Aralarında Asal Sayılar
Tümü birlikte sıfır olmamak koşuluyla, iki ya da daha fazla tam sayının 1 dışında pozitif ortak böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır.
Bir grup sayının aralarında asal olması için bu sayıların kendilerinin asal olması gerekmez, önemli olan sayıların 1 dışında pozitif ortak böleni olmamasıdır.
Negatif sayılar asal olamasalar da aralarında asal olabilirler.
Aşağıda aralarında asal olan ve olmayan sayılara birkaç örnek verilmiştir.
| Sayılar | Açıklama |
|---|---|
| 1 ve 3 | Aralarında asal. Pozitif ortak bölenleri sadece 1. |
| 7 ve 10 | Aralarında asal. Pozitif ortak bölenleri sadece 1. |
| -3 ve -1 | Aralarında asal. Pozitif ortak bölenleri sadece 1. |
| 9 ve 12 | Aralarında asal değil. Pozitif ortak bölenleri 1 ve 3. |
| 14 ve 35 | Aralarında asal değil. Pozitif ortak bölenleri 1 ve 7. |
| -2 ve 14 | Aralarında asal değil. Pozitif ortak bölenleri 1 ve 2. |
Aralarında Asal Olma Kuralları
Sayıların aralarında asal olmaları ile ilgili bazı kurallar aşağıdaki gibidir. Bu kuralları incelerken faydası olması açısından bazı sayıların pozitif bölen listeleri aşağıda verilmiştir.
\( PB_0 = \mathbb{Z^+} \)
\( PB_1 = \{ 1 \} \)
\( PB_{-1} = \{ 1 \} \)
\( PB_6 = \{ 1, 2, 3, 6 \} \)
\( PB_{-6} = \{ 1, 2, 3, 6 \} \)
- 1'in kendisi dışında pozitif böleni olmadığı için, 0 dahil tüm tam sayılarla aralarında asaldır.
- -1'in 1 dışında pozitif böleni olmadığı için, 0 dahil tüm tam sayılarla aralarında asaldır.
- 0'ın pozitif bölenleri tüm pozitif tam sayılar olduğu için, 0 ile aralarında asal olan sayılar sadece 1 ve -1'dir.
- Aralarında asal olma tanımı gereği (sayıların tümünün 0 olmama şartı), 0'ın 0 ile aralarında asallığa bakılmaz.
- Birbirinden farklı iki ya da daha fazla asal sayı (örnek: 11 ve 43) her zaman aralarında asaldır.
- Çift sayılar 2'ye bölünebildikleri için iki çift sayı aralarında asal değildir.
Ardışık iki tam sayı her zaman aralarında asaldır.
81 ve 82 aralarında asaldır.
İSPATI GÖSTER\( a \) pozitif tam sayısının asal çarpanları küçükten büyüğe sıralı şekilde \( p_1, p_2, \cdots, p_n \) olsun.
\( a \) sayısının asal çarpanlarının kümesine \( P \) diyelim.
\( a = \{ p_1, p_2, \cdots, p_n \} \)
Buna göre, \( a \) sayısının tüm asal çarpanlarına bölümünde kalanın sıfır olduğunu söyleyebiliriz.
\( a \bmod{p_1} = 0 \)
\( a \bmod{p_2} = 0 \)
\( \vdots \)
\( a \bmod{p_n} = 0 \)
Bu durumda \( a \) sayısı ile ardışık olan \( a + 1 \) tam sayısının \( P \) kümesinin elemanı olan tüm sayılara bölümünde kalan 1 olacaktır.
\( (a + 1) \bmod{p_1} = 1 \)
\( (a + 1) \bmod{p_2} = 1 \)
\( \vdots \)
\( (a + 1) \bmod{p_n} = 1 \)
Bu durum \( a \)'yı tam bölen hiçbir asal sayının \( a + 1 \) sayısını tam bölmediğini, dolayısıyla iki sayının 1 dışında ortak pozitif tam böleni olmadığını gösterir. Bu yüzden \( a \) ve \( a + 1 \) ardışık tam sayılarının her zaman aralarında asal olduğunu söyleyebiliriz.
Ardışık iki tek sayı her zaman aralarında asaldır.
81 ve 83 aralarında asaldır.
