0/0 Belirsizliği

\( \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to -3} (x + 3) = -3 + 3 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3} = \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} \)

\( = \lim\limits_{x \to -3} (x + 2) \)

Doğrusal fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( = -3 + 2 = -1 \) bulunur.

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 1} (x^{40} - 1) = 1^{40} - 1 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 1} (x^{20} - 1) = 1^{20} - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Payı kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydadaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.

\( x^{40} - 1 \) \( = (x^{20})^2 - 1^2 \) \( = (x^{20} - 1)(x^{20} + 1) \)

Paydaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{40} - 1}{x^{20} - 1} \) \( = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^{20} - 1)(x^{20} + 1)}{x^{20} - 1} \)

\( = \lim_{x \to 1} (x^{20} + 1) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 1^{20} + 1 = 2 \) buluruz.

(a) seçeneği:

\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{(x - 2)^2} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 - 4) = (2^2 - 4) = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 2} (x - 2)^2 = (2 - 2)^2 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{(x - 2)^2} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2} \)

\( = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x + 2}{x - 2} \)

\( x = 2 \) değeri paydayı sıfır yaptığı, ancak payı sıfır yapmadığı için bu noktada bir dikey asimptot oluşur.

Bu noktadaki soldan ve sağdan limitleri inceleyelim.

\( \lim\limits_{x \to 2^-} \dfrac{x + 2}{x - 2} = -\infty \)

\( \lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{x + 2}{x - 2} = +\infty \)

Soldan ve sağdan limitler birer reel sayı olarak tanımlı olmadığı için fonksiyonun bir noktada limiti tanımlı değildir.

Fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekildeki gibidir.

(b) seçeneği:

\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)^2}{x^2 - 4} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 2} (x - 2)^2 = (2 - 2)^2 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)^2}{x^2 - 4} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} \)

\( = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{x + 2} \)

\( x = 2 \) değeri paydayı sıfır yapmadan payı sıfır yaptığı için rasyonel ifade bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{x + 2} = \dfrac{2 - 2}{2 + 2} \)

\( = \dfrac{0}{2} = 0 \)

Fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekildeki gibidir.

(c) seçeneği:

\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 2} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 2} (x - 2) = 2 - 2 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için çarpanlara ayırma ve sadeleştirme yöntemini kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \)

\( = \lim\limits_{x \to 2} (x + 2) \)

İfade bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( = 2 + 2 = 4 \)

Fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekildeki gibidir.

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) limitinde,

\( \lim_{x \to -3} (2x^2 + 5x - 3) = 2(-3)^2 + 5(-3) - 3 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to -3} (x^2 + 5x + 6) = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

-3 pay ve paydadaki ikinci derece ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır, bu yüzden iki ifadeyi de çarpanlarına ayıralım.

\( 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) \)

\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to -3} \dfrac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 5x + 6} \) \( = \lim_{x \to -3} \dfrac{(2x - 1)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} \)

\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{2x - 1}{x + 2} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{2(-3) - 1}{-3 + 2} \)

\( = \dfrac{-7}{-1} = 7 \) bulunur.

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 4} (x^3 - 6x^2 + 5x + 12) = 4^3 - 6(4)^2 + 5(4) + 12 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 4} (x - 4) = 4 - 4 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

4 pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x - 4 \)'e bölerek diğer çarpanını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).

\( x^3 - 6x^2 + 5x + 12 = (x - 4)(x^2 - 2x - 3) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 4} \dfrac{x^3 - 6x^2 + 5x + 12}{x - 4} \) \( = \lim_{x \to 4} \dfrac{(x - 4)(x^2 - 2x - 3)}{x - 4} \)

\( = \lim_{x \to 4} (x^2 - 2x - 3) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 4^2 - 2(4) - 3 \)

\( = 16 - 8 - 3 = 5 \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 8} {\dfrac{\frac{1}{x} - \frac{1}{8}}{x - 8}} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 8} {(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{8})} = 0 \) ve

\( \lim\limits_{x \to 8} {(x - 8)} = 0 \)

olduğu için, \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için paydaki kesirleri tek bir kesir olarak yazalım.

