Tam Bölen Sayısı

200'ün asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:

\( 200 = 2^3 \cdot 5^2 \)

Asal bölenler: 2, 5

Asal bölenlerin sayısı \( = 2 \)

Pozitif bölenlerin sayısı \( = (3 + 1)(2 + 1) = 12 \)

Pozitif bölenler: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı \( = 2 \cdot 12 = 24 \)

Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = 12 - 2 = 10 \)

Asal olmayan pozitif bölenler: 2 ve 5 hariç pozitif bölenler

Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = 24 - 2 = 22 \)

Asal olmayan bölenler: 2 ve 5 hariç tüm bölenler

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = (2 + 1) = 3 \)

Tek sayı pozitif bölenler: 1, 5, 25

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = 12 - 3 = 9 \)

Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler

360'ın asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:

\( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)

Asal bölenler: 2, 3, 5

Asal bölenlerin sayısı \( = 3 \)

Pozitif bölenlerin sayısı \( = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 \)

Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı \( = 2 \cdot 24 = 48 \)

Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 3 = 21 \)

Asal olmayan pozitif bölenler: 2, 3 ve 5 hariç pozitif bölenler

Asal olmayan bölenlerin sayısı \( = 48 - 3 = 45 \)

Asal olmayan bölenler: 2, 3 ve 5 hariç tüm bölenler

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)

Tek sayı pozitif bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı \( = 24 - 6 = 18 \)

Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler

Asal bölenlerin toplamı \( = 2 + 3 + 5 = 10 \)

Pozitif bölenlerin toplamı \( = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \cdot \) \( (3^0 + 3^1 + 3^2) \cdot \) \( (5^0 + 5^1) \)

\( = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \)

Pozitif bölenlerin çarpımı \( = \sqrt{360^{24}} = 360^{12} \)

Sayıyı asal çarpanlarına ayıralım.

\( 70^{n - 4} = (2 \cdot 5 \cdot 7)^{n - 4} \)

\( = 2^{n - 4} \cdot 5^{n - 4} \cdot 7^{n - 4} \)

Bu sayının pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım.

PBS \( = (n - 3)(n - 3)(n - 3) \)

\( (n - 3)^3 = 27 \)

\( n = 6 \) bulunur.

\( 16! = 16 \cdot 15 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \)

Sayıyı asal çarpanlarına ayırmadan \( 16! \) içindeki asal çarpanları yazalım.

\( \{ 2, 3, 5, 7, 11, 13 \} \)

\( 16! \) sayısının asal bölenlerinin toplamı \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41 \) olarak bulunur.

\( 4^4 \cdot 3^{x + 1} = 2^8 \cdot 3^{x + 1} \)

Bu sayının pozitif bölen sayısı formülünü yazalım.

PBS \( = (8 + 1)(x + 2) = 36 \)

\( = 9(x + 2) = 36 \)

\( x = 2 \) bulunur.

359999 sayısını iki kare farkı şeklinde yazalım.

\( 359999 = 360000 - 1 = 600^2 - 1 \)

\( = (600 - 1)(600 + 1) = 599 \cdot 601 \)

599 ve 601 asal sayılardır.

Dolayısıyla, 359999 sayısının pozitif bölenleri 1, 599, 601, 359999 olarak bulunur.

İfadeyi asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.

\( 3^{a + 9} \cdot 2^{a + 9} \cdot 7^2 \cdot 2^{3 \cdot \frac{2 - 3a}{3}} \)

\( = 3^{a + 9} \cdot 2^{a + 9} \cdot 7^2 \cdot 2^{2 - 3a} \)

\( = 2^{11 - 2a} \cdot 3^{a + 9} \cdot 7^2 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı, asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

\( (11 - 2a + 1)(a + 9 + 1)(2 + 1) = 90 \)

\( (12 - 2a)(a + 10) = 30 \)

\( -2a^2 - 8a + 120 = 30 \)

\( a^2 + 4a - 45 = 0 \)

\( (a + 9)(a - 5) = 0 \)

\( a = -9 \) ya da \( a = 5 \)

\( a \) pozitif tam sayı olduğu için \( a = 5 \) olur.

