonksiyonunun dikey asimptotlarıdır.
\( f(x) = \dfrac{1}{(x + 2)(x - 3)} \)
\( \lim\limits_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \)
\( \lim\limits_{x \to -2^+} f(x) = -\infty \)
olduğu için \( x = -2 \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir dikey asimptotudur.
\( \lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = +\infty \)
olduğu için \( x = 3 \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir dikey asimptotudur.
Bir fonksiyonun herhangi bir sayıda dikey asimptotu olabilir ya da hiç olmayabilir.
Bir fonksiyon dikey asimptotun oluştuğu noktada tanımsızdır, dolayısıyla grafiği dikey asimptota yaklaşır, ama hiçbir zaman kesmez. Bununla birlikte, bir fonksiyon parçalı fonksiyon şeklinde tanımlanarak dikey asimptotun oluştuğu noktadaki tanımsızlığı ve süreksizliği giderilebilir.
Rasyonel Fonksiyonlarda Dikey Asimptot
Payı ve paydası birer polinom olan rasyonel fonksiyonlarda paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur. Buna göre; bir rasyonel fonksiyonun dikey asimptotlarını bulmak için önce pay ve paydanın ortak çarpanları sadeleştirilir, sonra paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri bulunur.
Rasyonel fonksiyonlarda hem payı hem de paydayı sıfır yapan değerlerde dikey asimptot oluşmaz, sadece tanımsız nokta oluşur.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 4} \) fonksiyonunun dikey asimptotlarını bulalım.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{(x - 2)(x + 2)} \)
Paydayı sıfır yapan değerler \( x \in \{-2, 2\} \)'dir. Bu değerlerden herhangi biri payı sıfır yapmadığı için fonksiyonun iki dikey asimptotu vardır ve bunlar \( x = -2 \) ve \( x = 2 \) doğrularıdır.
Bu iki dikey asimptot aşağıda fonksiyon grafiği üzerinde gösterilmiştir.
\( f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 2x - 3} \) fonksiyonunun dikey asimptotlarını bulalım.
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 3)} \)
Paydayı sıfır yapan değerler \( x \in \{-1, 3\} \)'dür. Bu değerlerden \( x = -1 \) payı da sıfır yaptığı için bu noktada dikey asimptot oluşmaz, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 3 \) doğrusu olmak üzere tek dikey asimptotu vardır.
Hem payı hem de paydayı sıfır yapan \( x = -1 \) değerinde fonksiyon grafiğinde dikey asimptot değil, tanımsız nokta oluşur.
Fonksiyonun dikey asimptotu ve \( x = -1 \) değerinde oluşan tanımsız nokta aşağıda fonksiyon grafiği üzerinde gösterilmiştir.
\( n \). dereceden bir polinom fonksiyonunun en fazla \( n \) reel kökü olabileceği için, paydası \( n \). dereceden olan bir rasyonel fonksiyonun en az sıfır en fazla \( n \) dikey asimptotu olabilir. Tek dereceli bir polinom \( x \) eksenini en az bir noktada kestiği, dolayısıyla \( y = 0 \) değerini en az bir kez aldığı için, paydası tek dereceli olan rasyonel polinomların en az bir dikey asimptotu vardır.
Trigonometrik Fonksiyonlarda Dikey Asimptot
Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarını tanımsız yapan aşağıdaki değerlerde fonksiyon grafiklerinde birer asimptot oluşur.
| Grafik | Fonksiyon ve Asimptotları |
|---|---|
|
Tanjant fonksiyonu: \( f(x) = \tan{x} \) Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Kotanjant fonksiyonu: \( f(x) = \cot{x} \) Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Sekant fonksiyonu: \( f(x) = \sec{x} \) Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) |
|
Kosekant fonksiyonu: \( f(x) = \csc{x} \) Fonksiyonun tanımsız olduğu ve dikey asimptot oluşan noktalar: \( x \in \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) |
Logaritma Fonksiyonlarında Dikey Asimptot
Logaritma fonksiyonlarında logaritma içini sıfır yapan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
\( f(x) = \log(2x - 5) \) fonksiyonunun dikey asimptotlarını bulalım.