\( = \lim\limits_{x \to 8} {\dfrac{\frac{8 - x}{8x}}{{x - 8}}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 8} {\dfrac{-(x - 8)}{8x(x - 8)}} \)

Pay ve paydadaki ortak \( x - 8 \) çarpanını sadeleştirelim.

\( = \lim\limits_{x \to 8} {\dfrac{-1}{8x}} \)

Paydadaki ifade tüm reel sayılarda sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.

\( = \dfrac{-1}{8 \cdot 8} = -\dfrac{1}{64} \) bulunur.

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 2) = \sqrt[3]{8} - 2 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 8} (x - 8) = 8 - 8 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Paydayı küp farkı şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda paydaki ifadeyi bir çarpan olarak elde ederiz.

\( x - 8 = \sqrt[3]{x}^3 - 2^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) \)

Paydadaki ifadeyi yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} \) \( = \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \)

\( = \lim_{x \to 8} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8}^2 + 2\sqrt[3]{8} + 2^2} \)

\( = \dfrac{1}{2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2} \)

\( = \dfrac{1}{12} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 2} (x^3 - 2x^2 + 3x - 6) = 2^3 - 2(2)^2 + 3(2) - 6 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 2} (x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = 2^3 - 2(2)^2 + 4(2) - 8 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

\( x = 2 \) pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Pay ve paydadaki üçüncü dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile iki ifadeyi de \( x - 2 \)'ye bölerek diğer çarpanlarını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).

\( = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x^2 + 3)}{(x - 2)(x^2 + 4)} \)

\( = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 + 4} \)

Rasyonel ifade bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( = \dfrac{2^2 + 3}{2^2 + 4} = \dfrac{7}{8} = \dfrac{a}{8} \)

\( a = 7 \) olarak bulunur.

Verilen limit ifadesinin reel sayı bir sonucu olduğuna göre limitin tanımlı olduğu sonucuna varabiliriz.

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{ax^2 - 18}{x - 3} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 3 - 3 = 0 \)

olduğunu görüyoruz. Buna göre payın limitinin de sıfır olması ve ifadede giderilebilir bir \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği olması gerekir, aksi takdirde ifade \( c \ne 0 \) olacak şekilde \( \dfrac{c}{0} \) tanımsızlığına dönüşür. Buna göre payın limitini sıfıra eşitleyerek \( a \) değerini bulalım.

\( \lim_{x \to 3} (ax^2 - 18) = a3^2 - 18 = 0 \)

\( a = 2 \)

\( a \) değerini limit ifadesinde yerine koyalım ve çarpanlara ayırma yöntemiyle ifadeyi sadeleştirelim.

\( \lim_{x \to 3} \dfrac{2x^2 - 18}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x^2 - 9)}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} \dfrac{2(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \)

\( = \lim_{x \to 3} 2(x + 3) \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = 2(3 + 3) = 12 = b \)

Buna göre, \( a + b = 2 + 12 = 14 \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18}{x^2 + 2x - 3} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 1} (x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18) = 1^4 + 2(1)^3 - 9(1)^2 - 12(1) + 18 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 1} (x^2 + 2x - 3) = 1^2 + 2(1) - 3 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

\( x = 1 \) pay ve paydadaki ifadelerin ikisini de sıfır yaptığı için iki ifadenin de bir kökü olmalıdır. Paydaki üçüncü dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için elimizde kolay bir yöntem olmadığı için polinom bölmesi ile bu ifadeyi \( x^2 + 2x - 3 \)'e bölerek diğer çarpanını bulalım (polinom bölme işleminin detaylarını burada vermeyeceğiz).

\( x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18 = (x^2 + 2x - 3)(x^2 - 6) \)

Pay ve paydadaki ifadeleri yukarıdaki şekilde çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^4 + 2x^3 - 9x^2 - 12x + 18}{x^2 + 2x - 3} = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x^2 + 2x - 3)(x^2 - 6)}{x^2 + 2x - 3} \)

\( = \lim\limits_{x \to 1} (x^2 - 6) \)

Polinom fonksiyonları tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti hesaplayabiliriz.

