Parabolün Grafiği
İnteraktif uygulama: Parabolün Katsayıları
Parabolün grafiği kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan ve tepe noktasından geçen simetri eksenine göre simetrik olan bir eğridir.
Bir parabol grafiğindeki önemli noktalar şunlardır.
\( T(r, k) \): Parabolün tepe noktası
\( A(x_1, 0) \) ve \( B(x_2, 0) \): Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar
\( C(0, c) \): Parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta
Parabolün Kollarının Yönü
Parabolün kolları denklemin başkatsayısının (\( a \)) işaretine bağlı olarak yukarı ya da aşağı yönlü olur.
Bir parabolün kolları;
- \( a \gt 0 \) ise yukarı yönlüdür,
- \( a \lt 0 \) ise aşağı yönlüdür.
\( x^2 \) ifadesi tüm \( x \) değerleri için pozitif olduğu için, \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon değerinin işaretini parabolün başkatsayısı belirler. Dolayısıyla \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken fonksiyon; \( a \gt 0 \) ise pozitif yönde, \( a \lt 0 \) ise negatif yönde büyür.
\( f(x) = x^2 \)
\( f(100) = f(-100) = 10000 \)
\( g(x) = -x^2 \)
\( g(100) = g(-100) = -10000 \)
\( y = (9 - m^2)x^2 - 4x + 3 \) parabolünün kolları yukarı yönlü olduğuna göre, \( m \) değer aralığı nedir?
Çözümü GösterBir parabolün kolları yukarı yönlü ise başkatsayısı (\( a \)) pozitiftir.
\( a = 9 - m^2 \gt 0 \)
\( m^2 \lt 9 \)
\( m \in (-3, 3) \) bulunur.
Parabolün Kollarının Açıklığı
Başkatsayının işareti parabolün kollarının yönünü belirlerken mutlak değer olarak büyüklüğü kollarının ne kadar açık ya da kapalı olduğunu belirler.
Bir parabolün kolları;
- \( \abs{a} \) büyüdükçe kapanır,
- \( \abs{a} \) küçüldükçe açılır.
Aşağıdaki pozitif başkatsayılı parabolleri incelediğimizde, başkatsayı değeri büyüdükçe parabolün kollarının kapandığı, küçüldükçe de açıldığı görülür. Bunun nedeni; başkatsayı değeri büyüdükçe belirli bir \( x \) değeri için fonksiyonun daha büyük \( y \) değerleri üretmesi, dolayısıyla o \( x \) değeri için parabol üzerindeki noktanın \( x \) ekseninden uzaklaşmasıdır.
Benzer bir mantıkla, negatif başkatsayılı parabollerde başkatsayının değeri mutlak değer olarak büyüdükçe parabolün kolları kapanır, küçüldükçe de açılır.
Şekildeki parabol grafikleri için \( a, b, c, d \) değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözümü GösterKolları yukarı yönlü olan parabollerin başkatsayıları pozitif, aşağı yönlü olan parabollerin başkatsayıları negatiftir.
Pozitif başkatsayılı parabollerde başkatsayı büyüdükçe parabolün kolları kapanır.
\( 0 \lt a \lt b \)
Negatif başkatsayılı parabollerde başkatsayı mutlak değer olarak büyüdükçe parabolün kolları kapanır.
\( 0 \lt \abs{d} \lt \abs{c} \)
\( c \lt d \lt 0 \)
Başkatsayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( c \lt d \lt a \lt b \)
Parabolün x Eksenini Kestiği Noktalar
Bir parabol \( x \) eksenini iki noktada kesebilir (I. parabol), bir noktada kesebilir (II. parabol) ya da kesmeyebilir (III. parabol). Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları önümüzdeki bölümlerde daha detaylı inceleyeceğiz.
Parabolün y Eksenini Kestiği Nokta
Bir parabol \( y \) eksenini her zaman ve sadece bir noktada keser. Bir parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) konur ve \( y \) değeri bulunur. Bu değer aynı zamanda parabol denkleminin sabit terimi olan \( c \)'ye eşittir.