İSPATI GÖSTERPozitif tek bir sayı olan \( a \) sayısının asal çarpanları küçükten büyüğe sıralı şekilde \( p_1, p_2, \cdots, p_n \) olsun.
\( a \) sayısının asal çarpanlarının kümesine \( P \) diyelim.
\( a = \{ p_1, p_2, \cdots, p_n \} \)
\( a \) bir tek sayı olduğu için 2'ye bölünmez, dolayısıyla \( a \)'nın en küçük asal çarpanı 3 olabilir.
\( p_1 \gt 2 \)
Pozitif tek bir sayı olan \( a \) sayısının asal çarpanları \( p_1, p_2, \cdots, p_n \) olsun. \( a \) sayısının asal çarpanlarının kümesine \( P \) diyelim.
Buna göre, \( a \) sayısının tüm asal çarpanlarına bölümünde kalanın sıfır olduğunu söyleyebiliriz.
\( a \bmod{p_1} = 0 \)
\( a \bmod{p_2} = 0 \)
\( \vdots \)
\( a \bmod{p_n} = 0 \)
Bu durumda \( a \) sayısı ile ardışık olan \( a + 2 \) pozitif tek sayısının \( P \) kümesinin elemanı olan tüm sayılara bölümünde kalan 2 olacaktır. \( a \)'nın en küçük asal çarpanı 3 olabileceği için en küçük asal çarpan için de kalan aşağıdaki gibi 2 olacaktır.
\( (a + 2) \bmod{p_1} = 2 \)
\( (a + 2) \bmod{p_2} = 2 \)
\( \vdots \)
\( (a + 2) \bmod{p_n} = 2 \)
Bu durum \( a \)'yı tam bölen hiçbir asal sayının \( a + 2 \) sayısını tam bölmediğini, dolayısıyla iki sayının 1 dışında ortak pozitif tam böleni olmadığını gösterir. Bu yüzden \( a \) ve \( a + 2 \) ardışık tek sayılarının her zaman aralarında asal olduğunu söyleyebiliriz.
Aralarında asal \( a \) ve \( b \) sayılarının toplamı olan \( a + b \) sayısı bu iki sayı ile ayrı ayrı aralarında asaldır.
\( 5 \) ve \( 7 \) aralarında asaldır. Dolayısıyla \( 5 + 7 = 12 \) sayısı \( 5 \) ve \( 7 \) ile ayrı ayrı aralarında asaldır.
İSPATI GÖSTERBu kuralın ispatını çelişki yöntemi ile yapalım.
\( a \) ve \( b \) aralarında asal iki sayı olsun.
Bu sayıların toplamı olan \( a + b \) sayısının \( a \) ile aralarında asal olmadığını varsayalım. Dolayısıyla hem \( a \) hem de \( a + b \) sayılarını kalansız bölen 1'den büyük bir \( k \) tam sayısı mevcut olur.
\( k \in \mathbb{Z}, \quad k \gt 1 \) olmak üzere,
\( k \mid a, \quad k \mid (a + b) \)
Modüler aritmetiğe giriş bölümünde yaptığımız ispatlardan birine göre, bir sayı iki sayıyı ayrı ayrı kalansız bölüyorsa bu iki sayının toplamını ve farkını da kalansız böler.
Buna göre, \( k \) sayısı \( a \) ve \( a + b \) sayılarını kalansız bölüyorsa bu sayıların farkını da kalansız bölmelidir.
\( k \mid [(a + b) - a] \)
\( k \mid b \)
Bu sonuç \( k \) sayısının \( b \)'nin de bir böleni olduğu anlamına gelir, \( k \) sayısı hem \( a \) hem de \( b \) sayılarının bir böleni ise \( a \) ve \( b \) aralarında asal olamaz.
Buna göre, bu ispatın başında yaptığımız \( a \) ve \( a + b \) sayılarının aralarında asal olmadığı varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla bu iki sayı aralarında asal olmalıdır.
Benzer bir ispatı \( b \) ve \( a + b \) sayılarının aralarında asal olduğunu göstermek için de yapabiliriz.
Aralarında asal \( a \) ve \( b \) sayılarının toplamları ve çarpımları olan \( a + b \) ve \( a \cdot b \) sayıları da aralarında asaldır.
\( 5 \) ve \( 7 \) aralarında asaldır. Dolayısıyla \( 5 + 7 = 12 \) ve \( 5 \cdot 7 = 35 \) sayıları da aralarında asaldır.
