Sonsuz - Sonsuz Belirsizliği
\( \infty - \infty \) belirsizliği ayrı ayrı limitleri sonsuz olan iki ifadenin farkının limiti alındığında oluşur.
\( \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] \) limitinde,
\( \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \) ve \( \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty \) değerleri elde ediliyorsa,
bu limit için \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.
Bu belirsizliği gidermek için önce ifadeyi \( \frac{f(x)}{g(x)} \) şeklinde rasyonel bir ifadeye dönüştürmemiz gerekir. Elde ettiğimiz ifade için \( \frac{0}{0} \) ya da \( \frac{\infty}{\infty} \) belirsizliği söz konusu ise ilgili belirsizliği giderme yöntemlerden biri ile limiti bulmayı deneriz. Bu aşamada gerekli koşulların sağlanması durumunda L'Hospital kuralını da kullanabiliriz.
Bu tip belirsizliği bu yöntemi kullanarak nasıl giderebileceğimizi bir örnek üzerinden anlatalım.
\( \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - x} - x) \) limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 - x} = \infty \) ve \( \lim_{x \to \infty} x = \infty \) olduğu için \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.
İfadeyi eşleniği ile çarpıp bölerek rasyonel bir ifadeye çevirelim.
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\sqrt{x^2 - x} - x)(\sqrt{x^2 - x} + x)}{\sqrt{x^2 - x} + x} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2 - x}^2 - x^2}{\sqrt{x^2 - x} + x} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 - x - x^2}{\sqrt{x^2 - x} + x} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-x}{\sqrt{x^2 - x} + x} \)
Paydayı \( x \) parantezine alalım.
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-x}{x\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1} \)
Pay ve paydadaki \( x \)'leri sadeleştirelim.
\( = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + 1} \)
\( x \) pozitif sonsuza giderken \( \frac{1}{x} \) ifadesi sıfıra gider.
Buna göre limit değerini aşağıdaki şekilde buluruz.
\( = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - 0} + 1} \)
\( = -\dfrac{1}{2} \)
Şimdi de L'Hospital kuralını kullanmamızı gerektirecek bir örnek yapalım.
\( \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} (\sec{x} - \tan{x}) \) limit değerini bulalım.
\( \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \sec{x} = \infty \) ve \( \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \tan{x} = \infty \) olduğu için \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.
Her iki ifadeyi \( \sin{x} \) ve \( \cos{x} \) cinsinden yazalım.
\( = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} (\dfrac{1}{\cos{x}} - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}) \)
İfadeleri tek paydada birleştirelim.
\( = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \dfrac{1 - \sin{x}}{\cos{x}} \)
\( \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} (1 - \sin{x}) = 0 \) ve \( \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \cos{x} = 0 \) olduğu için belirsizlik \( \frac{0}{0} \) belirsizliğine dönüşmüş oldu, dolayısıyla L'Hospital kuralını uygulayabiliriz.
\( = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \dfrac{(1 - \sin{x})'}{(\cos{x})'} \)
\( = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \dfrac{0 - \cos{x}}{-\sin{x}} \)
\( = \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} \cot{x} \)
Kotanjant tanım aralığında sürekli bir fonksiyondur, dolayısıyla tanımlı olduğu bu noktadaki limit değeri fonksiyon değerine eşittir.
\( = \cot{\frac{\pi}{2}} = 0 \)
\( \lim_{x \to 2} (\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 4}) \) limitinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \lim_{x \to 2^-} \dfrac{1}{x - 2} = -\infty \)
\( \lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x - 2} = +\infty \)
\( \lim_{x \to 2^-} \dfrac{4}{x^2 - 4} = -\infty \)
\( \lim_{x \to 2^+} \dfrac{4}{x^2 - 4} = +\infty \)
\( x = 2 \) noktası için hem soldan hem de sağdan \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır, dolayısıyla ifadeyi \( \frac{f(x)}{g(x)} \) şeklinde bir ifadeye çevirmek için önce paydaları eşitleyelim.
\( \lim_{x \to 2} (\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)}) \)
\( = \lim_{x \to 2} (\dfrac{x + 2 - 4}{(x - 2)(x + 2)}) \)
\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \)
\( = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x + 2} \)
Belirsizlik ortadan kalktığı için rasyonel ifadede doğrudan yerine koyma yöntemi ile limiti bulabiliriz.
\( = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4} \) bulunur.
\( \lim\limits_{x \to 1} (\dfrac{2}{1 - x^8} - \dfrac{1}{1 - x^4}) \) limitinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( \lim\limits_{x \to 1} (\dfrac{2}{1 - x^8} - \dfrac{1}{1 - x^4}) \) limitinde,
\( \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{2}{1 - x^8} = +\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{2}{1 - x^8} = -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 1^-} \dfrac{1}{1 - x^4} = +\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{1}{1 - x^4} = -\infty \)
olduğu için \( \infty - \infty \) belirsizliği vardır.
Belirsizliği gidermek için terimlerin paydalarını eşitleyelim ve ifadeyi \( \frac{f(x)}{g(x)} \) formuna dönüştürelim.
\( \lim\limits_{x \to 1} (\dfrac{2}{(1 - x^4)(1 + x^4)} - \dfrac{1 + x^4}{(1 - x^4)(1 + x^4)}) \)
\( = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2 - (1 + x^4)}{(1 - x^4)(1 + x^4)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1 - x^4}{(1 - x^4)(1 + x^4)} \)
\( = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{1 + x^4} \)
Rasyonel ifade bu noktada tanımlı ve süreklidir, dolayısıyla doğrudan yerine koyma yöntemi ile limitini hesaplayabiliriz.
\( = \dfrac{1}{1 + 1^4} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.