Bir parabol \( y \) eksenini;
- \( c \gt 0 \) ise eksenin pozitif tarafında keser,
- \( c = 0 \) ise orijinde keser,
- \( c \lt 0 \) ise eksenin negatif tarafında keser.
Sabit terim büyüdükçe parabolün grafiği şekli (kollarının yönü ve açıklığı) değişmeden yukarı doğru, küçüldükçe aşağı doğru ötelenir.
\( y = 2x^2 - 3x + 5 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) koyalım.
\( y = 2(0)^2 - 3(0) + 5 = 5 \)
Parabol \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.
Grafiği ve denklemi verilen \( f(x) \) parabolü için \( a, b, c \) katsayılarının işaretlerini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün kolları yukarı yönlü olduğu için başkatsayısı pozitiftir.
\( a \gt 0 \)
Parabolün tepe noktası I. bölgede yer aldığı için tepe noktasının apsisi pozitiftir.
\( r = -\dfrac{b}{2a} \gt 0 \)
\( a \) pozitif olduğu için eşitsizliğin sağlanması için \( b \) negatif olmalıdır.
\( b \lt 0 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı pozitif olduğu için denklemin sabit terimi pozitiftir.
\( c \gt 0 \)
\( a, b, c \) katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdaki gibidir.
\( +, -, + \)
Grafiği ve denklemi verilen \( f(x) \) parabolü için \( a, b, c \) katsayılarının işaretlerini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün kolları aşağı yönlü olduğu için başkatsayısı negatiftir.
\( a \lt 0 \)
Parabolün tepe noktası III. bölgede yer aldığı için tepe noktasının apsisi negatiftir.
\( r = -\dfrac{-b}{2a} \lt 0 \)
\( a \) negatif olduğu için eşitsizliğin sağlanması için \( b \) pozitif olmalıdır.
\( b \gt 0 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı negatif olduğu için denklemin sabit terimi negatiftir.
\( c \lt 0 \)
\( a, b, c \) katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdaki gibidir.
\( -, +, - \)
Grafiği ve denklemi verilen \( f(x) \) parabolü için \( a, b, c \) katsayılarının işaretlerini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün kolları aşağı yönlü olduğu için başkatsayısı negatiftir.
\( -a \lt 0 \)
\( a \gt 0 \)
Parabolün tepe noktası II. bölgede yer aldığı için tepe noktasının apsisi negatiftir.
\( r = -\dfrac{b}{2(-a)} \lt 0 \)
\( a \) pozitif olduğu için eşitsizliğin sağlanması için \( b \) negatif olmalıdır.
\( b \lt 0 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı pozitif olduğu için denklemin sabit terimi pozitiftir.
\( -c \gt 0 \)
\( c \lt 0 \)
\( a, b, c \) katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdaki gibidir.
\( +, -, - \)
Grafiği ve denklemi verilen \( f(x) \) parabolü için \( a, b, c \) katsayılarının işaretlerini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün kolları yukarı yönlü olduğu için başkatsayısı pozitiftir.
\( -a \gt 0 \)
\( a \lt 0 \)
Parabolün tepe noktası IV. bölgede yer aldığı için tepe noktasının apsisi pozitiftir.
\( r = -\dfrac{-b}{2(-a)} \gt 0 \)
\( a \) negatif olduğu için eşitsizliğin sağlanması için \( b \) pozitif olmalıdır.
\( b \gt 0 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı negatif olduğu için denklemin sabit terimi negatiftir.
\( -c \lt 0 \)
\( c \gt 0 \)
\( a, b, c \) katsayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdaki gibidir.
\( -, +, + \)
\( f(x) = -x^2 + 6x + 7 \) parabolü için aşağıdaki ifadelerden hangileri yanlıştır?