Logaritma için sıfır yapan değer \( x = \frac{5}{2} \)'dir, dolayısıyla fonksiyonun \( x = \frac{5}{2} \) doğrusu olmak üzere tek dikey asimptotu vardır.
Bu dikey asimptot aşağıda fonksiyon grafiği üzerinde gösterilmiştir.
Yatay Asimptot
Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \) doğrusudur.
\( a \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = a \)
veya
\( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = a \)
ise, \( y = a \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir yatay asimptotudur.
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( y = -4 \) ve \( y = 4 \) doğruları \( f(x) \) fonksiyonunun yatay asimptotlarıdır.
\( f(x) = \dfrac{4x + 3}{\sqrt{x^2 + 5}} \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -4 \)
olduğu için \( x = -4 \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir yatay asimptotudur.
\( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 4 \)
olduğu için \( x = 4 \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir yatay asimptotudur.
Bir fonksiyonun bir ya da iki yatay asimptotu olabilir ya da hiç olmayabilir.
Yukarıdaki örnekte de görülebileceği gibi, fonksiyon grafiği yatay asimptotu kesebilir.
Rasyonel Fonksiyonlarda Yatay Asimptot
\( f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 1} \) fonksiyonunun yatay asimptotlarını bulalım.
\( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x + 3}{x + 1} = 2 \)
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x + 3}{x + 1} = 2 \)
Buna göre fonksiyonun \( y = 2 \) doğrusu olmak üzere tek bir yatay asimptotu vardır ve \( x \) hem negatif hem pozitif sonsuza giderken fonksiyon eğrisi bu doğruya yaklaşır.
Grafikte görebileceğimiz gibi, \( x \) negatif sonsuza giderken grafik \( y = 2 \) doğrusuna aşağıdan, \( x \) pozitif sonsuza giderken yukarıdan yaklaşmaktadır.
Üstel Fonksiyonlarda Yatay Asimptot
\( a^x \) ya da \( e^x \) formundaki üstel fonksiyonlarda \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri sıfıra yaklaştığı için \( y = 0 \) doğrusu bir yatay asimptot olur.
\( f(x) = e^x \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0 \)
Trigonometrik Fonksiyonlarda Yatay Asimptot
Ters tanjant fonksiyonunun \( y = -\frac{\pi}{2} \) ve \( y = \frac{\pi}{2} \) olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
\( f(x) = \arctan{x} \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\dfrac{\pi}{2} \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \dfrac{\pi}{2} \)
Ters kotanjant fonksiyonunun \( y = 0 \) ve \( y = \pi \) olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
\( f(x) = \arccot{x} \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \pi \)
\( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0 \)
Eğik Asimptot
\( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon grafiğinin yaklaştığı asimptot \( y = a \) şeklinde sabit bir fonksiyon değil, \( y = mx + c \) şeklinde bir doğru ise bu doğruya eğik asimptot ya da eğimli asimptot denir. Buna göre yatay asimptotlar eğimi sıfır olan birer eğik asimptot olarak da düşünülebilir.
\( m \ne 0 \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (mx + b)] = 0 \)
veya
\( \lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - (mx + b)] = 0 \)
ise, \( y = mx + b \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir eğik asimptotudur.
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x + 2 \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun eğik asimptotudur.
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}} \)
\( \lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (x + 2)] = 0 \)
ve
\( \lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - (x + 2)] = 0 \)
olduğu için \( y = x + 2 \) doğrusu \( f(x) \) fonksiyonunun bir eğik asimptotudur.
Grafikte görebileceğimiz gibi, fonksiyon eğrisi \( y = x + 2 \) doğrusuna \( x \) negatif sonsuza giderken yukarıdan, \( x \) pozitif sonsuza giderken aşağıdan yaklaşmaktadır.
Grafikte işaretlenmiş olan \( x = 2 \) doğrusu ise bir dikey asimptottur.
Eğri Asimptot
Asimptotlar sadece doğrusal değil, ikinci ya da daha yüksek dereceden birer polinom fonksiyonu da olabilir. Bu tip doğrusal olmayan asimptotlara eğri asimptot denir.