Tam sayı bölen sayısını bulmak için \( A \)'yı asal çarpanlarına ayıralım.

İfadeyi \( 9^{24} \) parantezine alalım.

\( A = 9^{24}(1 + 9 + 9^2 + 9^3) \)

\( = 3^{48}(1 + 9 + 81 + 729) \)

\( = 3^{48} \cdot 820 \)

\( = 2^2 \cdot 3^{48} \cdot 5 \cdot 41 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

\( A \) sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı:

\( (2 + 1)(48 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 588 \) olarak bulunur.

Verilen sayıya \( A \) diyelim.

\( A = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

Önce pozitif bölenlerden 4'e tam bölünenleri bulalım.

\( A \) sayısının içindeki 4 çarpanını ayıralım.

\( 2^2 \cdot (2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7) \)

Buna göre \( A \) sayısının \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \) sayısının pozitif bölen sayısı kadar 4'e tam bölünen pozitif böleni vardır.

\( (3 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 96 \) pozitif bölen

Şimdi de pozitif bölenlerden 4 ve 7'ye tam bölünenleri bulalım. Bunun için \( A \) sayısının içindeki 4 ve 7 çarpanlarını ayıralım.

\( 2^2 \cdot 7 \cdot (2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2) \)

\( A \) sayısının \( 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \) sayısının pozitif bölen sayısı kadar 4 ve 7'ye tam bölünen pozitif böleni vardır.

\( (3 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 48 \) pozitif bölen

Tüm durumdan istenmeyen durumu çıkardığımızda istenen durumu buluruz.

\( 96 - 48 = 48 \) pozitif bölen bulunur.

Verilen kümenin elemanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.

\( \{1, 2, a, 2 \cdot 3, 3^2, b\} \)

Elemanlar içinde 3 asal çarpanı içeren eleman bulunduğu için 3 de bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.

Elemanlar içinde \( 3^2 \) bulunduğu için 2 ve \( 3^2 \)'nin çarpımı da bu sayının bir pozitif böleni olmalıdır.

Buna göre \( a = 3 \) ve \( b = 2 \cdot 3^2 = 18 \) olur.

\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)

\( \{ 1, 2, 3, 6, 9, 18 \} \)

\( a + b = 3 + 18 = 21 \) bulunur.

\( A \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( A = 111^2 + 333^2 + 555^2 \)

\( = 111^2 + 3^2 \cdot 111^2 + 5^2 \cdot 111^2 \)

\( = 111^2(1 + 3^2 + 5^2) \)

\( = 111^2 \cdot 35 \)

\( = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 37^2 \)

Pozitif bölen sayısı (PBS) asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

PBS \( = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) \)

\( = 36 \) bulunur.

\( \dfrac{2x + 180}{x} = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{180}{x} \)

İlk terim bir tam sayı olduğu için ikinci terimi tam sayı yapan \( x \) değerleri tüm ifadeyi de tam sayı yapar.

180'in her pozitif böleni için bu kesirli ifadenin sonucu tam sayı olur.

\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)

180'in pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım.

PBS \( = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 \) bulunur.

2500'ü asal çarpanlarına ayıralım.

\( 2500 = 2^2 \cdot 5^4 \)

İfadeyi tam kare çarpanlar cinsinden yazalım.

\( 2500 = (2^2)^1 \cdot (5^2)^2 \)

Tam kare bölenlerin içinde tüm çarpanların tam kare şeklinde bulunmaları gerektiği için parantez içindeki çarpanları asal çarpan gibi düşünerek pozitif bölen sayısını bulalım.