I. Kolları yukarı yönlüdür.
II. Simetri ekseni \( x = 3 \) doğrusudur.
III. En büyük değeri 16'dır.
IV. Tepe noktası II. bölgededir.
V. \( x \) eksenine teğettir.
VI. \( y \) eksenini \( (0, 7) \) noktasında keser.
Çözümü GösterI. öncül:
Parabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür.
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere, \( x = r \) doğrusu parabolün simetri eksenidir.
\( a = -1, \quad b = 6, \quad c = 7 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(-1)} = 3 \)
\( x = r = 3 \) doğrusu parabolün simetri eksenidir.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( a \lt 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağı yönlüdür. Negatif başkatsayılı (kolları aşağı yönlü olan) bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.
\( k = f(3) \)
\( = -3^2 + 6(3) + 7 = 16 \)
Parabolün alabileceği en büyük değer 16'dır.
III. öncül doğrudur.
IV. öncül:
\( r = 3 \) ve \( k = 16 \) olduğuna göre parabolün tepe noktası I. bölgededir.
\( T(3, 16) \)
IV. öncül yanlıştır.
V. öncül:
Parabol \( x \) eksenine teğet ise deltası sıfıra eşit olur.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 6^2 - 4(-1)(7) = 64 \)
V. öncül yanlıştır.
VI. öncül:
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = -0^2 + 6(0) + 7 = 7 \)
Parabol \( y \) eksenini \( (0, 7) \) noktasında keser.
VI. öncül doğrudur.
Buna göre I., IV. ve V. öncüller yanlıştır.
Şekilde \( y = x^2 - 4 \) parabolü ve bir kenarı \( y \) ekseni üzerinde olan \( ABCD \) karesi verilmiştir.
\( A \) noktasının koordinatları toplamı \( -3 \) olduğuna göre, karenin çevresi kaçtır?
Çözümü GösterKarenin bir kenar uzunluğuna \( a \) diyelim.
Karenin \( D \) köşesinin apsisi \( -a \) olur.
\( D \) köşesi \( y = x^2 - 4 \) parabolü üzerinde olduğundan ordinatı \( (-a)^2 - 4 = a^2 - 4 \) olur.
\( D(-a, a^2 - 4) \)
\( A \) noktasının apsisi \( D \) noktası ile aynıdır, ordinatı \( D \) noktasının ordinatından \( a \) kadar fazladır.
\( A(-a, a^2 - 4 + a) \)
\( A \) noktasının koordinatları toplamı \( -3 \)'e eşittir.
\( -a + (a^2 - 4 + a) = -3 \)
\( a^2 = 1 \)
\( a = \pm 1 \)
\( a \) karenin bir kenar uzunluğu olduğu için değeri pozitiftir.
\( a = 1 \)
Karenin çevresi \( 4 \cdot 1 = 4 \) olarak bulunur.
Şekilde \( y = x^2 \) ve \( y = (x + 4)^2 \) parabolleri verilmiştir.
\( B \) noktasının koordinatları \( (0, 9) \) olduğuna göre, \( ABCD \) dikdörtgeninin alanı kaçtır?
Çözümü Göster\( B \) noktasının ordinatı 9 olduğuna göre \( A \) noktasının ordinatı da 9 olur.
\( A \) noktası \( y = (x + 4)^2 \) parabolü üzerinde olduğu için koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( (x + 4)^2 = 9 \)
\( x + 4 = \pm 3 \)
\( x = -1 \) ya da \( x = -7 \)
\( A \) noktası parabolün 9 değerini aldığı iki noktadan daha büyük apsis değerli nokta olduğu için \( x = -1 \) olur.
\( A(-1, 9) \)
\( D \) noktası \( y = x^2 \) parabolü üzerinde olup apsisi \( A \) noktası ile aynıdır.
\( D \) noktasının ordinatına \( a \) diyelim.
\( D(-1, a) \)
\( D \) noktası \( y = x^2 \) parabolü üzerinde olduğu için koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( a = (-1)^2 = 1 \)
\( D(-1, 1) \)
\( y \) ekseni üzerindeki \( C \) noktasının ordinatı \( D \) noktası ile aynıdır.