Yatay, eğik ve eğri asimptotlar (dikey asimptotlardan farklı olarak) birbirlerinden dereceleri ile ayrılan ve \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken oluşan asimptot tipleri olarak düşünülebilir.
Aşağıdaki grafikte mavi kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x^2 - 2x + 1 \) eğrisi \( f(x) \) fonksiyonunun eğri asimptotudur.
\( f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x} \)
Asimptot denklemi: \( y = x^2 - 2x + 1 \)
Grafikte görebileceğimiz gibi, fonksiyon eğrisi \( x \) negatif sonsuza giderken asimptota içten, \( x \) pozitif sonsuza giderken dıştan yaklaşmaktadır.
Yatay/Eğik/Eğri Asimptotların Bulunması
Bir fonksiyon yatay, eğik ve eğri asimptot tiplerinden sadece birine sahip olabilir. Eğer fonksiyon bu üç tipten birine sahip ise asimptotun hangi tipte olduğunu bulmak için aşağıdaki yöntemleri kullanabiliriz.
Rasyonel Fonksiyonlar
Bir rasyonel fonksiyonun pay ve paydasındaki polinom fonksiyonlarının derecelerine sırasıyla \( m \) ve \( n \), her iki polinomun başkatsayılarına da sırasıyla \( a \) ve \( b \) diyelim.
\( P(x), Q(x) \) birer polinom ve \( Q(x) \ne 0 \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{ax^{m} + \ldots}{bx^{n} + \ldots} \)
Bir rasyonel fonksiyonun yatay/eğik/eğri asimptotunun denklemini bulmak için önce paydaki polinomun paydadaki polinoma bölümü bulunur.
\( P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x) \)
Bu polinom bölme işleminin sonucu olan \( B(x) \) polinomu yatay/eğik/eğri asimptotun denklemini verir. Bu bölme işleminin sonucu dört farklı şekilde olabilir.
| Payın ve Paydanın Derecesi | Asimptot Denklemi | Örnek |
|---|---|---|
|
Payın derecesi paydanınkinden küçük \( m \lt n \) |
Bu durumda bölüm polinomu \( B(x) = 0 \) olacağı için, asimptot denklemi de \( y = 0 \) olur, dolayısıyla \( x \) ekseni ile çakışık yatay bir asimptot oluşur. \( der[B(x)] = 0 \) Asimptot denklemi: \( y = 0 \) |
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \) Asimptot denklemi: \( y = 0 \) |
|
Payın derecesi paydanınkine eşit \( m = n \) |
Bu durumda bölüm polinomu sabit fonksiyon, asimptot denklemi de pay ve paydanın başkatsayılarının oranı olur, dolayısıyla yine yatay bir asimptot oluşur. \( der[B(x)] = m - n = 0 \) Asimptot denklemi: \( y = \dfrac{a}{b} \) |
\( f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1} \) Asimptot denklemi: \( y = \dfrac{2}{1} = 2 \) |
|
Payın derecesi paydanınkinden 1 fazla \( m - n = 1 \) |
Bu durumda bölüm polinomu doğrusal fonksiyon, asimptot denklemi de \( y = mx + c \) şeklinde bir doğru olur. \( der[B(x)] = m - n = 1 \) Asimptot denklemi: \( y = mx + c \) |
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 2} \) Asimptot denklemi: \( y = x + 2 \) |
|
Payın derecesi paydanınkinden 2+ fazla \( m - n \gt 1 \) |
Bu durumda bölüm polinomunun ve asimptot denkleminin derecesi pay ve paydanın derecelerinin farkına eşit olur, yani ikinci ya da daha yüksek dereceden bir eğri asimptot oluşur. \( der[B(x)] = m - n \gt 1 \) Asimptot denklemi: \( y = ax^{m - n} + \ldots \) |
\( f(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x} \) Asimptot denklemi: \( y = x^2 - 2x + 1 \) |
Aşağıdaki fonksiyonların dikey asimptotlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{3x^2 + 5x - 1}{x^2 - 1} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + x - 12} \)
Çözümü GösterRasyonel ifadelerde paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \)
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım.