\( = 1^2 - 6 = -5 \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{5 - \sqrt{2x + 1}}{x^2 - 7x - 60} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 12} (5 - \sqrt{2x + 1}) = 5 - \sqrt{25} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 12} (x^2 - 7x - 60) = 12^2 - 7(12) - 60 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı payın eşleniği ile çarpalım.

\( \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{(5 - \sqrt{2x + 1})(5 + \sqrt{2x + 1})}{(x^2 - 7x - 60)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)

\( =\lim\limits_{x \to 12} \dfrac{5^2 - (\sqrt{2x + 1})^2}{(x^2 - 7x - 60)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)

\( = \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{25 - (2x + 1)}{(x^2 - 7x - 60)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)

\( = \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{2(12 - x)}{(x - 12)(x + 5)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)

\( = \lim\limits_{x \to 12} \dfrac{-2}{(x + 5)(5 + \sqrt{2x + 1})} \)

Bu limit ifadesinin paydası \( x = 12 \) noktasında sıfır olmadığı için fonksiyon bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( = \dfrac{-2}{(12 + 5)(5 + \sqrt{2(12) + 1})} \)

\( = -\dfrac{2}{17(5 + 5)} = -\dfrac{1}{85} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 5} {\dfrac{\sqrt{x - 3} - \sqrt{2}}{x - 5}} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 5} (\sqrt{x - 3} - \sqrt{2}) = 0 \) ve

\( \lim\limits_{x \to 5} (x - 5) = 0 \)

olduğu için, \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki ifadenin eşleniği ile çarpalım.

\( = \lim\limits_{x \to 5} (\dfrac{\sqrt{x - 3} - \sqrt{2}}{x - 5} \cdot \dfrac{\sqrt{x - 3} + \sqrt{2}}{\sqrt{x - 3} + \sqrt{2}}) \)

\( = \lim\limits_{x \to 5} {\dfrac{(\sqrt{x - 3})^2 - (\sqrt{2})^2}{(x - 5)(\sqrt{x - 3} + \sqrt{2})}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 5} {\dfrac{x - 3 - 2}{(x - 5)(\sqrt{x - 3} + \sqrt{2})}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 5} {\dfrac{x - 5}{(x - 5)(\sqrt{x - 3} + \sqrt{2})}} \)

Pay ve paydadaki ortak \( x - 5 \) çarpanını sadeleştirelim.

\( = \lim\limits_{x \to 5} {\dfrac{1}{\sqrt{x - 3} + \sqrt{2}}} \)

Paydadaki ifade tanım kümesi içinde sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini bulabiliriz.

\( = \dfrac{1}{\sqrt{5 - 3} + \sqrt{2}} \)

\( = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \) bulunur.

\( \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \) limitinde,

\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x + 7} - 3) = \sqrt{2 + 7} - 3 = 0 \)

ve

\( \lim_{x \to 2} (\sqrt{x - 1} - 1) = \sqrt{2 - 1} - 1 = 0 \)

olduğu için, \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Hem pay hem de payda köklü ifade içerdiği için, bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı bu iki köklü ifadenin eşlenikleri ile çarpalım.

\( \lim_{x \to 2} [ \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{\sqrt{x - 1} - 1} \cdot \) \( \dfrac{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x + 7} + 3)(\sqrt{x - 1} + 1)} ] \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(\sqrt{x + 7}^2 - 3^2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(\sqrt{x - 1}^2 - 1^2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x + 7 - 9)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 1 - 1)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} \)

Pay ve paydadaki ortak \( (x - 2) \) çarpanını sadeleştirelim.

\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x - 1} + 1}{\sqrt{x + 7} + 3} \)

Pay ve paydayı sıfır yapan çarpanları sadeleştirmiş olduk. Kalan ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{\sqrt{2 - 1} + 1}{\sqrt{2 + 7} + 3} \)

\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} - 3}{x - 8} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 8} {(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} - 3)} = \sqrt{9} - 3 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 8} {(x - 8)} = 8 - 8 = 0 \)

olduğu için \( \dfrac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım.

