\( f(x) \) bir parabol olmak üzere, \( f(x) = 0 \) denklemini sağlayan \( x \) değerleri parabolün kökleridir. Bu \( x \) değerleri aynı zamanda parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaların apsis değerlerini verir.
Bir parabolün \( x \) eksenine göre durumu ve reel kökleri üç şekilde olabilir.
Bir parabolün bu üç durumdan hangisinde olduğu denklemin deltası (diskriminantı) hesaplanarak aşağıdaki şekilde bulunabilir.
Şimdi bu üç durumu daha detaylı inceleyelim.
Bir parabol \( x \) eksenini \( x = x_1 \) ve \( x = x_2 \) şeklinde iki farklı noktada kesiyorsa aşağıdaki çıkarımlar yapılabilir.
Bir parabol \( x \) eksenini \( x = x_1 \) şeklinde tek bir noktada kesiyorsa aşağıdaki çıkarımlar yapılabilir.
Bir parabol \( x \) eksenini kesmiyorsa aşağıdaki çıkarımlar yapılabilir.
Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin tek bir karmaşık sayı kökü olamaz, denklemin karmaşık sayı kökü varsa bu kökler iki tane ve birbirinin eşleniği şeklinde olur.
Bir parabolün kökleri ile denkleminin katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır. Bu formüllerin nasıl türetildiği ile ilgili detaylı bilgi için ikinci dereceden denklemlerde kök katsayı ilişkisi sayfasını inceleyebilirsiniz.
Bunlara ek olarak, özdeşlikler kullanılarak bir parabol denkleminin kökleri arasında aşağıdaki ilişkiler kurulabilir.
SORU 1:
\( f(x) = 3x^2 - 4x + 2m + 1 \) fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenine teğet ise \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Parabol \( x \) eksenine teğet ise denklemin çakışık iki reel kökü vardır ve deltası sıfırdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = 3, \quad b = -4, \quad c = 2m + 1 \)
\( (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2m + 1) = 0 \)
\( 16 - 24m - 12 = 0 \)
\( m = \dfrac{1}{6} \) bulunur.
SORU 2:
\( f(x) = x^2 - 4x + m - 2 \) fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenini iki noktada kesiyorsa \( m \) için geçerli değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Parabol \( x \) eksenini iki noktada kesiyorsa deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = m - 2 \)
\( (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) \gt 0 \)
\( 16 - 4m + 8 \gt 0 \)
\( m \lt 6 \) bulunur.
SORU 3:
\( f(x) = x^2 - mx + 3m \) fonksiyonunun grafiği \( x \) eksenini kesmediğine göre \( m \) için geçerli değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
Parabol \( x \) eksenini kesmiyorsa deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = 3m \)
\( (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3m \lt 0 \)
\( m^2 - 12m \lt 0 \)
\( m(m - 12) \lt 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (0, 12) \) açık aralığıdır.
\( 0 \lt m \lt 12 \) bulunur.
SORU 4:
\( y = x^2 - (4m + 3)x + 16 \) parabolünün tepe noktasının \( x \) ekseni üzerinde olması için \( m \)'nin alabileceği değerler nelerdir?
Çözümü Göster
Parabolün tepe noktasının \( x \) ekseni üzerinde olması parabolün \( x \) eksenine teğet olması, yani deltasının sıfır olması anlamına gelir.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( a = 1, \quad b = -(4m + 3), \quad c = 16 \)
\( (-(4m + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 0 \)
\( (4m + 3)^2 - 8^2 = 0 \)
Kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( (4m + 3 - 8)(4m + 3 + 8) = 0 \)
\( (4m - 5)(4m + 11) = 0 \)
\( m \) için geçerli değerler bu denklemdeki çarpanları sıfır yapan değerlerden oluşur.
\( m \in \{-\frac{11}{4}, \frac{5}{4}\} \) bulunur.
SORU 5:
\( y = x^2 - (m - 4)x - 2m - 1 \)
parabolünün tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde olduğuna göre, parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözümü Göster
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -(m - 4), \quad c = -2m - 1 \)
Parabolün tepe noktası \( y \) ekseni üzerinde ise tepe noktasının apsis değeri 0, dolayısıyla parabolün \( b \) katsayısı 0 olur.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} \)
\( r = 0 \Longrightarrow b = 0 \)
Buna göre \( m = 4 \) olur ve parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( y = x^2 - (4 - 4)x - 2(4) - 1 \)
\( y = x^2 - 9 \)
Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazalım.
\( y = x^2 - 9 = 0 \)
\( (x + 3)(x - 3) = 0 \)
Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktalarında keser.
Bu iki nokta arasındaki uzaklık \( \abs{x_2 - x_1} = \abs{3 - (-3)} = 6 \) olarak bulunur.
SORU 6:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = x^2 + 4x - 21 \)
fonksiyonunun \( x \) eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözümü Göster
Yöntem 1:
Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemde \( y = 0 \) yazalım.
