Parabolün Analitik Uygulamaları
Parabolün Parabole Göre Durumu
İki parabolün birbirine göre durumu da (parabolün doğruya göre durumuna benzer şekilde) üç farklı şekilde olabilir: Paraboller \( f(x) \) parabolünde olduğu gibi iki noktada kesişebilir, \( g(x) \) parabolünde olduğu gibi tek bir noktada (teğet) kesişebilir ya da \( h(x) \) parabolünde olduğu gibi kesişmeyebilir.
Parabollerin birbirine göre durumunu anlayabilmek için iki parabol denklemi ortak çözülür ve elde edilen ikinci dereceden denklemin deltası incelenir.
\( \Delta = b^2 - 4ac \) denklemin deltası olmak üzere,
Paraboller;
- \( \Delta \gt 0 \) ise iki noktada kesişir,
- \( \Delta = 0 \) ise tek bir noktada (teğet) kesişir,
- \( \Delta \lt 0 \) ise kesişmez.
Aşağıda denklemleri verilen parabollerin birbirine göre durumlarını inceleyelim.
\( f(x) = x^2 + 3x + 1 \)
\( g(x) = -3x^2 + 15x - 8 \)
İki denklemi ortak çözelim.
\( f(x) = g(x) \)
\( x^2 + 3x + 1 = -3x^2 + 15x - 8 \)
Tüm terimleri tek tarafta toplayıp ifadeyi sıfıra eşitleyelim.
\( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \)
İkinci dereceden denklemin deltasını bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = 12^2 - 4(4)(9) = 0 \)
\( \Delta = 0 \) olduğuna göre iki parabol tek bir noktada kesişir.
Bulduğumuz denklemi \( x \) için çözdüğümüzde parabollerin kesişim noktasının apsis değerini buluruz.
\( (2x - 3)^2 = 0 \)
\( x = \dfrac{3}{2} \)
Bu değeri parabollerden birinin denkleminde yerine yazdığımızda kesişim noktasının ordinat değerini buluruz.
\( f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 + 3(\frac{3}{2}) + 1 \)
\( = \dfrac{31}{4} \)
Buna göre iki parabol \( (\frac{3}{2}, \frac{31}{4}) \) noktasında kesişir.
Parabollerin grafikleri aşağıda verilmiştir.
Eğer parabollerin başkatsayıları birbirine eşitse denklemlerin ortak çözümünde ikinci dereceden terimler birbirini götürür ve birinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin \( x \) için bir çözümü varsa iki parabol tek bir noktada kesişir, aksi takdirde (\( x \)'li terimler de birbirini götürüyorsa) iki parabol kesişmez.
Aşağıda denklemleri verilen parabollerin birbirine göre durumlarını inceleyelim.
\( f(x) = x^2 - 3x + 7 \)
\( g(x) = x^2 + 2x - 8 \)
İki denklemi ortak çözelim.
\( f(x) = g(x) \)
\( x^2 - 3x + 7 = x^2 + 2x - 8 \)
İkinci dereceden terimler birbirini götürür.
\( 5x - 15 = 0 \)
\( x = 3 \)
Bu değeri parabollerden birinin denkleminde yerine yazdığımızda kesişim noktasının ordinat değerini buluruz.
\( f(3) = 3^2 - 3(3) + 7 = 7 \)
Buna göre iki parabol \( (3, 7) \) noktasında kesişir.
Parabollerin grafikleri aşağıda verilmiştir.
Bir Parabole Orijinden Çizilen Teğetler
Bir parabole orijinden çizilen teğet doğruların eğimlerinin çarpımı parabolün deltasına eşittir.
Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)
Teğet doğru 1: \( y = m_1x \)
Teğet doğru 2: \( y = m_2x \)
\( m_1 \cdot m_2 = \Delta = b^2 - 4ac \)
İSPATI GÖSTER
Bir parabole orijinden kaç teğet doğru çizilebileceğini bilmeden eğimi \( m \) olan genel bir teğet doğru denklemi yazalım.
Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)
Teğet doğru: \( y = mx \)
Doğrular parabole teğet olduğu için parabolü tek bir noktada keserler, dolayısıyla bu iki denklemin ortak çözümünün deltası sıfır olmalıdır.