\( \lim\limits_{x \to 8} (\dfrac{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} - 3}{x - 8} \cdot \dfrac{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3}{\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3}) \)

\( = \lim\limits_{x \to 8}\dfrac{(\sqrt{\frac{x}{2} + 5})^2 - 3^2}{(x - 8)(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3)} \)

\( = \lim\limits_{x \to 8}\dfrac{\frac{x}{2} + 5 - 9}{(x - 8)(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3)} \)

\( = \lim\limits_{x \to 8}\dfrac{\frac{x}{2} - 4}{2(\frac{x}{2} - 4)(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3)} \)

\( = \lim\limits_{x \to 8} \dfrac{1}{2(\sqrt{\frac{x}{2} + 5} + 3)} \)

Belirsizlik ortadan kalktığı için bu ifadede direkt yerine koyma yöntemiyle limit değerini bulabiliriz.

\( = \dfrac{1}{2(\sqrt{\frac{8}{2} + 5} + 3)} \)

\( = \dfrac{1}{12} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x\cos{x}} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} \sin(2x) = \sin{0} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} (x\cos{x}) = 0\cos{0} = 0 \cdot 1 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için trigonometrik özdeşlikleri kullanalım.

Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{x\cos{x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{x} \)

\( = 2\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)

\( = 2 \cdot 1 = 2 \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x(1 + \cos{x})} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - \cos{0} = 1 - 1 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} (x(1 + \cos{x})) = 0(1 + \cos{0}) = 0 \cdot 2 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için trigonometrik özdeşlikleri kullanalım.

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos(2x) = 2\cos^2{x} - 1 \)

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - (2\cos^2{x} - 1)}{x(1 + \cos{x})} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 - 2\cos^2{x}}{x(1 + \cos{x})} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos^2{x})}{x(1 + \cos{x})} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{x(1 + \cos{x})} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2(1 - \cos{x})}{x} \)

\( = 2\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \)

\( = 2 \cdot 0 = 0 \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5\sin(9x)}{2\sin(7x)} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} (5\sin(9x)) = 5\sin{0} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} (2\sin(7x)) = 2\sin{0} = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Payı ve paydayı \( x \) ile çarpalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5\sin(9x) \cdot x}{2\sin(7x) \cdot x} \)

Limit ifadesini düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin(9x)}{2x} \cdot \dfrac{5x}{\sin(7x)}) \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(9x)}{2x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5x}{\sin(7x)} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)

\( = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{5}{7} \)

\( = \dfrac{45}{14} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{\sin{x}\cos{x}} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} (1 - \cos(2x)) = 1 - \cos{0} = 1 - 1 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} (\sin{x}\cos{x}) = \sin{0}\cos{0} = 0 \cdot 1 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için trigonometrik özdeşlikleri kullanalım.

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - (1 - 2\sin^2{x})}{\sin{x}\cos{x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\sin{x}}{\cos{x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} (2\tan{x}) \)

Tanjant fonksiyonu \( x = 0 \) noktasında tanımlı ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti bulabiliriz.

\( = 2\tan{0} = 0 \) bulunur.

\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{7h^2 + 4h} \) limitinde,

\( \lim\limits_{h \to 0} \sin(3h) = \sin{0} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{h \to 0} (7h^2 + 4h) = 7(0)^2 + 4(0) = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Limit ifadesini düzenleyelim.

\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{7h^2 + 4h} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{h(7h + 4)} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} (\dfrac{\sin(3h)}{h} \cdot \dfrac{1}{7h + 4}) \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin(3h)}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{7h + 4} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)

\( = \dfrac{3}{1} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{7h + 4} \)

Limiti alınan ifade \( h = 0 \) noktasında tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( = 3 \cdot \dfrac{1}{7(0) + 4} = \dfrac{3}{4} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x^2} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} (1 - \cos{x}) = 1 - 1 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0^2 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Belirsizliği gidermek için payı ve paydayı paydaki ifadenin eşleniği ile çarpalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{x^2(1 + \cos{x})} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos^2{x}}{x^2(1 + \cos{x})} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2{x}}{x^2(1 + \cos{x})} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos{x}}) \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, üç çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi üç limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{1 + \cos{x}} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)

\( = 1 \cdot 1 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{1 + \cos{x}} \)

Üçüncü çarpan \( x = 0 \) noktasında tanımlı ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.

