Parabol Tanımı
Analitik düzlemde bir doğruya ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine parabol denir.
Aşağıdaki grafikte \( d \) doğrusuna ve \( V \) noktasına eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu parabol gösterilmiştir.
Bir parabol grafiğinin iki önemli özelliği şunlardır.
- Kollarının yönü değişebilse de, U harfine benzer bir şekle sahiptir.
- Simetri ekseni adı verilen bir doğru etrafında simetriktir (grafikteki gri kesikli doğru).
Yukarıdaki şekildeki parabolün simetri ekseni \( y \) eksenine paraleldir, ancak bir parabol yukarıdaki tanımı sağladığı sürece farklı doğrultularda simetri eksenine sahip olabilir. Buna göre aşağıdaki eğrilerin tümü birer paraboldür.
Bu parabollerle ilgili bazı ek bilgiler aşağıdaki gibidir.
| Parabol | Özellikler | Denklem |
|---|---|---|
| I | Simetri ekseni \( y \) eksenine paraleldir. Kollar simetri ekseni doğrultusunda yukarı (\( a \gt 0 \)) ya da aşağı (\( a \lt 0 \)) bakar. | \( y = ax^2 + bx + c \) |
| II | Simetri ekseni \( x \) eksenine paraleldir. Kollar simetri ekseni doğrultusunda sağa (\( a \gt 0 \)) ya da sola (\( a \lt 0 \)) bakar. | \( x = ay^2 + by + c \) |
| III ve IV | Simetri ekseni yatay ve dikey olmayan herhangi bir doğrudur. Kollar simetri ekseni doğrultusunda iki yönden birine bakar. | Bu parabollerin denklemlerine burada değinmeyeceğiz. |
Yukarıdaki parabol tiplerinden sadece birincisi fonksiyon tanımına uymaktadır, diğer grafiklerin birer fonksiyon olmaması parabol olmalarına engel değildir.
Bu parabol konusunda sadece birinci tipteki, yani simetri ekseni \( y \) eksenine paralel ve kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan parabolleri inceleyeceğiz ve parabol terimini bu kapsamda kullanıyor olacağız.
Parabolün Denklemi
Simetri ekseni \( y \) eksenine paralel olan parabollerin genel denklemi aşağıdaki gibidir. Eşitliğin sağındaki ifade ikinci dereceden bir polinomdur.
\( a, b, c \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( y = x^2 + 2x - 3 \)
\( y = 2x^2 - 6 \)
\( y = -x^2 \)
Bu denklemde \( x \) ve \( y \) parabolün değişkenleri, \( a \), \( b \) ve \( c \) de katsayılarıdır. \( x^2 \)'li terimin katsayısı parabolün başkatsayısı, \( x \) değişkeni olmayan sondaki terim de parabolün sabit terimidir.
Örnek Bir Parabol
\( f(x) = x^2 \) parabolünün bazı \( x \) değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) | Nokta \( (x, y) \) |
|---|---|---|
| \( -4 \) | \( f(-4) = (-4)^2 = 16 \) | \( (-4, 16) \) |
| \( -3 \) | \( f(-3) = (-3)^2 = 9 \) | \( (-3, 9) \) |
| \( -2 \) | \( f(-2) = (-2)^2 = 4 \) | \( (-2, 4) \) |
| \( -1 \) | \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) | \( (-1, 1) \) |
| \( 0 \) | \( f(0) = 0^2 = 0 \) | \( (0, 0) \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = 1^2 = 1 \) | \( (1, 1) \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = 2^2 = 4 \) | \( (2, 4) \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = 3^2 = 9 \) | \( (3, 9) \) |
| \( 4 \) | \( f(4) = 4^2 = 16 \) | \( (4, 16) \) |
Bu noktalar analitik düzlemde işaretlendiğinde aşağıdaki grafik elde edilir.
Parabol İçin Gerekli Nokta Sayısı
Noktalardan biri parabolün simetri ekseninin geçtiği nokta (tepe noktası) olmadığı durumda, analitik düzlemde iki farklı noktadan geçen sonsuz sayıda parabol çizilebilir.
Noktalardan belirli biri parabolün tepe noktası olduğu durumda, iki farklı noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.
Doğrusal olmayan ve biri parabolün tepe noktası olmayan üç farklı noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.
Doğrusal üç farklı noktadan geçen bir parabol çizilemez.
\( f(x) = (m + 3)x^4 - 2x^{n + 3} + 3x - 1 \)
fonksiyonu bir parabol olduğuna göre, \( m \cdot n \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon bir parabol olduğuna göre denklemi ikinci dereceden bir polinom olmalıdır.
\( m + 3 = 0 \Longrightarrow m = -3 \)
\( n + 3 = 2 \Longrightarrow n = -1 \)
\( m \cdot n = -3 \cdot (-1) = 3 \) bulunur.
\( A(-4, 7) \) noktası \( y = x^2 + mx + m - 3 \) parabolünün üzerinde olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktası verilen parabolün üzerinde olduğuna göre, koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( 7 = (-4)^2 + m(-4) + m - 3 \)
\( 7 = 16 - 4m + m - 3 \)
\( m = 2 \) bulunur.
\( f(x) = (m + 1)x^2 - 4mx + 2m - 1 \) parabolü \( A(2, 3m) \) noktasından geçtiğine göre, \( m \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen parabol \( A \) noktasından geçtiğine göre, bu noktanın koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( f(2) = 3m \)
\( (m + 1)2^2 - 4m(2) + 2m - 1 = 3m \)
\( 4m + 4 - 8m + 2m - 1 = 3m \)
\( m = \dfrac{3}{5} \) bulunur.