\( ax^2 + bx + c = mx \)
\( ax^2 + (b - m)x + c = 0 \)
\( \Delta = (b - m)^2 - 4ac = 0 \)
\( b^2 - 2bm + m^2 - 4ac = 0 \)
İfadeyi \( m \)'ye göre düzenleyelim.
\( m^2 - 2bm + b^2 - 4ac = 0 \)
Ortak çözüm sonucunda ikinci dereceden bir denklem elde etmemiz denklemin kökleri olarak iki \( m \) değeri elde edeceğimizi, dolayısıyla orijinden bir parabole teğet iki farklı doğru çizilebileceğini gösterir (tüm ikinci derece denklemlerde olduğu gibi bazı durumlarda tek bir kök ve sıfır kök de olabilir). Verilen herhangi bir parabol denkleminin \( a \), \( b \), \( c \) katsayılarını bu eşitlikte yerine koyduğumuzda, bu denklemin kökleri teğet doğruların \( m_1 \) ve \( m_2 \) eğimlerini verecektir.
Dikkat edilirse, elde ettiğimiz \( m \) cinsinden denklemin kökler çarpımına karşılık gelen \( b^2 - 4ac \) ifadesi aynı zamanda orijinal parabol denkleminin deltasına eşittir. Dolayısıyla bir parabole orijinden çizilen teğet doğruların eğimlerinin çarpımının parabol denkleminin deltasına eşit olduğu sonucuna varabiliriz.
\( m_1 \cdot m_2 = \Delta = b^2 - 4ac \)
Bunun bir sonucu olarak, bir parabole orijinden çizilen teğet doğruların birbirine dik olması istenirse dik doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olduğu için parabolün deltası da \( -1 \)'e eşit olmalıdır.
Orijinden bir parabole çizilen teğetlerin dik olma koşulu:
\( \Delta = b^2 - 4ac = m_1 \cdot m_2 = -1 \)
Yukarıdaki ispatta ortak çözüm sonucunda elde edilen denklemde kökler toplamına karşılık gelen \( 2b \) ifadesi de parabole çizilen teğet doğruların eğimleri toplamını verir. Bu teğet doğruların eğimleri toplamının sıfır olması istenirse \( 2b \) ifadesi, dolayısıyla parabolün \( b \) katsayısı sıfır olmalıdır.
Bir Parabole x Eksenini Kestiği Noktalardan Çizilen Teğetler
Bir parabole \( x \) eksenini kestiği noktalardan çizilen teğet doğruların eğimlerinin çarpımı parabolün deltasının ters işaretlisine eşittir.
Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)
Teğet doğru 1: \( y = m_1x + c_1 \)
Teğet doğru 2: \( y = m_2x + c_2 \)
\( m_1 \cdot m_2 = -\Delta = -(b^2 - 4ac) \)
İSPATI GÖSTER
Bir parabole \( x \) eksenini kestiği noktalardan çizilen teğetlerin eğimlerini parabolün kökleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz (bu eğim değerlerini nasıl bulduğumuzu türev konusuna bırakıyoruz).
Parabol: \( y = ax^2 + bx + c \)
Parabolün kökleri: \( x_1, x_2 \)
1. teğet doğrunun eğimi: \( m_1 = 2ax_1 + b \)
2. teğet doğrunun eğimi: \( m_2 = 2ax_2 + b \)
Bu teğet doğruların eğimlerinin çarpımını alalım.
\( m_1 \cdot m_2 = (2ax_1 + b)(2ax_2 + b) \)
\( = 4a^2x_1x_2 + 2abx_1 + 2abx_2 + b^2 \)
\( = 4a^2x_1x_2 + 2ab(x_1 + x_2) + b^2 \)
Parabol kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
Parabol kökler çarpımı: \( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
Yukarıdaki iki ifadeyi denklemde yerine koyalım.
\( = 4a^2 \dfrac{c}{a} - 2ab\dfrac{b}{a} + b^2 \)
\( = 4ac - 2b^2 + b^2 \)
\( = 4ac - b^2 \)
\( = -(b^2 - 4ac) \)
Parantez içindeki ifadenin parabol denkleminin deltası olduğunu hatırlarsak, parabole \( x \) eksenini kestiği noktalardan çizdiğimiz teğet doğruların eğimleri çarpımının parabolün deltasının ters işaretlisi olduğunu görürüz.
