Sonsuzda Limit
Şu ana kadar verdiğimiz örneklerde fonksiyonların \( x \) bir reel sayıya yaklaşırkenki limit değerini hesapladık. Bu bölümde \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderkenki limit değerinden bahsedeceğiz.
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni pozitif ya da negatif yönde gitgide artan çok büyük değerler aldığında \( f(x) \)'in yaklaştığı değere, \( f \) fonksiyonunun pozitif ya da negatif sonsuzdaki limiti denir. Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti bir reel sayı olabilir, pozitif ya da negatif sonsuz olabilir ya da tanımsız olabilir.
\( x \) belirli bir sayıya yaklaşırken limit:
\( \lim_{x \to a} f(x) \)
\( x \) pozitif sonsuza giderken limit:
\( \lim_{x \to \infty} f(x) \)
\( x \) negatif sonsuza giderken limit:
\( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)
Aşağıdaki şekilde bir fonksiyonun pozitif ve negatif sonsuzda yaklaştığı reel sayı limit değerleri gösterilmiştir.
Trigonometrik fonksiyonların ve sabit fonksiyon dışındaki diğer periyodik fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzda limitleri yoktur.
Bazı Fonksiyonların Sonsuzda Limiti
Aşağıda bazı temel fonksiyonların pozitif ve negatif sonsuzdaki limit değerleri verilmiştir. Tek terimli fonksiyonlarda bu terimin, çok terimli fonksiyonlarda en yüksek dereceli terimin işareti negatif olduğunda sonsuzdaki davranış da ters yönde olacaktır.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Doğrusal fonksiyon (\( a \gt 0 \)) \( f(x) = ax + b \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty \) \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon \( x \) ile aynı yönde sonsuza gider. \( a \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olur. |
|
Parabol (\( a \gt 0 \)) \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty \) \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \) \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider. \( a \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olur. |
|
Tek dereceli polinom fonksiyonu (\( a \gt 0 \)) \( f(x) = ax^{2n + 1} + \ldots \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty \) \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon \( x \) ile aynı yönde sonsuza gider. \( a \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olur. |
|
Çift dereceli polinom fonksiyonu (\( a \gt 0 \)) \( f(x) = ax^{2n} + \ldots \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty \) \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \) \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider. \( a \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olur. |
|
Üstel fonksiyon (\( a \gt 1 \)) \( f(x) = a^x \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty \) \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \) \( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider, \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır. |
|
Üstel fonksiyon (\( 0 \lt a \lt 1 \)) \( f(x) = a^x \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \) \( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır, \( x \) negatif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider. |
|
Logaritma fonksiyonu (\( a \gt 1 \)) \( f(x) = \log_a{x} \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty \) \( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyon pozitif sonsuza gider. Logaritma fonksiyonu negatif reel sayılarda tanımlı değildir. |
|
Logaritma fonksiyonu (\( 0 \lt a \lt 1 \)) \( f(x) = \log_a{x} \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty \) \( x \) pozitif sonsuza giderken fonksiyon negatif sonsuza gider. Logaritma fonksiyonu negatif reel sayılarda tanımlı değildir. |
|
Ters fonksiyon \( f(x) = \frac{1}{x} \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \) \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır. |
|
Sinüs fonksiyonu \( f(x) = \sin{x} \) \( \lim_{x \to \infty} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \Longrightarrow \) Tanımsız \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon tek bir değere yaklaşmadığı için sinüs fonksiyonunun pozitif ve negatif sonsuzda limiti yoktur. Bu durum tüm trigonometrik fonksiyonlar ve sabit fonksiyon dışındaki diğer periyodik fonksiyonlar için de geçerlidir. |
|
Rasyonel fonksiyon (\( m \lt n \)) \( p(x) = ax^m + \ldots \) \( q(x) = bx^n + \ldots \) \( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{q(x)} = 0 \) \( \lim_{x \to -\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = 0 \) Payının derecesi paydasının derecesinden küçük olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon sıfıra yaklaşır. |
|
Rasyonel fonksiyon (\( m = n \)) \( p(x) = ax^m + \ldots \) \( q(x) = bx^n + \ldots \) \( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{a}{b} \) \( \lim_{x \to -\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{a}{b} \) Payının derecesi paydasının derecesine eşit olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon polinomların başkatsayılarının oranına yaklaşır. |
|
Rasyonel fonksiyon (\( m \gt n, \frac{a}{b} \gt 0 \)) \( p(x) = ax^m + \ldots \) \( q(x) = bx^n + \ldots \) \( \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm \infty \) \( \lim_{x \to -\infty} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm \infty \) Payının derecesi paydasının derecesinden büyük olan rasyonel fonksiyonlarda \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon da pozitif ya da negatif sonsuza sonsuza gider. Pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimler aralarında sadeleştirildiğinde kalan ifade çift dereceli ise \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon pozitif yönde büyür. Pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimler aralarında sadeleştirildiğinde kalan ifade tek dereceli ise \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon \( x \) ile aynı yönde sonsuza gider. \( \frac{a}{b} \lt 0 \) olması durumunda sonsuzdaki davranışlar ters yönde olur. |
Yatay Asimptot
Bir \( f \) fonksiyonunda \( x \) değişkeni pozitif ya da negatif yönde gitgide artan çok büyük değerler aldığında \( f(x) \) belirli bir reel sayı \( L \) değerine yaklaşıyorsa \( y = L \) doğrusuna \( f \) fonksiyonunun bir yatay asimptotu denir.
Yatay asimptotlar sadece \( x \) pozitif ya da negatif sonsuza giderken oluşabilir ve bir fonksiyonun bu iki durumla sınırlı olmak üzere en fazla iki yatay asimptotu olabilir.
Yatay asimptotlar fonksiyon grafiğinin bir parçası olmayıp fonksiyonun asimptot civarındaki davranışının daha kolay anlaşılmasını sağlar.
Yatay asimptotların oluşabileceği durumlardan bazıları şunlardır:
- \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklindeki rasyonel fonksiyonlarda payın derecesi paydanın derecesinden küçükse \( y = 0 \) şeklinde tek bir yatay asimptot oluşur.
- \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklindeki rasyonel fonksiyonlarda payın derecesi paydanın derecesine eşitse ve pay ve paydanın başkatsayıları sırasıyla \( a \) ve \( b \) ise \( y = \frac{a}{b} \) şeklinde tek bir yatay asimptot oluşur.
- \( f(x) = k \cdot a^x + c \) şeklindeki üstel fonksiyonlarda \( y = c \) şeklinde tek bir yatay asimptot oluşur.
Aşağıdaki grafikte fonksiyon \( x \) negatif çok büyük değerler aldıkça \( f(x) = 2 \) değerine aşağıdan, \( x \) pozitif çok büyük değerler aldıkça aynı değere yukarıdan yaklaşmaktadır. \( y = 2 \) doğrusu her iki durum için de yatay asimptot olmaktadır.