\( f(x) = x^2 + 4x - 21 = 0 \)
\( (x + 7)(x - 3) = 0 \)
Buna göre parabol \( x \) eksenini \( x = -7 \) ve \( x = 3 \) noktalarında keser.
Bu iki nokta arasındaki uzaklık \( \abs{x_2 - x_1} = \abs{3 - (-7)} = 10 \) olarak bulunur.
Yöntem 2:
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = 4, \quad c = -21 \)
İkinci dereceden bir denklemin kökler farkının mutlak değeri bu iki nokta arasındaki uzaklığı verir.
Kökler farkının mutlak değeri formülü:
\( = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\abs{a}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{4^2 - 4(1)(-21)}}{\abs{1}} \)
\( = 10 \) bulunur.
SORU 7:
\( f(x) = x^2 - 2x - 16 \)
parabolünün \( x \) eksenini kestiği noktalardan biri \( A(m, 0) \) ise, \( (m + 1)(m - 3) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( A(m, 0) \) noktası parabolün üzerinde bir nokta olduğu için denklemde yerine koyduğumuzda denklemi sağlar.
\( f(m) = m^2 - 2m - 16 = 0 \)
\( m^2 - 2m = 16 \)
Değeri sorulan ifadenin açılımını yazalım.
\( (m + 1)(m - 3) = m^2 - 2m - 3 \)
\( = 16 - 3 = 13 \) bulunur.
SORU 8:
\( m \) ve \( n \) reel sayılar olmak üzere,
\( x^2 - mx + n = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( (1 + i) \) ise \( m \cdot n \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = n \)
Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşıktır ve kökler birbirinin eşleniğidir.
\( x_1 = 1 + i, \quad x_2 = 1 - i \)
Parabolün kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( (1 + i) + (1 - i) = -\dfrac{-m}{1} \)
\( 2 = m \)
Parabolün kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( (1 + i)(1 - i) = \dfrac{n}{1} \)
\( 1 - i^2 = n \)
\( n = 2 \)
\( m \cdot n = 2 \cdot 2 = 4 \) bulunur.
SORU 9:
\( f \) ikinci dereceden bir polinom fonksiyonu olup tüm reel sayılarda \( f(x) \le 0 \) olarak veriliyor.
\( f(3) = 0 \) ve \( f(8) = -20 \) olduğuna göre, \( f(-7) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Tüm reel sayılarda \( f(x) \le 0 \) ise parabolün kolları aşağı yönlüdür, dolayısıyla başkatsayısı negatiftir.
\( f(3) = 0 \) olduğuna göre parabol \( x \) eksenini kesmektedir, parabol pozitif değer almadığı için \( x \) eksenini teğet keser, dolayısıyla fonksiyonun \( x = 3 \) noktasında çift katlı bir kökü vardır.
Buna göre fonksiyonun denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = a(x - 3)^2 \)
\( a \) değerini bulmak için \( x = 8 \) verelim.
\( f(8) = a(8 - 3)^2 = -20 \)
\( a = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac{4}{5} \)
Bu durumda fonksiyon denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = -\dfrac{4}{5}(x - 3)^2 \)
\( f(-7) \) değerini bulmak için \( x = -7 \) yazalım.
\( f(-7) = -\dfrac{4}{5}(-7 - 3)^2 \)
\( = -80 \) bulunur.
SORU 10:
İkinci dereceden \( f \) fonksiyonunun katsayılar toplamı, kökler toplamı ve kökler çarpımı birbirine eşittir.
\( f(2) = 4 \) ise, \( f(1) \) kaça eşittir?
Çözümü Göster
\( a, b, c \in \mathbb{R} - \{0\} \)
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
Katsayılar toplamı, kökler toplamı ve kökler çarpımı birbirine eşittir.
\( a + b + c = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a} \)
İlk önce kökler toplamı ve çarpımını birbiriyle karşılaştıralım.
\( -\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{a} \)
\( -b = c \)
Şimdi katsayılar toplamı ile kökler çarpımını karşılaştıralım.
\( a + b + c = \dfrac{c}{a} \)
\( a + b - b = \dfrac{c}{a} \)
\( a^2 = c \)
\( -b = c \) eşitliğini kullanalım.
\( -a^2 = b \)
Fonksiyon tanımındaki katsayıları \( a \) cinsinden yazalım.
\( f(x) = ax^2 - a^2x + a^2 \)
\( f(2) \) değerini kullanarak \( a \) değerini bulalım.
\( f(2) = a(2)^2 - a^2(2) + a^2 = 4 \)
\( a^2 - 4a + 4 = 0 \)
\( (a - 2)^2 = 0 \)
\( a = 2 \)
\( f(x) \) fonksiyonunu yazalım.