\( m_1 \cdot m_2 = -\Delta = -(b^2 - 4ac) \)
Bunun bir sonucu olarak, bu teğet doğruların birbirine dik olması istenirse dik doğruların eğimlerinin çarpımı \( -1 \) olduğu için parabolün deltası \( +1 \)'e eşit olmalıdır.
\( x \) eksenini kestiği noktalardan bir parabole çizilen teğetlerin dik olma koşulu:
\( \Delta = b^2 - 4ac = -m_1 \cdot m_2 = 1 \)
\( y = x^2 + mx + 5 \) ve \( y = -x^2 + (2m + 1)x + 3 \)
parabolleri birbirine teğet olduğuna göre, \( m \)'nin pozitif değeri nedir?
Çözümü Gösterİki parabol birbirine teğet ise tek noktada kesişirler, dolayısıyla ortak çözüldüklerinde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin deltası sıfır olur.
İki denklemi ortak çözelim.
\( x^2 + mx + 5 = -x^2 + (2m + 1)x + 3 \)
\( 2x^2 + mx - 2mx - x + 2 = 0 \)
\( 2x^2 - (m + 1)x + 2 = 0 \)
Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 2, \quad b = -(m + 1), \quad c = 2 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( [-(m + 1)]^2 - 4(2)(2) = 0 \)
\( (m + 1)^2 = 16 \)
\( m + 1 = 4 \) ya da \( m + 1 = -4 \)
\( m = 3 \) ya da \( m = -5 \)
\( m \)'nin pozitif değeri \( m = 3 \) olarak bulunur.
\( y = x^2 - 3x + m \)
parabolünün \( x \) eksenini kestiği noktalardan parabole çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterParabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = m \)
Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalardan parabole çizilen teğetler birbirine dik ise parabolün deltası 1'e eşit olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 1 \)
\( (-3)^2 - 4(1)(m) = 1 \)
\( 4m = 8 \)
\( m = 2 \) bulunur.
\( f(x) = x^2 - 6x + 2m - 3 \) parabolünün tepe noktasının ordinatı \( -16 \)'dır.
Buna göre parabolün eksenleri kestiği üç noktayı köşe kabul eden üçgenin alanı kaçtır?
Çözümü GösterParabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = 2m - 3 \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \)
Buna göre parabolün tepe noktası \( T(3, -16) \) noktasıdır.
Bu noktanın koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.
\( f(3) = 3^2 - 6(3) + 2m - 3 = -16 \)
\( m = -2 \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x^2 - 6x - 7 \)
\( = (x + 1)(x - 7) \)
Parabol \( x \) eksenini \( x = -1 \) ve \( x = 7 \) noktalarında, \( y \) eksenini de fonksiyonun sabit terimi olan \( y = -7 \) noktasında keser.
Taban uzunluğu \( 7 - (-1) = 8 \) birim ve yüksekliği \( \abs{-7} = 7 \) birim olan üçgenin alanını bulalım.
Alan \( = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28 \) bulunur.
\( y = x^2 + 2x - n \) ve \( y = -2x^2 - 4x + m \) parabollerinin kesişim noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının apsisi kaçtır?
Çözümü Gösterİki parabolün denklemini ortak çözdüğümüzde kesişim noktalarının apsis değerlerini buluruz.
\( x^2 + 2x - n = -2x^2 - 4x + m \)
\( 3x^2 + 6x - n - m = 0 \)
Bu parabol denkleminin kökler toplamı aynı zamanda iki parabolün kesişim noktalarının apsis değerlerinin toplamını verir, parabolün tepe noktası da iki kesişim noktasının orta noktasının apsis değerini verir.
Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 3, \quad b = 6, \quad c = -n - m \)
Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(3)} = -1 \) bulunur.
Yukarıda \( y = x^2 - 4x + m \) parabolünün grafiği verilmiştir.
