İnteraktif uygulama: Parabolün Katsayıları
Parabolün grafiği kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan ve tepe noktasından geçen simetri eksenine göre simetrik bir eğridir.
Parabol grafiğindeki önemli noktalar şunlardır:
\( T(r, k) \): Parabolün tepe noktası
\( A(x_1, 0) \) ve \( B(x_2, 0) \): Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar
\( C(0, c) \): Parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta
Parabolün kolları denklemin başkatsayısının (\( a \)) işaretine bağlı olarak yukarı ya da aşağı yönlü olur.
Bir parabolün kolları;
\( a \gt 0 \) ise yukarı yönlüdür,
\( a \lt 0 \) ise aşağı yönlüdür.
\( x^2 \) ifadesi tüm \( x \) değerleri için pozitif olduğu için, \( x \)'in çok büyük pozitif ve negatif değerlerinde fonksiyon değerinin işaretini başkatsayı belirler. Dolayısıyla \( a \gt 0 \) ise \( x \)'in çok büyük pozitif ve negatif değerlerinde fonksiyon pozitif yönde, \( a \lt 0 \) ise negatif yönde büyür.
\( f(x) = x^2 \)
\( f(100) = f(-100) = 10000 \)
\( g(x) = -x^2 \)
\( g(100) = g(-100) = -10000 \)
\( y = (9 - m^2)x^2 - 4x + 3 \) parabolünün kolları yukarı yönlü olduğuna göre, \( m \)'nin değer aralığı nedir?
Çözümü GösterBaşkatsayının işareti parabolün kollarının yönünü belirlerken mutlak değer olarak büyüklüğü kollarının ne kadar açık ya da kapalı olduğunu belirler.
Bir parabolün kolları;
\( \abs{a} \) büyüdükçe kapanır,
\( \abs{a} \) küçüldükçe açılır.
Aşağıdaki pozitif başkatsayılı parabolleri incelediğimizde, başkatsayı değeri büyüdükçe parabolün kollarının kapandığı, küçüldükçe de açıldığı görülür. Bunun sebebi başkatsayı değeri büyüdükçe belirli bir \( x \) değeri için fonksiyonun daha büyük \( y \) değerleri üretmesi, dolayısıyla o \( x \) değeri için parabol üzerindeki noktanın \( x \) ekseninden uzaklaşmasıdır.
Benzer bir mantıkla, negatif başkatsayılı parabollerde başkatsayının değeri mutlak değer olarak büyüdükçe parabolün kolları kapanır, küçüldükçe de açılır.
Bir parabol \( x \) eksenini iki noktada kesebilir (I. parabol), bir noktada kesebilir (II. parabol) ya da kesmeyebilir (III. parabol). Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları önümüzdeki bölümlerde daha detaylı inceleyeceğiz.
Bir parabol \( y \) eksenini her zaman ve sadece bir noktada keser. Bir parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) konur ve \( y \) değeri bulunur. Bu değer aynı zamanda parabol denkleminin sabit terimi olan \( c \)'ye eşittir.
Bir parabol \( y \) eksenini;
\( c \gt 0 \) ise eksenin pozitif tarafında keser,
\( c = 0 \) ise orijinde keser,
\( c \lt 0 \) ise eksenin negatif tarafında keser.
Sabit terim büyüdükçe parabolün grafiği şekli değişmeden yukarı doğru, küçüldükçe aşağı doğru ötelenir.
\( y = 2x^2 - 3x + 5 \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) koyalım.
\( y = 2(0)^2 - 3(0) + 5 = 5 \)
Parabol \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.