\( = \dfrac{1}{1 + \cos{0}} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{x^4 - \pi^4} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to \pi} \sin(x - \pi) = \sin(\pi - \pi) = \sin{0} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to \pi} (x^4 - \pi^4) = \pi^4 - \pi^4 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{x^4 - \pi^4} = \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{(x^2 - \pi^2)(x^2 + \pi^2)} \)

\( = \lim\limits_{x \to \pi} \dfrac{\sin(x - \pi)}{(x - \pi)(x + \pi)(x^2 + \pi^2)} \)

Sinüs fonksiyonunun içindeki ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.

\( h = x - \pi \Longrightarrow x = h + \pi \)

\( x \to \pi \) iken \( h \to 0 \) olur.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h(h + \pi + \pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]} \)

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h(h + 2\pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{h \to 0} (\dfrac{\sin{h}}{h} \cdot \dfrac{1}{(h + 2\pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]}) \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{(h + 2\pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h} = 1 \)

\( = 1 \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{(h + 2\pi)[(h + \pi)^2 + \pi^2]} \)

İkinci çarpan \( h = 0 \) noktasında tanımlı ve sürekli olduğu için doğrudan yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.

\( = \dfrac{1}{(0 + 2\pi)[(0 + \pi)^2 + \pi^2]} \)

\( = \dfrac{1}{2\pi(2\pi^2)} = \dfrac{1}{4\pi^3} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\cos{x} - 4}{5\sin{x}} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} (4\cos{x} - 4) = 4(1) - 4 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} \sin{x} = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için limit ifadesinin payını ve paydasını \( x \)'e bölelim.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\cos{x} - 4}{5\sin{x}} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{4(\cos{x} - 1)}{x}}{\frac{5\sin{x}}{x}} \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, payın ve paydanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin bölümü şeklinde yazabiliriz.

\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{4(\cos{x} - 1)}{x}}{\lim\limits_{x \to 0} \frac{5\sin{x}}{x}} \)

\( = \dfrac{4\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{x}}{5\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x} = 0 \)

\( = \dfrac{4 \cdot 0}{5 \cdot 1} = 0 \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(11x)}{\sin(5x)} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} \tan(11x) = \tan{0} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} \sin(5x) = \sin{0} = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için tanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(11x)}{\sin(5x)} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(11x)}{\cos(11x)}}{\sin(5x)} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(11x)}{\cos(11x)\sin(5x)} \)

İfadenin payını ve paydasını \( x \) ile çarpalım.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x\sin(11x)}{x\cos(11x)\sin(5x)} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{1}{\cos(11x)} \cdot \dfrac{\sin(11x)}{x} \cdot \dfrac{x}{\sin(5x)}) \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, üç çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi üç limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(11x)} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(11x)}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin(5x)} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(11x)} \cdot \dfrac{11}{1} \cdot \dfrac{1}{5} \)

Birinci çarpandaki ifade \( x = 0 \) noktasında tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( = \dfrac{1}{\cos{0}} \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{11}{5} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{x^2 + x - 12} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 3} \sin(x - 3) = \sin{0} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 3} (x^2 + x - 12) = 3^2 + 3 - 12 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Limit ifadesini düzenleyelim.

\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{x^2 + x - 12} = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sin(x - 3)}{(x - 3)(x + 4)} \)

Bu belirsizliği gidermek için sinüs fonksiyonunun içindeki ifadeye değişken değiştirme yöntemi uygulayalım.