\( T \) parabolün tepe noktası ve \( OTA \) üçgeninin alanı 14 birimkare olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( OTA \) üçgeni için alan formülünü yazalım. Üçgenin yüksekliği parabolün tepe noktasının ordinatına eşittir.
\( A(OTA) = \dfrac{\abs{OA} \cdot \abs{TH}}{2} \)
\( 14 = \dfrac{7k}{2} \)
\( k = 4 \)
Parabolün tepe noktasının apsis değeri aşağıdaki formülle bulunur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2 \)
Buna göre parabolün tepe noktası \( T(2, 4) \) olur.
Bu noktayı parabol denkleminde yerine koyalım.
\( f(2) = 2^2 - 4(2) + m = 4 \)
\( 4 - 8 + m = 4 \)
\( m = 8 \) bulunur.
\( f: R \to R \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 6x - 7 \) fonksiyonunun tepe noktası ile \( x \) eksenini kestiği noktaların oluşturduğu üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterParabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \)
Tepe noktasının apsisini fonksiyonda yerine koyup ordinatını bulalım.
\( k = f(3) = 3^2 - 6(3) - 7 = -16 \)
\( T(3, -16) \)
Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalara \( A \) ve \( B \) diyelim.
Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon değerini sıfıra eşitleyelim.
\( x^2 - 6x - 7 = 0 \)
\( (x + 1)(x - 7) = 0 \)
Parabol \( x \) eksenini bu denklemin çarpanlarını sıfır yapan apsis değerlerinde keser.
\( A(-1, 0), \quad B(7, 0) \)
\( [AB] \) doğru parçasını üçgenin tabanı, tepe noktasının ordinatını da yüksekliği olarak kabul edelim.
\( A(ABT) = \dfrac{\abs{7 - (-1)} \cdot 16}{2} = 64 \) birimkare bulunur.
\( OABC \) dikdörtgeninin \( B \) köşesi \( f(x) = x^2 - 8x + m \) parabolü üzerindedir. Parabol \( y \) eksenini \( (0, 20) \) noktasında kestiğine göre, \( OABC \) dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterParabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde \( x = 0 \) koyalım.
\( f(0) = m = 20 \)
Parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x^2 - 8x + 20 \)
\( A(a, 0) \) ve \( C(0, 5) \) olduğuna göre, \( B(a, 5) \) olur.
\( B \) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.
\( f(a) = a^2 - 8a + 20 = 5 \)
\( a^2 - 8a + 15 = 0 \)
\( (a - 3)(a - 5) = 0 \)
\( a = 3 \) veya \( a = 5 \)
Tepe noktasının apsisi 4 olduğuna göre \( A \) noktasının apsisi 4'ten küçük olmalıdır, buna göre \( a = 3 \) olur.
\( A(OABC) = 3 \cdot 5 = 15 \) birimkare bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( y = -x^2 + 3x + 8 \) parabolü verilmiştir.
Parabolün \( y \) eksenini kestiği nokta \( A \) olduğuna göre, \( OABC \) dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterParabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı parabol denkleminin sabit terimidir.
\( A(0, 8) \)
\( B \) noktasının koordinatlarına \( B(b, 8) \) diyelim ve koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.
\( 8 = -b^2 + 3b + 8 \)
\( b^2 - 3b = 0 \)
\( b(b - 3) = 0 \)
\( b = 0 \) olamayacağı için \( b = 3 \) olur.
\( B(b, 8) = B(3, 8) \)
Buna göre \( OABC \) dikdörtgeninin tabanı 3 birim, yüksekliği 8 birimdir.
\( A(OABC) = 3 \cdot 8 = 24 \) birimkare bulunur.
\( m \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( y = x^2 - 4mx + 3 \) parabolünün tepe noktası orijine hangi \( m \) değerinde en yakın olur?
Çözümü GösterParabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4m}{2(1)} = 2m \)
\( r \) değerini parabol denkleminde yerine koyarak \( k \) değerini bulalım.
\( k = (2m)^2 - 4m(2m) + 3 \)
\( = -4m^2 + 3 \)
\( T(r, k) = T(2m, 3 - 4m^2) \)
\( T \) noktasının orijine olan uzaklığına \( d \) diyelim.
Bir noktanın orijine olan uzaklık formülünü kullanalım.