\( x + 3 = 0 \Longrightarrow x = -3 \)
Bu değerin payı sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( (-3)^2 - 4 = 5 \ne 0 \)
Buna göre \( x = -3 \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun bir dikey asimptotudur.
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{3x^2 + 5x - 1}{x^2 - 1} \)
\( = \dfrac{3x^2 + 5x - 1}{(x - 1)(x + 1)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( (x - 1)(x + 1) = 0 \)
\( x = 1 \) ya da \( x = -1 \)
Bu değerin payı sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( 3(1)^2 + 5(1) - 1 = 7 \ne 0 \)
\( 3(-1)^2 + 5(-1) - 1 = -3 \ne 0 \)
Buna göre \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) doğruları \( g \) fonksiyonunun birer dikey asimptotudur.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + x - 12} \)
\( = \dfrac{(x + 5)(x + 1)}{(x + 4)(x - 3)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( (x + 4)(x - 3) = 0 \)
\( x = -4 \) ya da \( x = 3 \)
Bu iki değerin de payı sıfır yapmadığını payın çarpanlarından görebiliriz.
Buna göre \( x = -4 \) ve \( x = 3 \) doğruları \( h \) fonksiyonunun birer dikey asimptotudur.
Aşağıdaki fonksiyonların dikey asimptotlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{5x - 10}{x^2 - 4} \)
(b) \( g(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \)
(c) \( h(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^4 - 81} \)
Çözümü GösterRasyonel ifadelerde paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{5x - 10}{x^2 - 4} \)
\( = \dfrac{5(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( (x - 2)(x + 2) = 0 \)
\( x = 2 \) ya da \( x = -2 \)
Paydayı sıfır yapan değerler \( x \in \{-2, 2\} \)'dir. Bu değerlerden \( x = 2 \) payı da sıfır yaptığı için bu noktada dikey asimptot oluşmaz, dolayısıyla fonksiyonun \( x = -2 \) doğrusu olmak üzere tek bir dikey asimptotu vardır.
(b) seçeneği:
\( g(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \)
\( = \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( (x - 1)(x + 1) = 0 \)
\( x = 1 \) ya da \( x = -1 \)
Paydayı sıfır yapan değerler \( x \in \{-1, 1\} \)'dir. Bu değerlerden \( x = -1 \) payı da sıfır yaptığı için bu noktada dikey asimptot oluşmaz, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 1 \) doğrusu olmak üzere tek bir dikey asimptotu vardır.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^4 - 81} \)
\( = \dfrac{(x - 3)(x - 2)}{(x^2 - 9)(x^2 + 9)} \)
\( = \dfrac{(x - 3)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)} \)
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) = 0 \)
\( x = 3 \) ve \( x = -3 \)
Paydayı sıfır yapan değerler \( x \in \{-3, 3\} \)'tür. Bu değerlerden \( x = 3 \) payı da sıfır yaptığı için bu noktada dikey asimptot oluşmaz, dolayısıyla fonksiyonun \( x = -3 \) doğrusu olmak üzere tek bir dikey asimptotu vardır.
Aşağıdaki fonksiyonların yatay asimptotlarını bulunuz.
(a) \( f(x) = \dfrac{x - 5}{\abs{x} + 5} \)
(b) \( g(x) = 5^{2x - 3} \)
(c) \( h(x) = \arccot(2x + 1) \)
Çözümü GösterBir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayısına yaklaşıyorsa bu \( y = a \) doğrusu fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
(a) seçeneği:
\( f(x) = \dfrac{x - 5}{\abs{x} + 5} \)
\( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{x - 5}{\abs{x} + 5}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( \abs{x} = -x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} {\dfrac{x - 5}{-x + 5}} = -1 \)
\( y = -1 \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x - 5}{\abs{x} + 5}} \)
\( x \to \infty \) iken \( \abs{x} = x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} {\dfrac{x - 5}{x + 5}} = 1 \)
\( y = 1 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
Buna göre fonksiyonun \( y = -1 \) ve \( y = 1 \) doğruları olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
(b) seçeneği:
\( g(x) = 5^{2x - 3} \)
\( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
Üstel fonksiyon tüm reel sayılarda sürekli olduğu için limiti üsse alabiliriz.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {5^{2x - 3}} = 5^{\lim\limits_{x \to -\infty} {2x - 3}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( 2x - 3 \to -\infty \) olur.