Tam kare bölen sayısı \( = (1 + 1)(2 + 1) = 6 \)

2500'ün 6 tam kare böleni aşağıdaki sayılardır.

\( \{ 1, 4, 25, 100, 625, 2500 \} \)

İstenen sayıya \( A \) diyelim.

4860 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 4860 = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5 \)

4860'a tam bölünmesi için, \( A \) sayısı 4860 sayısının tüm asal çarpanlarını içermelidir.

Ayrıca tam kare bir sayı olması için, \( A \) sayısının tüm asal çarpanlarının kuvvetleri çift sayı olmalıdır.

Bu koşulları sağlayan en küçük \( A \) sayısını yazalım.

\( A = 2^2 \cdot 3^6 \cdot 5^2 \)

\( = 10^2 \cdot 27^2 \)

\( = 270^2 \) bulunur.

\( A \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( A = 2^5 \cdot 5^4 \cdot 2^3 \cdot 3^3 \)

\( = 2^8 \cdot 3^3 \cdot 5^4 \)

İfadeyi tam kare çarpanlar cinsinden yazalım.

\( A = (2^2)^4 \cdot (3^2)^1 \cdot 3 \cdot (5^2)^2 \)

Tam kare bölenlerin içinde tüm çarpanların tam kare şeklinde bulunması ve tam kare dışında bir çarpan bulunmaması gerektiği için parantez içindeki çarpanları asal çarpan gibi düşünerek pozitif bölen sayısını bulalım.

Tam kare bölen sayısı \( = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30 \)

Bulduğumuz tam kare bölen sayısına 1 de dahil olduğu için sonuçtan 1 çıkaralım.

\( 30 - 1 = 29 \) bulunur.

İstenen sayıya \( A \) diyelim.

\( 44 = 2^2 \cdot 11 \)

\( 77 = 7 \cdot 11 \)

Buna göre \( A \) sayısı \( 2^2 \), \( 7 \) ve \( 11 \) asal çarpanlarını içerir.

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

\( A \) sayısının 12 pozitif böleni ve en az 3 asal çarpanı olduğu için, sayı aşağıdaki formda olmalıdır.

\( A = a^2 \cdot b \cdot c \)

Buna göre \( A \) sayısı aşağıdaki gibi olur.

\( A = 2^2 \cdot 7 \cdot 11 = 308 \) bulunur.

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

Dolayısıyla, \( N \) tam sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( a^5 \) ya da \( a^2 \cdot b \) formunda olmalıdır.

28125 sayısını çarpanlarına ayıralım.

\( 28125 = 3^2 \cdot 5^5 \)

\( N \) sayısı iki asal çarpan içerdiği için \( a^5 \) formunda değil, \( a^2 \cdot b \) formunda olmalıdır.

\( N = a^2 \cdot b = 5^2 \cdot 3 = 75 \)

PBS \( N \) sayısının pozitif bölenlerinin sayısı olmak üzere, pozitif bölenlerin çarpımı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \sqrt{N^\text{PBS}} = \sqrt{75^6} = 75^3 \)

Tüm bölenlerin çarpımını beş bölenin çarpımına böldüğümüzde altıncı böleni buluruz.

\( \dfrac{75^3}{28125} = \dfrac{3^3 \cdot 5^6}{3^2 \cdot 5^5} \)

\( = 3 \cdot 5 = 15 \) bulunur.

15 ve 300'ü asal çarpanlarına ayıralım.

\( 15 = 3 \cdot 5 \)

\( 300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \)

Verilen iki ifadenin tam sayı olması için \( x \) en az \( 3 \cdot 5 \), en fazla \( 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \) çarpanlarını içermelidir.

300 içinde olup 15 içinde olmayan çarpanlar \( 2^2 \cdot 5 \) olur ve bu çarpanlar ile yazılabilecek sayı kadar farklı \( x \) sayısı yazılabilir.