İSPATI GÖSTERBu kuralın ispatını çelişki yöntemi ile yapalım.
\( a \) ve \( b \) aralarında asal iki sayı olsun.
Bu sayıların toplamı ve çarpımı olan \( a + b \) ve \( a \cdot b \) sayılarının aralarında asal olmadığını varsayalım. Dolayısıyla hem \( a + b \) hem de \( a \cdot b \) sayılarını kalansız bölen 1'den büyük bir \( k \) tam sayısı mevcut olur.
\( k \in \mathbb{Z}, \quad k \gt 1 \) olmak üzere,
\( k \mid (a + b), \quad k \mid a \cdot b \)
\( k \) sayısı \( a \cdot b \) sayısını kalansız bölüyorsa \( a \) ve \( b \) sayılarından en az birini kalansız böler. Burada \( a \) sayısını kalansız böldüğünü varsayalım.
\( k \mid a \)
Modüler aritmetiğe giriş bölümünde yaptığımız ispatlardan birine göre, bir sayı iki sayıyı ayrı ayrı kalansız bölüyorsa bu iki sayının toplamını ve farkını da kalansız böler.
Buna göre, \( k \) sayısı \( a \) ve \( a + b \) sayılarını kalansız bölüyorsa bu sayıların farkını da kalansız bölmelidir.
\( k \mid [(a + b) - a] \)
\( k \mid b \)
Bu sonuç \( k \) sayısının \( b \)'nin de bir böleni olduğu anlamına gelir, \( k \) sayısı hem \( a \) hem de \( b \) sayılarının bir böleni ise \( a \) ve \( b \) aralarında asal olamaz.
Buna göre, bu ispatın başında yaptığımız \( a + b \) ve \( a \cdot b \) sayılarının aralarında asal olmadığı varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla bu iki sayı aralarında asal olmalıdır.
\( a \) ve \( b \) sayıları aralarında asal ise bu sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetleri olan \( a^m \) ve \( b^n \) sayıları da aralarında asaldır.
\( 2 \) ve \( 3 \) aralarında asaldır. Dolayısıyla \( 2^4 = 16 \) ve \( 3^3 = 27 \) de aralarında asaldır.
İSPATI GÖSTER\( a \) ve \( b \) sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılışları aşağıdaki gibi olsun.
\( a = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_i^{a_i} \)
\( b = q_1^{b_1} \cdot q_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot q_j^{b_j} \)
\( a \) ve \( b \) sayıları aralarında asal ise asal çarpanları içinde ortak bir çarpan bulunamaz, dolayısıyla aşağıdaki iki kümenin ortak bir elemanı yoktur.
\( A \) ve \( B \) sırasıyla \( a \) ve \( b \) sayılarının asal çarpanlarından oluşan kümeler olmak üzere,
\( A = \{ p_1, p_2, \ldots, p_i \} \)
\( B = \{ q_1, q_2, \ldots, q_j \} \)
\( A \cap B = \emptyset \)
Buna göre, \( a \) ve \( b \) sayılarının birer pozitif tam sayı kuvveti olan \( a^m \) ve \( b^n \) sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılışları aşağıdaki gibi olur.
\( a^m = (p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_i^{a_i})^m \)
\( = p_1^{ma_1} \cdot p_2^{ma_2} \cdot \ldots \cdot p_i^{ma_i} \)
\( b^n = (q_1^{b_1} \cdot q_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot q_j^{b_j})^n \)
\( = q_1^{nb_1} \cdot q_2^{nb_2} \cdot \ldots \cdot q_j^{nb_j} \)
Dikkat edilirse \( a^m \) ve \( b^n \) sayıları \( a \) ve \( b \) sayıları ile aynı asal çarpanlardan oluşmaktadır ve sadece bu asal çarpanların kuvvetleri değişmektedir. Dolayısıyla \( a^m \) ve \( b^n \) sayılarının da 1 dışında ortak bir pozitif böleni bulunmaz ve bu iki sayı aralarında asaldır.
Aralarında Asal Olma Kontrolü
İki ya da daha fazla sayının aralarında asal olup olmadıklarını bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tüm sayılarda ortak en az bir asal çarpan varsa sayılar aralarında asal değildir, aksi durumda aralarında asaldır.
Ortak asal çarpanları bulunmadığı için aşağıdaki iki sayı aralarında asaldır.