\( f(x) = x^2 - 5x + 10 \) parabolü üzerinde ordinatı apsisinin iki katı olan noktaları bulunuz.
Çözümü GösterOrdinatı apsisinin iki katı olan noktaların koordinatları \( (a, 2a) \) şeklindedir.
Bu noktalardan \( f \) parabolü üzerinde olanlar parabol denklemini sağlar.
\( f(a) = 2a \)
\( a^2 - 5a + 10 = 2a \)
\( a^2 - 7a + 10 = 0 \)
\( (a - 2)(a - 5) = 0 \)
Buna göre parabol üzerinde ordinatı apsisinin iki katı olan iki noktanın apsisleri \( x = 2 \) ve \( x = 5 \)'tir.
Bu noktaların ordinatlarının apsislerinin iki katı olduğunu biliyoruz.
\( A_1(a, 2a) = A_1(2, 4) \)
\( A_2(a, 2a) = A_2(5, 10) \)
Bu iki nokta \( f \) parabolü üzerinde ordinatı apsisinin iki katı olan noktalardır.
\( f(x) = x^2 - 2x - 16 \) parabolü \( A(a, 5) \) noktasından geçtiğine göre, \( (a - 7)(a + 5) \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( A(a, 5) \) noktası parabolün üzerinde olduğuna göre, koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( f(a) = 5 \)
\( a^2 - 2a - 16 = -5 \)
\( a^2 - 2a = 11 \)
Değeri sorulan ifadenin açılımını yazalım.
\( (a - 7)(a + 5) = a^2 - 2a - 35 \)
\( = 11 - 35 = -24 \) bulunur.
\( f(x) = ax^2 - bx - 5 \) fonksiyonunun grafiği \( (2, 9) \) ve \( (-1, 3) \) noktalarından geçtiğine göre, \( a - b \) kaçtır?
Çözümü GösterBir nokta bir parabolün üzerinde ise koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( (2, 9) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazalım.
\( f(2) = 9 \)
\( a(2)^2 - b(2) - 5 = 9 \)
\( 2a - b = 7 \)
\( (-1, 3) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazalım.
\( f(-1) = 3 \)
\( a(-1)^2 - b(-1) - 5 = 3 \)
\( a + b = 8 \)
Bulduğumuz iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 5, \quad b = 3 \)
\( a - b = 5 - 3 = 2 \) bulunur.
\( A \) ve \( B \) noktaları \( y = x^2 + 2x - 4 \) parabolünün üzerinde iki noktadır.
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası orijin olduğuna göre, \( \abs{AB} \) uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü Göster\( A \) noktasının koordinatlarına \( (a, b) \) diyelim.
\( A \) noktası parabol üzerinde olduğuna göre, koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( b = a^2 + 2a - 4 \)
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası orijin olduğuna göre, iki nokta orijine göre simetriktir.
Buna göre, \( B \) noktasının koordinatları \( (-a, -b) \) olur.
\( B \) noktası da parabol üzerinde olduğuna göre, koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( -b = (-a)^2 + 2(-a) - 4 \)
\( -b = a^2 - 2a - 4 \)
Eşitliğin taraflarını -1 ile çarpalım.
\( b = -a^2 + 2a + 4 \)
\( A \) ve \( B \) noktaları için bulduğumuz iki eşitliği birbirine eşitleyelim.
\( a^2 + 2a - 4 = -a^2 + 2a + 4 \)
\( 2a^2 = 8 \)
\( a = \pm 2 \)
İki nokta birbirinin simetriği olduğu için apsis değerleri mutlak değerce eşit olacaktır, dolayısıyla \( a \)'nın pozitif ya da negatif değerini almamız sonucu değiştirmeyecektir.
\( a = 2 \)
\( a \) değerini kullanarak \( b \) değerini bulalım.
\( b = 2^2 + 2(2) - 4 = 4 \)
Buna göre iki noktanın koordinatları \( A(2, 4) \) ve \( B(-2, -4) \) olarak bulunur.
İki nokta arasındaki uzaklığı bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{((2 - (-2))^2 + (4 - (-4))^2} \)
\( = \sqrt{16 + 64} \)
\( = 4\sqrt{5} \) bulunur.
Şekildeki \( ABO \) üçgeninin \( [BO] \) kenarı \( x \) ekseni, \( A \) köşesi \( f(x) \) parabolü üzerindedir.
\( ABO \) eşkenar üçgen olduğuna göre, \( A(ABO) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme indirelim ve ekseni kestiği noktaya \( D \) diyelim.
Eşkenar üçgende bir köşeden indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay hem de orta dikmedir.
Eşkenar üçgenin bir kenarına \( 2a \) diyelim.
\( \abs{AB} = \abs{AO} = \abs{BO} = 2a \)
\( \abs{BD} = \abs{OD} = a \)
Bir kenar uzunluğu \( x \) olan eşkenar üçgenin yüksekliği \( \frac{x\sqrt{3}}{2} \) olur.
\( \abs{AD} = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}a \)
\( A(-a, \sqrt{3}a) \)
\( A \) noktası parabol üzerinde olduğu için koordinatları parabol denklemini sağlar.
\( f(-a) = \sqrt{3}a \)
\( \dfrac{(-a)^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}a \)
\( a = 3 \)
\( \abs{AB} = \abs{AO} = \abs{BO} = 2a = 6 \)
Bir kenar uzunluğu \( x \) olan eşkenar üçgenin alanı \( \frac{x^2\sqrt{3}}{4} \) formülü ile bulunur.
\( A(ABO) = \dfrac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \)
\( = 9\sqrt{3} \) bulunur.