Doğrudan Yerine Koyma Yöntemi
Önceki bölümde polinom fonksiyonları gibi bazı fonksiyonlarda limitini bulmak istediğimiz değeri ilgili fonksiyonda \( x \) yerine koyarak tek adımda limit değerini hesaplayabileceğimizi gördük. Bu şekilde limit hesaplama yöntemine doğrudan yerine koyma yöntemi denir.
\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)
Limitin tanımında limitin bir noktadaki fonksiyon değeri ile değil, fonksiyonun o nokta civarındaki davranışı ile ilgilendiğini belirtmiştik. Bu açıdan bakınca limit değerini bulmak için fonksiyon değerini hesaplıyor olmamız bir çelişki gibi gözükebilir.
Doğrudan yerine koyma yöntemini kullanabilmemiz için yeterli bir koşul, fonksiyonun limitini bulmak istediğimiz noktayı içeren açık bir aralıkta sürekli olmasıdır. Önümüzdeki bölümde detaylı inceleyeceğimiz süreklilik kavramına göre, bir fonksiyon bir noktada sürekli ise fonksiyonun o noktada limiti tanımlıdır ve limit değeri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir. Dolayısıyla limitini bulmak istediğimiz noktada sürekli olduğunu bildiğimiz bir fonksiyonun o noktadaki fonksiyon değerini hesapladığımızda limit değerini de bulmuş oluruz.
Süreklilik tanımına bir sonraki konuda girecek olsak da, şu noktada lise müfredatında karşılaştığımız fonksiyonların büyük bir kısmının tanım aralıklarında sürekli olduklarını söyleyebiliriz. Bu fonksiyonlar ve sürekli oldukları en geniş aralıklar aşağıdaki tabloda belirtilmiştir, dolayısıyla bu fonksiyonlar için belirtilen aralıklarda doğrudan yerine koyma yöntemiyle limit hesaplayabiliriz.
| Fonksiyon | Denklem | Sürekli Olduğu En Geniş Aralık |
|---|---|---|
| Sabit fonksiyon | \( f(x) = c \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Doğrusal fonksiyon | \( f(x) = mx + c \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Kuvvet fonksiyonu | \( f(x) = x^n \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Köklü fonksiyon (çift dereceli) | \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) | \( [0, \infty) \) için sürekli |
| Köklü fonksiyon (tek dereceli) | \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Mutlak değer fonksiyonu | \( f(x) = \abs{x} \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Polinom fonksiyonu | \( f(x) = a_nx^n + \ldots + a_0 \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Rasyonel fonksiyon | \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) | Paydayı sıfır yapan reel kökler dışında tüm reel sayılar için sürekli |
| Sinüs fonksiyonu | \( f(x) = \sin{x} \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Kosinüs fonksiyonu | \( f(x) = \cos{x} \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Tanjant fonksiyonu | \( f(x) = \tan{x} \) | \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) dışında tüm reel sayılar için sürekli |
| Kotanjant fonksiyonu | \( f(x) = \cot{x} \) | \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) dışında tüm reel sayılar için sürekli |
| Sekant fonksiyonu | \( f(x) = \sec{x} \) | \( \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \} \) dışında tüm reel sayılar için sürekli |
| Kosekant fonksiyonu | \( f(x) = \csc{x} \) | \( \{ \ldots, 0, \pi, 2\pi, \ldots \} \) dışında tüm reel sayılar için sürekli |
| Üstel fonksiyon | \( f(x) = a^x \) | Tüm reel sayılar için sürekli |
| Logaritma fonksiyonu | \( f(x) = \log_a{x} \) | \( (0, \infty) \) için sürekli |
Yukarıdaki fonksiyonların tanımlarında \( x \) olarak belirttiğimiz ifadelerin yerine bir diğer fonksiyon gelmesi durumunda, bu fonksiyonun süreksiz veya tanımsız olduğu noktalar \( f(x) \) fonksiyonunu da süreksiz ve tanımsız yapacaktır.
\( \lim_{x \to 4} (x^3 - 2^x + 2\sqrt{x} - 12) \) ifadesinin limit değeri kaçtır?
Çözümü GösterLimiti alınan ifadenin terimlerinden \( x^3 \) ve \( 2^x \) tüm reel sayılarda, \( \sqrt{x} \) pozitif reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = 4 \) noktasında süreklidirler ve limitleri tanımlıdır. Dolayısıyla limit toplama kuralı ile limit ifadesini terimlere dağıtıp doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 4} (x^3 - 2^x + 2\sqrt{x} - 12) \)
\( = \lim_{x \to 4} {x^3} - \lim_{x \to 4} {2^x} + \lim_{x \to 4} {2\sqrt{x}} - \lim_{x \to 4} {12} \)
\( = 4^3 - 2^4 + 2\sqrt{4} - 12 \)
\( = 64 - 16 + 4 - 12 = 40 \) bulunur.