\( d^2 = (2m)^2 + (3 - 4m^2)^2 \)
\( = 4m^2 + 9 - 24m^2 + 16m^4 \)
\( = 16m^4 - 20m^2 + 9 \)
İfadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( = (4m^2 - \dfrac{5}{2})^2 + \dfrac{11}{4} \)
\( d \) en küçük değerini parantez içi sıfır olduğunda alır.
\( 4m^2 - \dfrac{5}{2} = 0 \)
\( m^2 = \dfrac{5}{8} \)
\( m \) pozitif olarak veriliyor.
\( m = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4} \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( f(x) = x^2 - 8x + c \) parabolünün tepe noktası \( T \) ve \( OTA \) dik üçgeninde \( A(13, 0) \) olduğuna göre, \( B \) noktasının ordinatı kaçtır?
Çözümü GösterParabolün tepe noktasının apsis değeri aşağıdaki formülle bulunur.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2(1)} = 4 \)
\( OTA \) üçgeninde Öklid bağıntısını uygulayalım.
\( \abs{HT}^2 = \abs{OH} \cdot \abs{HA} \)
\( k^2 = 4(13 - 4) \)
\( k = 6 \)
\( T(4, 6) \)
Tepe noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyarak \( c \) değerini bulalım.
\( 6 = 4^2 - 8(4) + c \)
\( c = 22 \)
\( B \) noktasının ordinatı parabolün sabit terimine eşit olduğu için \( c = 22 \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( y = 2x^2 \) parabolü ve bu parabol ile \( x = 4 \) doğrusu arasında kalan \( ABCD \) dikdörtgeni verilmiştir.
\( \abs{BC} = 4\abs{DC} \) olduğuna göre, \( ABCD \) dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster\( \abs{AB} = \abs{DC} = a \) diyelim.
\( \abs{AD} = \abs{BC} = 4a \)
\( C \) noktasının apsis değeri 4 olduğu için \( D \) noktasının koordinatları \( D(4 - a, 4a) \) olur.
\( D \) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.
\( y = 2x^2 \)
\( 4a = 2(4 - a)^2 \)
\( 4a = 2(16 - 8a + a^2) \)
\( a^2 - 10a + 16 = 0 \)
\( (a - 2)(a - 8) = 0 \)
\( A \) noktası \( x = 4 \) doğrusunun solunda kaldığı ve \( \abs{AB} = a \) uzunluğu \( (0, 4) \) aralığında olabileceği için \( a = 8 \) olamaz, dolayısıyla \( a = 2 \) olur.
\( \abs{AB} = \abs{DC} = 2 \)
\( \abs{AD} = \abs{BC} = 4a = 8 \)
Buna göre \( A(ABCD) = 2 \cdot 8 = 16 \) birimkare bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( y = x^2 + x + 8 \) parabolü \( y = -x^2 - 7x \) parabolüne \( K \) noktasında teğettir.
Buna göre \( AKO \) üçgeninin alanını bulunuz.
Çözümü GösterKolları aşağı yönlü olan parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemini sıfıra eşitleyelim.
\( -x^2 - 7x = 0 \)
\( -x(x + 7) = 0 \)
Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x = -7 \) ve \( x = 0 \) noktalarında keser.
\( A(-7, 0) \)
İki parabolün denklemini ortak çözerek \( K \) noktasının apsis değerini bulalım.
\( x^2 + x + 8 = -x^2 - 7x \)
\( 2x^2 + 8x + 8 = 0 \)
\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)
İki parabol tek bir noktada kesiştikleri için denklemlerinin ortak çözümünün çift katlı bir kökü vardır.
\( (x + 2)^2 = 0 \)
\( x = -2 \)
Bu apsis değerini iki parabol denkleminden birinde yerine koyarak \( K \) noktasının ordinat değerini bulalım.
\( y = (-2)^2 + (-2) + 8 = 10 \)
\( K(-2, 10) \)
\( AKO \) üçgeni taban uzunluğu 7 birim, yüksekliği 10 birim olan bir üçgendir.
\( A(AKO) = \dfrac{7 \cdot 10}{2} = 35 \) birimkare bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( d_1 \perp d_2 \) olduğuna göre, \( f(-3) \) kaçtır?
