Limit işlem kuralları bölümünde bir noktada limiti olan iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü olan fonksiyonların da bu noktada limitinin olduğunu ve bu limit değerinin fonksiyonların bu noktadaki ayrı ayrı limit değerlerinin sırasıyla toplamı, farkı, çarpımı ya da bölümü olduğunu belirtmiştik.
Bu bölümde bu işlemlere tersten bakarak, iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ya da bölümü olan bir fonksiyonun bir noktada limiti tanımlı ise bu fonksiyonu oluşturan fonksiyonların limitlerinin aynı noktada tanımlı olmayabileceğine birer örnek vereceğiz.
Aşağıdaki örnekteki iki fonksiyonun toplamı olan fonksiyonun belirtilen noktada limiti tanımlıdır, ancak fonksiyonların bu noktada ayrı ayrı limitleri tanımsızdır.
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
\( g(x) = -\dfrac{1}{x} \)
Bu iki fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında limitleri tanımsızdır.
\( \lim_{x \to 0} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız
\( \lim_{x \to 0} g(x) \Longrightarrow \) Tanımsız
Bu fonksiyonların toplamı olan fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( h(x) = f(x) + g(x) = \dfrac{1}{x} + (-\dfrac{1}{x}) = 0 \)
Bu toplam fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasında limiti vardır ve \( 0 \)'dır.
\( \lim_{x \to 0} h(x) = 0 \)
Aşağıdaki örnekteki iki fonksiyonun farkı olan fonksiyonun belirtilen noktada limiti tanımlıdır, ancak fonksiyonların bu noktada ayrı ayrı limitleri tanımsızdır.
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
Bu fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında limiti tanımsızdır.
\( \lim_{x \to 0} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız
Bu fonksiyonun kendisinden farkı olan fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( h(x) = f(x) - f(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} = 0 \)
Bu fark fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasında limiti vardır ve \( 0 \)'dır.
\( \lim_{x \to 0} h(x) = 0 \)
Aşağıdaki örnekteki iki fonksiyonun çarpımı olan fonksiyonun belirtilen noktada limiti tanımlıdır, ancak fonksiyonların bu noktada ayrı ayrı limitleri tanımsızdır.
\( f(x) = \begin{cases} -2 & x \lt 1 \\ 3 & 1 \le x \end{cases} \)
\( g(x) = \begin{cases} -3 & x \lt 1 \\ 2 & 1 \le x \end{cases} \)
Bu iki fonksiyonun \( x = 1 \) noktasında limitleri tanımsızdır.
\( \lim_{x \to 1} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız
\( \lim_{x \to 1} g(x) \Longrightarrow \) Tanımsız
Bu fonksiyonların çarpımı olan fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( h(x) = f(x) \cdot g(x) = \begin{cases} 6 & x \lt 1 \\ 6 & 1 \le x \end{cases} = 6 \)
Bu çarpım fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasında limiti vardır ve \( 6 \)'dır.
\( \lim_{x \to 1} h(x) = 6 \)
Aşağıdaki örnekteki iki fonksiyonun bölümü olan fonksiyonun belirtilen noktada limiti tanımlıdır, ancak fonksiyonların bu noktada ayrı ayrı limitleri tanımsızdır.
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
Bu fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında limiti tanımsızdır.
\( \lim_{x \to 0} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız
Bu fonksiyonun kendisine bölümü olan fonksiyon aşağıdaki gibidir.
\( h(x) = \dfrac{f(x)}{f(x)} = \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \)
Bu bölüm fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasında limiti vardır ve \( 1 \)'dir.
\( \lim_{x \to 0} h(x) = 1 \)