\( C(0, 1) \)
\( ABCD \) dikdörtgeninin kısa kenar uzunluğu 1 birim, uzun kenar uzunluğu \( 9 - 1 = 8 \) birimdir.
\( A(ABCD) = 1 \cdot 8 = 8 \) bulunur.
\( A \) ve \( B \) köşeleri \( y = x^2 \) ve \( y = 9x^2 \) parabolleri üzerinde olan \( ABCD \) dikdörtgeni şekilde verilmiştir.
\( ABCD \) dikdörtgeninin alanı 144 birimkare olduğuna göre, çevresi kaç birimdir?
Çözümü Göster
\( B \) noktasının apsisine \( a \) diyelim.
\( \abs{CO} = \abs{a} = -a \)
\( B \) noktası \( y = 9x^2 \) parabolü üzerinde olduğuna göre koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( B(a, 9a^2) \)
\( \abs{BC} = 9a^2 \)
\( A \) ve \( B \) noktalarının ordinatları eşittir.
\( A \) noktası \( y = x^2 \) parabolü üzerinde olduğuna göre koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( A(3a, 9a^2) \)
\( ABCD \) dikdörtgeninin kısa ve uzun kenar uzunluklarını bulalım.
\( \abs{AB} = \abs{DC} = \abs{DO} - \abs{CO} \)
\( = -3a - (-a) = -2a \)
\( \abs{AD} = \abs{BC} = 9a^2 \)
\( A(ABCD) = \abs{AB} \cdot \abs{AD} \)
\( 144 = -2a \cdot 9a^2 \)
\( 144 = -18a^3 \)
\( a = -2 \)
\( ABCD \) dikdörtgeninin çevresini hesaplayalım.
\( Ç(ABCD) = 2(9a^2 + (-2a)) \)
\( = 2(9(-2)^2 - 2(-2)) \)
\( = 80 \) birim bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( f(x) = x^2 + 1 \) parabolü ve dört adet dikdörtgen verilmiştir.
Buna göre şekildeki dikdörtgenlerin alanları toplamı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster
Dikdörtgenleri soldan sağa doğru 1, 2, 3, 4 şeklinde numaralandıralım.
Birinci dikdörtgenin yüksekliği \( x = -2 \) için fonksiyon değerine eşittir.
\( f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5 \)
Birinci dikdörtgenin genişliğini bulalım.
\( \abs{-4 - (-2)} = 2 \)
Birinci dikdörtgenin alanını bulalım.
\( A_1 = 5 \cdot 2 = 10 \)
İkinci dikdörtgenin yüksekliği \( x = 0 \) için fonksiyon değerine eşittir.
\( f(0) = 0^2 + 1 = 1 \)
İkinci dikdörtgenin genişliğini bulalım.
\( \abs{2 - (-2)} = 4 \)
İkinci dikdörtgenin alanını bulalım.
\( A_2 = 1 \cdot 4 = 4 \)
Üçüncü dikdörtgenin yüksekliği \( x = 2 \) için fonksiyon değerine eşittir.
\( f(2) = 2^2 + 1 = 5 \)
Üçüncü dikdörtgenin genişliğini bulalım.
\( \abs{3 - 2} = 1 \)
Üçüncü dikdörtgenin alanını bulalım.
\( A_3 = 5 \cdot 1 = 5 \)
Dördüncü dikdörtgenin yüksekliği \( x = 3 \) için fonksiyon değerine eşittir.
\( f(3) = 3^2 + 1 = 10 \)
Dördüncü dikdörtgenin genişliğini bulalım.
\( \abs{4 - 3} = 1 \)
Dördüncü dikdörtgenin alanını bulalım.
\( A_4 = 10 \cdot 1 = 10 \)
Dört dikdörtgenin alanlarının toplamını bulalım.
\( A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 10 + 4 + 5 + 10 \)
\( = 29 \) birimkare bulunur.