Çözümü GösterParabol \( x \) eksenini -2 ve 6 noktalarında kestiği için denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f(x) = a(x + 2)(x - 6) \)
\( A \) noktasının koordinatlarına \( A(0, c) \) diyelim.
\( d_1 \) doğrusunun eğimini bulalım.
\( m_1 = \dfrac{c - 0}{0 - (-2)} = \dfrac{c}{2} \)
\( d_2 \) doğrusunun eğimini bulalım.
\( m_2 = \dfrac{c - 0}{0 - 6} = -\dfrac{c}{6} \)
İki doğru birbirine dik oldukları için eğimlerinin çarpımı -1 olur.
\( \dfrac{c}{2} \cdot (-\dfrac{c}{4}) = -1 \)
\( c^2 = 8 \)
\( c = \pm 2\sqrt{2} \)
\( A \) noktası \( y \) ekseninin pozitif tarafında olduğu için \( c \) pozitif olur.
\( A(0, 2\sqrt{2}) \)
Parabolün başkatsayısını bulmak için \( A \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.
\( f(0) = a(0 + 2)(0 - 6) = 2\sqrt{2} \)
\( a = -\dfrac{\sqrt{2}}{6} \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{6}(x + 2)(x - 6) \)
\( f(-3) \) değerini bulalım.
\( f(-3) = -\dfrac{\sqrt{2}}{6}(-3 + 2)(-3 - 6) \)
\( = -\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( f(x) = kx^2 - (k^2 - 9)x + 12 \) parabolü, \( ABC \) üçgeni ve \( DEFG \) dikdörtgeni verilmiştir.
Parabolün tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde ve \( \abs{OH} = 9 \) olduğuna göre, üçgenin alanı dikdörtgenin alanından kaç birimkare fazladır?
Çözümü GösterParabolün katsayılarını yazalım.
\( a = k, \quad b = -(k^2 - 9), \quad c = 12 \)
Parabolün tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olduğuna göre apsisi sıfırdır.
\( r = -\dfrac{b}{2a} = 0 \)
\( -\dfrac{-(k^2 - 9)}{2(k)} = 0 \)
\( k^2 - 9 = 0 \)
\( k = \pm 3 \)
\( f \) parabolünün kolları aşağı yönlü olduğu için başkatsayısı negatif olmalıdır.
\( k = -3 \)
Parabolün denklemini yazalım.
\( f(x) = -3x^2 + 12 \)
\( B \) ve \( C \) noktaları parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar olup parabolün kökleridir.
Parabolün köklerini bulalım.
\( f(x) = -3x^2 + 12 = 0 \)
\( x = \pm 2 \)
\( B(-2, 0), \quad C(2, 0) \)
\( E \) noktası parabol üzerinde olduğuna göre koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( E \) noktasının apsisine \( a \) diyelim. Denklemde yerine yazarak ordinatını bulalım.
\( f(a) = -3a^2 + 12 \)
\( E(a, -3a^2 + 12) \)
\( \abs{OH} \) uzunluğunu kullanarak \( a \) değerini bulalım.
\( \abs{OH} = \abs{GD} = \abs{FE} = 9 \)
\( -3a^2 + 12 = 9 \)
\( a = \pm 1 \)
\( E \) noktası I. bölgede yer aldığına göre, apsisi pozitif olmalıdır.
\( a = 1 \)
Tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olduğuna göre, \( y \) ekseni parabolün simetri eksenidir.
\( \abs{OF} = \abs{OG} = a = 1 \)
\( E(1, 9), \quad D(-1, 9) \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için parabol denkleminde \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = -3(0)^2 + 12 = 12 \)
\( A(0, 12) \)
Üçgenin alanını hesaplayalım.
\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC} \cdot \abs{AO}}{2} \)
\( = \dfrac{4 \cdot 12}{2} = 24 \)
Dikdörtgenin alanını hesaplayalım.
\( A(DEFG) = \abs{GF} \cdot \abs{EF} \)
\( = 2 \cdot 9 = 18 \)
Üçgenin alanı dikdörtgenin alanından \( 24 - 18 = 6 \) birimkare fazladır.