\( 2x - 3 \to -\infty \) iken \( 5^{2x - 3} \to 0 \) olur.
\( = 0 \)
\( y = 0 \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {5^{2x - 3}} = \infty \)
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotu yoktur.
Buna göre fonksiyonun \( y = 0 \) doğrusu olmak üzere tek bir yatay asimptotu vardır.
(c) seçeneği:
\( h(x) = \arccot(2x + 1) \)
\( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} {\arccot(2x + 1)} \)
\( x \to -\infty \) iken \( 2x + 1 \to -\infty \) olur.
\( 2x + 1 \to -\infty \) iken \( \arccot(2x + 1) \to \pi \) olur.
\( = \pi \)
Buna göre \( y = \pi \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} {\arccot(2x + 1)} \)
\( x \to \infty \) iken \( 2x + 1 \to \infty \) olur.
\( 2x + 1 \to \infty \) iken \( \arccot(2x + 1) \to 0 \) olur.
\( = 0 \)
Buna göre \( y = 0 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun bir yatay asimptotudur.
Sonuç olarak fonksiyonun \( y = \pi \) ve \( y = 0 \) doğruları olmak üzere iki yatay asimptotu vardır.
Aşağıdakilerden hangisi \( f \) fonksiyonunun grafiği için yatay bir asimptotun varlığını gösterir?
(a) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) = 2 \)
(b) \( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 2 \)
(c) \( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \infty \)
(d) \( \lim\limits_{x \to 4} f(x) = \infty \)
(e) \( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \) Tanımsız
Çözümü GösterBir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( x \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır.
\( \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = a \)
(b) seçeneğindeki ifade \( y = 2 \) doğrusunun fonksiyonun bir yatay asimptotu olduğunu gösterir.
\( f(x) = \dfrac{9x - 7}{3x + 6} \) fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.
Çözümü GösterRasyonel ifadelerde paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
Paydayı sıfıra eşitleyelim.
\( 3x + 6 = 0 \)
\( x = -2 \)
Bu değerin payı sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( 9(-2) - 7 = -25 \ne 0 \)
\( x = -2 \) değeri paydayı sıfır yapıp payı sıfır yapmadığı için \( f \) fonksiyonunun bir dikey asimptotudur.
\( x \to -2^- \) iken \( 3x + 6 \to 0^- \) olur.
\( \lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{9x - 7}{3x + 6} = +\infty \)
\( x \to -2^+ \) iken \( 3x + 6 \to 0^+ \) olur.
\( \lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{9x - 7}{3x + 6} = -\infty \)
Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \) doğrusudur.
\( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{9x - 7}{3x + 6} \)
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x(9 - \frac{7}{x})}{x(3 + \frac{6}{x})} \)
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{9 - \frac{7}{x}}{3 + \frac{6}{x}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} {9} - \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{7}{x}}{\lim\limits_{x \to -\infty} {3} + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{6}{x}} \)
\( = \dfrac{9 - 0}{3 + 0} \)
\( = \dfrac{9}{3} = 3 \)
Buna göre \( y = 3 \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{9x - 7}{3x + 6} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x(9 - \frac{7}{x})}{x(3 + \frac{6}{x})} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{9 - \frac{7}{x}}{3 + \frac{6}{x}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to \infty} {9} - \lim\limits_{x \to \infty} \frac{7}{x}}{\lim\limits_{x \to \infty} {3} + \lim\limits_{x \to \infty} \frac{6}{x}} \)
\( = \dfrac{9 - 0}{3 + 0} \)
\( = \dfrac{9}{3} = 3 \)
Buna göre \( y = 3 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.
\( f(x) = \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} \) fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.
Çözümü GösterRasyonel ifadelerde paydadaki ifadeyi sıfır yapan, ama paydaki ifadeyi sıfır yapmayan \( x \) değerlerinde birer dikey asimptot oluşur.