\( 28 = 2^2 \cdot 7^1 \)
\( 45 = 3^2 \cdot 5^1 \)
İkişerli olarak ortak çarpanları olsa da üçünün birlikte ortak çarpanı olmadığı için aşağıdaki üç sayı aralarında asaldır.
\( 18 = 2^1 \cdot 3^2 \)
\( 20 = 2^2 \cdot 5^1 \)
\( 75 = 3^1 \cdot 5^2 \)
3 çarpanı tümünde ortak olduğu için aşağıdaki üç sayı aralarında asal değildir.
\( 18 = 2^1 \cdot 3^2 \)
\( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
\( 75 = 3^1 \cdot 5^2 \)
Aralarında Asal Sayıların Sayısı
\( A \) bir pozitif tam sayı olmak üzere, \( A \)'dan küçük ve \( A \) ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \) olmak üzere,
\( A \)'dan küçük ve \( A \) ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısı:
\( = A \cdot \dfrac{x - 1}{x} \cdot \dfrac{y - 1}{y} \cdot \dfrac{z - 1}{z} \)
\( 3a - 1 \) ve \( b + 2 \) sayıları aralarında asaldır.
\( \dfrac{3a - 1}{b + 2} = \dfrac{60}{84} \) olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü GösterAralarında asal iki sayının oranının en sade hali, aynı zamanda aralarında asal sayıları verir (pay ve paydanın aralarında asal olmaması, tekrar sadeleşmelerini sağlayacak ortak çarpan içermeleri anlamına gelir).
Kesirli ifadeyi pay ve paydanın EBOB'u ile sadeleştirelim.
\( EBOB(60, 84) = 12 \)
\( \dfrac{60}{84} = \dfrac{5 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \dfrac{5}{7} \)
Buna göre oranları bu kesre eşit olan aralarında asal sayılar bu kesrin payına ve paydasına eşit olur.
\( \dfrac{3a - 1}{b + 2} = \dfrac{5}{7} \)
\( 3a - 1 = 5 \Longrightarrow a = 2 \)
\( b + 2 = 7 \Longrightarrow b = 5 \)
\( a + b = 2 + 5 = 7 \) bulunur.
\( x \) ve \( y \) sayıları aralarında asaldır.
\( \dfrac{2x - 3y}{2x + 5y} = \dfrac{1}{2} \) olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Gösterİçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4x - 6y = 2x + 5y \)
\( 2x = 11y \)
Değişkenlerin katsayıları aralarında asal olduğu için, bu eşitliği sağlayan sıfırdan farklı en küçük \( x \) ve \( y \) değerleri de aralarında asal olur.
\( x = 11, \quad y = 2 \)
\( xy = 11 \cdot 2 = 22 \) bulunur.
\( 2a + 3b \) ve \( 3a - 2b \) aralarında asal sayılardır.
\( \dfrac{2a + 3b}{3a - 2b} = \dfrac{65}{182} \)
olduğuna göre, \( b - a \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterAralarında asal iki sayının oranının en sade halindeki pay ve payda değerleri aralarında asal sayıları verir, çünkü pay ve paydanın aralarında asal olmaması tekrar sadeleşmelerini sağlayacak ortak çarpan içermeleri anlamına gelir.
Kesirli ifadeyi pay ve paydanın EBOB'u ile sadeleştirelim.
\( EBOB(65, 182) = 13 \)
\( \dfrac{2a + 3b}{3a - 2b} = \dfrac{5 \cdot 13}{14 \cdot 13} = \dfrac{5}{14} \)
Buna göre aralarında asal sayılar bu kesrin payına ve paydasına eşit olur.
\( 2a + 3b = 5 \)
\( 3a - 2b = 14 \)
Birinci denklemin taraflarını 3 ile, ikinci denklemin taraflarını -2 ile çarpalım.
\( 6a + 9b = 15 \)
\( -6a + 4b = -28 \)
Denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( 13b = -13 \)
\( b = -1 \)
\( a = 4 \)
\( b - a = -1 - 4 = -5 \) bulunur.
60'tan küçük ve 60 ile aralarında asal kaç pozitif tam sayı vardır?
Çözümü Göster1. yöntem:
\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \) olmak üzere,
\( A \)'dan küçük ve \( A \) ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısı:
\( = A \cdot \dfrac{x - 1}{x} \cdot \dfrac{y - 1}{y} \cdot \dfrac{z - 1}{z} \)
60 için bu sayıyı hesaplayalım.