\( f(x) = 2x^2 - 4x + 4 \)
\( f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 4 \)
\( = 2 \) bulunur.
SORU 11:
Yukarıda grafiği verilen parabolün tepe noktası \( T(4, k) \) noktasıdır.
\( \abs{OB} = 5 \cdot \abs{OA} \) olduğuna göre, \( A \) ve \( B \) noktalarının apsisi kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{AO} = m \) diyelim.
\( \abs{OB} = 5 \cdot \abs{AO} = 5m \) olur.
\( \abs{AB} = m + 5m = 6m \)
Parabolün simetri ekseninin parabol üzerinde ordinatı aynı olan noktalara yatay uzaklığı eşittir.
\( \abs{AC} = \abs{CB} = \dfrac{6m}{2} = 3m \)
\( \abs{OC} = 3m - m = 2m = 4 \)
\( m = 2 \) bulunur.
Buradan \( A \) ve \( B \) noktalarının apsis değerlerini aşağıdaki gibi buluruz.
\( A(-m, 0) = A(-2, 0) \)
\( B(5m, 0) = B(10, 0) \)
SORU 12:
Yukarıdaki şekilde \( f(x) = x^2 + 5x + c \) parabolünün grafiği verilmiştir.
Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalar \( A \) ve \( B \) ve \( \abs{AB} = 1 \text{ br} \) olduğuna göre, parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Çözümü Göster
Parabolün kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{5}{1} = -5 \)
\( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklığı aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( \abs{AB} = \abs{x_1 - x_2} = 1 \)
\( x_1 \)'i büyük kök olarak kabul edelim.
\( x_1 - x_2 = 1 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi çözersek aşağıdaki kök değerlerini buluruz.
\( x_1 = -2, \quad x_2 = -3 \)
Kökler çarpımı formülünü kullanarak \( c \) değerini bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( -3 \cdot (-2) = c \)
\( c = 6 \) bulunur.
SORU 13:
Aşağıda \( f(x) = -x^2 + mx + n \) parabolü verilmiştir.
\( x_1 + x_2 = 3x_1 \cdot x_2 \) olduğuna göre, fonksiyonun alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = -1, \quad b = m, \quad c = n \)
Kökler toplamı formülünü yazalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = m \)
Kökler çarpımı formülünü yazalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = -n \)
\( x_1 + x_2 = 3x_1 \cdot x_2 \) olarak veriliyor.
\( m = -3n \)
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinat değeri aynı zamanda parabolün sabit terimine eşittir.
\( n = -4 \)
\( m = -3n = 12 \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = -x^2 + 12x - 4 \)
Negatif başkatsayılı parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \cdot (-1)} = 6 \)
\( k = f(r) = -6^2 + 12(6) - 4 \)
\( = 32 \) bulunur.
SORU 14:
Aşağıda \( f(x) = -x^2 + 14x + 4m + 8 \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
\( 5\abs{AO} = 2\abs{OB} \) olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = -1, \quad b = 14, \quad c = 4m + 8 \)
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{1 \cdot (-2)} = 7 \)
\( A \) noktasının koordinatlarına \( A(2a, 0) \) diyelim.
\( 5\abs{AO} = 2\abs{OB} \) olduğuna göre, \( B \) noktasının koordinatları \( B(5a, 0) \) olur.
Bu iki noktanın apsis değerlerinin ortalaması tepe noktasının apsis değerini verir.
\( \dfrac{2a + 5a}{2} = 7 \)
\( a = 2 \)
\( A(2a, 0) = A(4, 0) \)
\( A \) noktasının koordinatlarını parabol denkleminde yerine koyalım.
\( f(4) = -4^2 + 14(4) + 4m + 8 = 0 \)
\( 4m = -48 \)
\( m = -12 \) bulunur.
SORU 15:
Aşağıda \( f(x) = x^2 - mx + 8 \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
\( \abs{AB} = 2 \) olduğuna göre, \( f(5) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Parabolün katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = 8 \)
Parabolün köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Kökler toplamı formülünü yazalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = m \)
\( \abs{AB} = 2 \) olduğu için:
\( x_2 = x_1 + 2 \)
\( x_1 + x_1 + 2 = m \)
\( 2x_1 + 2 = m \)
Kökler çarpımı formülünü yazalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 8 \)
\( x_1 \cdot (x_1 + 2) = 8 \)
\( x_1^2 + 2x_1 - 8 = 0 \)
\( (x_1 + 4)(x_1 - 2) = 0 \)
Kökler \( x \) ekseninin pozitif tarafında olduğu için işaretleri pozitiftir, dolayısıyla \( x_1 = 2 \) olur.
\( x_2 = x_1 + 2 = 4 \)
\( m = x_1 + x_2 = 6 \)
Buna göre parabolün denklemi aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = x^2 - 6x + 8 \)
\( f(5) = 5^2 - 6(5) + 8 = 3 \) bulunur.