Paydayı sıfıra eşitleyelim.
\( \sqrt{x^2 + 2x - 3} = 0 \)
\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
\( (x + 3)(x - 1) = 0 \)
\( x = -3 \) ya da \( x = 1 \)
Bu değerlerin payı sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( 5(-3) + 4 = -11 \ne 0 \)
\( 5(1) + 4 = 9 \ne 0 \)
\( x = -3 \) ve \( x = 1 \) değerleri paydayı sıfır yapıp payı sıfır yapmadığı için \( f \) fonksiyonunun birer dikey asimptotudur.
\( x \to -3^- \) iken \( x^2 + 2x - 3 \to 0^+ \) olur.
\( \lim\limits_{x \to -3^-} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} = -\infty \)
\( x \to 1^+ \) iken \( x^2 + 2x - 3 \to 0^+ \) olur.
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} = +\infty \)
\( x \in (-3, 1) \) aralığında karekök ifadesi tanımsız olduğu için \( f \) fonksiyonu bu aralıkta tanımsız olur.
Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \) doğrusudur.
\( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} \)
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2})}} \)
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{\abs{x}\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
\( x \to -\infty \) iken \( \abs{x} = -x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to -\infty} -\dfrac{5 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
\( = -\dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} {5} + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{4}{x}}{\lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
\( = -\dfrac{\lim\limits_{x \to -\infty} {5} + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{4}{x}}{\sqrt{\lim\limits_{x \to -\infty} {1} + \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{2}{x} - \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{3}{x^2}}} \)
\( = -\dfrac{5 + 0}{\sqrt{1 + 0 - 0}} \)
\( = -\dfrac{5}{1} = -5 \)
Buna göre \( y = -5 \) doğrusu \( x \) negatif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x + 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2})}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{\abs{x}\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
\( x \to \infty \) iken \( \abs{x} = x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x(5 + \frac{4}{x})}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to \infty} {5} + \lim\limits_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}} \)
\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to \infty} {5} + \lim\limits_{x \to \infty} \frac{4}{x}}{\sqrt{\lim\limits_{x \to \infty} {1} + \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2}{x} - \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3}{x^2}}} \)
\( = \dfrac{5 + 0}{\sqrt{1 + 0 - 0}} \)
\( = \dfrac{5}{1} = 5 \)
Buna göre \( y = 5 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.
\( f(x) = \sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x} \) fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.
Çözümü GösterBir fonksiyonda \( x \) belirli bir \( a \) değerine soldan veya sağdan yaklaştıkça \( y \) değeri pozitif ya da negatif sonsuza gidiyorsa fonksiyonun bu \( a \) değerinde bir dikey asimptotu vardır ve denklemi \( x = a \) doğrusudur.
Bir karekök ifadesinin içi negatif olamayacağı için verilen fonksiyon sadece \( x \ge 0 \) için tanımlıdır.
\( \lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) olacak şekilde bir \( a \) değeri olmadığı için \( f \) fonksiyonunun dikey asimptotu yoktur.
Bir fonksiyonda \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken fonksiyon değeri belirli bir \( a \) reel sayı değerine yaklaşıyorsa bu \( a \) değerinde fonksiyonun bir yatay asimptotu vardır ve denklemi \( y = a \) doğrusudur.
\( f \) fonksiyonu sadece \( x \ge 0 \) için tanımlı olduğu için sadece \( x \to \infty \) durumunu ele alabiliriz.
\( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyonun limitini alalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x}) \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{2x + 1} = +\infty \)
ve
\( \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{2x} = +\infty \)
olduğu için \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki ifadenin eşleniği ile çarpalım.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x})(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x})}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{(\sqrt{2x + 1})^2 - (\sqrt{2x})^2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x + 1 - 2x}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)
\( = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2x}} \)
\( x \to \infty \) iken paydadaki ifade pozitif sonsuza gider.
\( = 0 \)
Buna göre \( y = 0 \) doğrusu \( x \) pozitif sonsuza giderken \( f \) fonksiyonunun yatay asimptotudur.