\( h = x - 3 \Longrightarrow x = h + 3 \)

\( x \to 3 \) iken \( h \to 0 \) olur.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h((h + 3) + 4)} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h(h + 7)} \)

Limit ifadesini düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{h \to 0} (\dfrac{\sin{h}}{h} \cdot \dfrac{1}{h + 7}) \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\( = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h + 7} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1 \)

\( = 1 \cdot \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h + 7} \)

İkinci çarpandaki ifade \( h = 0 \) noktasında tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( = 1 \cdot \dfrac{1}{0 + 7} = \dfrac{1}{7} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x)}{x + \tan{x}} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} \sin(2x) = \sin{0} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} (x + \tan{x}) = 0 + \tan{0} = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Bu belirsizliği gidermek için payı ve paydayı \( \frac{1}{x} \) ile çarpalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(2x) \cdot \frac{1}{x}}{(x + \tan{x}) \cdot \frac{1}{x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(2x)}{x}}{\frac{x + \tan{x}}{x}} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(2x)}{x}}{1 + \frac{\tan{x}}{x}} \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, payın ve paydanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin bölümü şeklinde yazabiliriz.

\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}}{\lim\limits_{x \to 0} (1 + \frac{\tan{x}}{x})} \)

\( = \dfrac{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}}{\lim\limits_{x \to 0} 1 + \lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x}} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan{x}}{x} = 1 \)

\( = \dfrac{\frac{2}{1}}{1 + 1} = 1 \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^7\sin(13x)}{\sin^8(2x)} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} (x^7\sin(13x)) = 0^7\sin{0} = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} \sin^8(2x) = \sin^8{0} = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Payı ve paydayı \( x \) ile çarpalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^7\sin(13x) \cdot x}{\sin^8(2x) \cdot x} \)

Limit ifadesini düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin(13x)}{x} \cdot \dfrac{x^8}{\sin^8(2x)}) \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(13x)}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^8}{\sin^8(2x)} \)

Limiti tanımlı bir ifadenin üssünün limiti limitinin üssüne eşittir.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(13x)}{x} \cdot (\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin(2x)})^8 \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)

\( = 13 \cdot (\dfrac{1}{2})^8 = \dfrac{13}{256} \) bulunur.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(5x) - \sin(5x)}{x^3} \) limitinde,

\( \lim\limits_{x \to 0} (\tan(5x) - \sin(5x)) = \tan{0} - \sin{0} = 0 - 0 = 0 \)

ve

\( \lim\limits_{x \to 0} x^3 = 0^3 = 0 \)

olduğu için \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır.

Tanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan(5x) - \sin(5x)}{x^3} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)} - \sin(5x)}{x^3} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{\sin(5x) - \sin(5x)\cos(5x)}{\cos(5x)}}{x^3} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)(1 - \cos(5x))}{x^3 \cos(5x)} \)

Payı ve paydayı \( (1 + \cos(5x)) \) ile çarpalım.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)(1 - \cos(5x)) (1 + \cos(5x))}{x^3\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)(1 - \cos^2(5x))}{x^3\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)

Pisagor özdeşliğini kullanalım.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)\sin^2(5x)}{x^3\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^3(5x)}{x^3\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)

Limit ifadesini düzenleyelim.

\( = \lim\limits_{x \to 0} (\dfrac{\sin^3(5x)}{x^3} \cdot \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))}) \)

Aşağıda göstereceğimiz üzere, iki çarpanın limiti ayrı ayrı birer reel sayı olarak tanımlı olduğu için ifadeyi iki limitin çarpımı şeklinde yazabiliriz.

\( = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^3(5x)}{x^3} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)

Limiti tanımlı bir ifadenin üssünün limiti limitinin üssüne eşittir.

\( = (\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x})^3 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)

İspatıyla birlikte verdiğimiz trigonometrik limit kurallarını kullanalım.

\( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{bx} = \dfrac{a}{b} \)

\( = 5^3 \cdot \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)

\( = 125\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\cos(5x)(1 + \cos(5x))} \)

Limiti alınan ifade \( x = 0 \) noktasında tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.

\( = 125 \cdot \dfrac{1}{1 \cdot (1 + 1)} \)

\( = \dfrac{125}{2} \) bulunur.