\( \lim_{a \to 3} \dfrac{a\sqrt{a} - a}{a - 2} \) limitinin sonucunu bulun.
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.
Paydaki \( a\sqrt{a} \) ifadesi pozitif reel sayılarda, diğer terimler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( a = 3 \) noktasında süreklidirler, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( \lim_{a \to 3} (a\sqrt{a} - a) = 3\sqrt{3} - 3 \)
\( \lim_{a \to 3} (a - 2) = 3 - 2 = 1 \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{a \to 3} \dfrac{a\sqrt{a} - a}{a - 2} = \dfrac{\lim_{a \to 3} (a\sqrt{a} - a)}{\lim_{a \to 3} (a - 2)} \)
\( = \dfrac{3\sqrt{3} - 3}{1} = 3\sqrt{3} - 3 \) bulunur.
\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 5x + 4}{\sqrt[3]{x^3 + 3x - 6}} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.
Pay ve paydadaki ifadeler tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = 2 \) noktasında süreklidirler, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to 2} (x^2 + 5x + 4) = 2^2 + 5 \cdot 2 = 4 = 18 \)
\( \lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 3x - 6} = \sqrt[3]{2^3 + 3 \cdot 2 - 6} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 5x + 4}{\sqrt[3]{x^3 + 3x - 6}} = \dfrac{\lim_{x \to 2} (x^2 + 5x + 4)}{\lim_{x \to 2} \sqrt[3]{x^3 + 3x - 6}} \)
\( = \dfrac{18}{2} = 9 \) bulunur.
\( \lim_{x \to e} \dfrac{\ln{x} - e^2}{\frac{x}{e} - x} \) limitinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖnce pay ve paydadaki ifadelerin ayrı ayrı limitini bulalım.
Paydaki logaritma fonksiyonu pozitif reel sayılarda, paydadaki doğrusal fonksiyon tüm reel sayılarda sürekli oldukları için \( x = e \) noktasında süreklidirler, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limit değerlerini bulabiliriz.
\( \lim_{x \to e} (\ln{x} - e^2) = \ln{e} - e^2 \) \( = 1 - e^2 \)
\( \lim_{x \to e} (\dfrac{x}{e} - x) = \dfrac{e}{e} - e \) \( = 1 - e \)
Pay ve paydadaki ifadelerin limiti tanımlı ve paydadaki ifadenin limiti sıfırdan farklı olduğu için limit bölme kuralını kullanabiliriz.
\( \lim_{x \to e} \dfrac{\ln{x} - e^2}{\frac{x}{e} - x} = \dfrac{\lim_{x \to e} (\ln{x} - e^2)}{\lim_{x \to e} (\frac{x}{e} - x)} \)
\( = \dfrac{1 - e^2}{1 - e} \)
Paydaki ifadeye kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = \dfrac{(1 - e)(1 + e)}{1 - e} \)
\( = 1 + e \) bulunur.
\( \lim_{x \to a^-} \abs{x - 4} + \lim_{x \to a^+} \abs{7 - x} = 3 \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamları kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{ax + b} \) şeklindeki bir mutlak değer fonksiyonun grafiği süreklidir, dolayısıyla fonksiyonun herhangi bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri o noktadaki fonksiyon değerine eşittir.
Buna göre verilen limit değerlerini direkt yerine koyma yöntemi ile bulabiliriz.
\( \abs{a - 4} + \abs{7 - a} = 3 \)
Bu denklemin kritik noktaları \( a = 4 \) ve \( a = 7 \)'dir. Buna göre bu kritik noktaların oluşturduğu üç aralık için ayrı denklemler yazalım.
Durum 1: \( a \lt 4 \) için:
\( -(a - 4) + (7 - a) = 3 \)
\( -a + 4 + 7 - a = 3 \)
\( a = 4 \)
\( a = 4 \) ilgili aralıkta olmadığı için bu aralıkta geçerli bir çözüm değildir.
Durum 2: \( 4 \le a \lt 7 \) için:
\( (a - 4) + (7 - a) = 3 \)
\( 3 = 3 \)
Her durumda geçerli bir eşitlik elde ettiğimiz için bu aralıktaki tüm \( a \) tam sayı değerleri geçerli birer çözümdür.
\( a \in \{4, 5, 6\} \)
Durum 3: \( 7 \le a \) için:
\( (a - 4) - (7 - a) = 3 \)
\( a - 4 - 7 + a = 3 \)
\( a = 7 \)
\( a = 7 \) ilgili aralıkta olduğu için geçerli bir çözümdür.
Eşitliğin çözüm kümesi üç aralık için bulduğumuz çözümlerin birleşim kümesidir.
Çözüm kümesi \( = \{4, 5, 6, 7\} \) olur.
Bu değerlerin toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 = 22 \) bulunur.