Parabol Tanımı
Analitik düzlemde bir doğruya ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine parabol denir.
Aşağıdaki grafikte \( d \) doğrusuna ve \( V \) noktasına eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu parabol gösterilmiştir.
Bir parabol grafiğinin iki önemli özelliği şunlardır:
- Kollarının yönü değişebilse de, U harfine benzer bir şekle sahiptir.
- Simetri ekseni adı verilen bir doğru etrafında simetriktir (grafikteki dikey kırmızı kesikli doğru).
Yukarıdaki şekildeki parabolün simetri ekseni \( y \) eksenine paraleldir, ancak bir parabol yukarıda verdiğimiz tanımı sağladığı sürece farklı doğrultuda simetri eksenlerine sahip olabilir. Buna göre aşağıdaki eğrilerin tümü birer paraboldür.
Bu parabollerle ilgili bazı ek bilgiler aşağıdaki gibidir:
| Parabol | Özellikler | Denklem |
|---|---|---|
| I | Simetri ekseni \( y \) eksenine paraleldir. Kollar simetri ekseni doğrultusunda yukarıya (\( a \gt 0 \)) ya da aşağıya (\( a \lt 0 \)) bakar. | \( y = ax^2 + bx + c \) |
| II | Simetri ekseni \( x \) eksenine paraleldir. Kollar simetri ekseni doğrultusunda sağa (\( a \gt 0 \)) ya da sola (\( a \lt 0 \)) bakar. | \( x = ay^2 + by + c \) |
| III ve IV | Simetri ekseni yatay ve dikey olmayan herhangi bir doğrudur. Kollar simetri ekseni doğrultusunda iki yönden birine bakar. | Bu parabollerin denklemlerine burada değinmeyeceğiz. |
Yukarıdaki parabol tiplerinden sadece birincisi fonksiyon tanımına uymaktadır, diğer grafiklerin birer fonksiyon olmaması parabol olmalarına engel değildir.
Bu parabol konusunda sadece birinci tipteki, yani simetri ekseni \( y \) eksenine paralel ve kolları yukarı ya da aşağı yönlü olan parabolleri inceleyeceğiz ve parabol terimini bu kapsamda kullanıyor olacağız.
Parabolün Denklemi
Simetri ekseni \( y \) eksenine paralel olan parabollerin genel denklemi aşağıdaki gibidir. Eşitliğin sağındaki ifade ikinci dereceden bir polinomdur.
\( a, b, c \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( y = ax^2 + bx + c \)
\( y = x^2 + 2x - 3 \)
\( y = 2x^2 - 6 \)
\( y = -x^2 \)
Denklemde \( x \) ve \( y \) parabolün değişkenleri, \( a \), \( b \) ve \( c \) de katsayılarıdır. \( x^2 \)'li terimin katsayısı parabolün başkatsayısı, \( x \) değişkeni olmayan sondaki terim de parabolün sabit terimidir.
Değer Tablosu ve Grafiği
\( f(x) = x^2 \) parabolünün bazı değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) | Nokta \( (x, y) \) |
|---|---|---|
| \( -4 \) | \( f(-4) = (-4)^2 = 16 \) | \( (-4, 16) \) |
| \( -3 \) | \( f(-3) = (-3)^2 = 9 \) | \( (-3, 9) \) |
| \( -2 \) | \( f(-2) = (-2)^2 = 4 \) | \( (-2, 4) \) |
| \( -1 \) | \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) | \( (-1, 1) \) |
| \( 0 \) | \( f(0) = 0^2 = 0 \) | \( (0, 0) \) |
| \( 1 \) | \( f(1) = 1^2 = 1 \) | \( (1, 1) \) |
| \( 2 \) | \( f(2) = 2^2 = 4 \) | \( (2, 4) \) |
| \( 3 \) | \( f(3) = 3^2 = 9 \) | \( (3, 9) \) |
| \( 4 \) | \( f(4) = 4^2 = 16 \) | \( (4, 16) \) |
Elde ettiğimiz bu noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde aşağıdaki grafiği elde ederiz.
Parabol İçin Gerekli Nokta Sayısı
Noktalardan biri parabolün tepe noktası olmadığı durumda analitik düzlemde seçilen iki farklı noktadan geçen sonsuz sayıda parabol çizilebilir.
Noktalardan belirli biri parabolün tepe noktası olduğu durumda seçilen iki noktadan geçen sadece bir parabol çizilebilir.
Doğrusal olmayan üç farklı noktadan geçen tek bir parabol çizilebilir.
Doğrusal üç farklı noktadan geçen bir parabol çizilemez.
\( f(x) = (m + 3)x^4 - 2x^{n + 3} + 3x - 1 \)
fonksiyonu bir parabol olduğuna göre, \( m \cdot n \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( A(-4, 7) \) noktası \( y = x^2 + mx + m - 3 \) parabolünün üzerinde ise \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = (m + 1)x^2 + 2mx + m - 3 \) parabolü \( A(2, 10) \) noktasından geçiyorsa \( m \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) noktaları \( y = x^2 + 2x - 4 \) parabolünün üzerinde iki noktadır.
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktası orijin olduğuna göre, \( \abs{AB} \) uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü Göster