\( 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)
60'tan küçük ve 60 ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısı:
\( = 60 \cdot \dfrac{2 - 1}{2} \cdot \dfrac{3 - 1}{3} \cdot \dfrac{5 - 1}{5} \)
\( = 16 \) bulunur.
2. yöntem:
\( E \): 1-60 arası tam sayıların kümesi
\( A_2 \): 2'ye tam bölünen sayıların kümesi
\( A_3 \): 3'e tam bölünen sayıların kümesi
\( A_5 \): 5'e tam bölünen sayıların kümesi
Aşağıdaki şekilde yukarıdaki kümelerin ve aralarındaki kesişim kümelerinin eleman sayıları verilmiştir.
Buna göre 60 ile aralarında asal sayılar 60'ın asal çarpanları olan 2, 3 ve 5'in bir tam sayı katı olmayan, yani \( A_2, A_3, A_5 \) kümelerinin dışında kalan sayılardır.
Şemaya göre bu sayıların adedi \( 60 - 44 = 16 \) olarak bulunur.
\( x, y \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 3x - 8 \) ve \( 2y - 7 \) sayıları aralarında asaldır.
\( 6xy - 21x - 16y = -35 \)
olduğuna göre, \( (x, y) \) sıralı ikilisi kaç farklı değer alabilir?
Çözümü GösterAralarında asal iki sayıyı çarpalım.
\( (3x - 8)(2y - 7) = 6xy - 21x - 16y + 56 \)
\( 6xy - 21x - 16y = -35 \) olarak veriliyor.
\( = -35 + 56 = 21 \)
Çarpımları 21 olan aralarında asal sayı ikilileri için \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.
Durum 1:
\( (3x - 8)(2y - 7) = 21 \cdot 1 \)
\( 3x - 8 = 21 \Longrightarrow x = \dfrac{29}{3} \)
\( 2y - 7 = 1 \Longrightarrow y = 4 \)
Bulduğumuz \( x \) değeri tam sayı olmadığı için \( (x, y) = (\frac{29}{3}, 4) \) ikilisi geçerli bir çözüm değildir.
Durum 2:
\( (3x - 8)(2y - 7) = 7 \cdot 3 \)
\( 3x - 8 = 7 \Longrightarrow x = 5 \)
\( 2y - 7 = 3 \Longrightarrow y = 5 \)
\( (x, y) = (5, 5) \) ikilisi geçerli bir çözümdür.
Durum 3:
\( (3x - 8)(2y - 7) = 3 \cdot 7 \)
\( 3x - 8 = 3 \Longrightarrow x = \dfrac{11}{3} \)
\( 2y - 7 = 7 \Longrightarrow y = 7 \)
Bulduğumuz \( x \) değeri tam sayı olmadığı için \( (x, y) = (\frac{11}{3}, 7) \) ikilisi geçerli bir çözüm değildir.
Durum 4:
\( (3x - 8)(2y - 7) = 1 \cdot 21 \)
\( 3x - 8 = 1 \Longrightarrow x = 3 \)
\( 2y - 7 = 21 \Longrightarrow y = 14 \)
\( (x, y) = (3, 14) \) ikilisi geçerli bir çözümdür.
Buna göre \( (x, y) \) sıralı ikilisi iki farklı değer alabilir.
\( (x, y) \in \{ (5, 5), (3, 14) \} \)
Enes üzerinde kırmızı, yeşil ve mavi renkli bölgelerin bulunduğu bir dart tahtasına atış yapmaktadır. Bu dart oyununda kırmızı bölge için 2, yeşil bölge için 3 ve mavi bölge için 5 puan kazanılmaktadır.
Enes'in her atışta aldığı puanların çarpımı 64800 olduğuna göre, Enes toplam kaç atış yapmıştır?
Çözümü Göster64800 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 64800 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \)
2, 3 ve ve 5 sayıları ikili olarak aralarında asaldır, dolayısıyla her çarpanın üssü o puandaki atış sayısını verir. Buna göre Enes kırmızı bölgeyi 5 kez, yeşil bölgeyi 4 kez, mavi bölgeyi de 2 kez tutturmuştur.
Enes toplam 11 atış yapmıştır.