\( 2^2 \cdot 5 \) çarpanları ile \( (2 + 1)(1 + 1) = 6 \) farklı sayı yazılabilir. Bu sayıların her birini \( 15 = 3 \cdot 5 \) ile çarptığımızda istenen koşulu sağlayan \( x \) değerlerini buluruz.

\( x \)'in alabileceği bu 6 değer aşağıdaki gibidir.

\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^0 = 15 \)

\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^0 = 30 \)

\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^0 = 60 \)

\( 15 \cdot 2^0 \cdot 5^1 = 75 \)

\( 15 \cdot 2^1 \cdot 5^1 = 150 \)

\( 15 \cdot 2^2 \cdot 5^1 = 300 \)

210 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.

\( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)

Buna göre 210'un \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \) pozitif tam sayı böleni vardır ve her biri için çarpımları 210 olan bir sıralı ikili yazılabilir.

\( (a, b) \in \{(1, 210), (2, 105), (3, 70), \ldots\} \)

\( y \in \mathbb{Z^+} \) olduğu için \( y + 8 \) çarpanı 8'den büyük, dolayısıyla \( y \notin \{1, 2, 3, 5, 6, 7\} \) olur.

Buna göre \( x \)'in alabileceği değerlerin sayısı \( 16 - 6 = 10 \) olarak bulunur.

\( 2514 - 98 = 2416 \)

İstenen sayı 2416'yı tam bölmelidir.

2416'yı çarpanlarına ayıralım.

\( 2416 = 2^4 \cdot 151 \)

2416'nın asal çarpanlarının (2, 2, 2, 2, 151) herhangi bir alt kümesindeki elemanların çarpımı 2416'yı tam böler.

Bu sayı ayrıca 2514'ü böldüğünde 98 kalanını verdiği için 98'den büyük olmalıdır.

2416'ın 98'den büyük olan en küçük böleni 151'dir.

Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.

\( 8820 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 8820 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 \)

Bir sayının tam kare olması için sayının tüm asal çarpanlarının kuvveti çift sayı olmalıdır.

8820 sayısında 5 çarpanı bir kez bulunduğu için kesrin sonucunda 5 çarpanı bulunmamalıdır, dolayısıyla \( n \) sayısı 5 çarpanı içermelidir.

\( n \) sayısının içinde 5 dışında diğer asal çarpanlar tam kare olarak bulunduğunda ifadenin sonucu tam kare olur.

\( 2^2, 3^2, 5^2 \) çarpanları ile \( 2^3 = 8 \) farklı sayı oluşturulabilir.

\( n \in \{5, 5 \cdot 2^2, 5 \cdot 3^2, 5 \cdot 7^2, 5 \cdot 2^2 \cdot 3^2, 5 \cdot 2^2 \cdot 7^2, 5 \cdot 3^2 \cdot 7^2, 5 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2\} \)

Buna göre, verilen ifadenin sonucunu tam kare yapan 8 farklı \( n \) tam sayısı vardır.

Kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( 2^{16} - 1^2 = (2^8 + 1)(2^8 - 1) \)

Aynı özdeşliği kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırmaya devam edelim.

\( = (2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^4 - 1) \)

\( = (2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^2 + 1)(2^2 - 1) \)

\( = (2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^2 + 1)(2^1 + 1)(2^1 - 1) \)

\( = 257 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 \)

Bu ifadedeki çarpanların tümü asal sayı olduğu için sayıyı daha fazla çarpanlarına ayıramayız.

Asal çarpanları kendi aralarında çarparak tüm bölenleri arasından 2 basamaklı olanları bulalım.

257 asal çarpanı 3 basamaklı olduğundan sadece 17, 5 ve 3 çarpanlarını dikkate almamız yeterlidir.

\( 17 = 17 \)

\( 3 \cdot 5 = 15 \)

\( 3 \cdot 17 = 51 \)

\( 5 \cdot 17 = 85 \)

Buna göre \( 2^{16} - 1 \) sayısının 15, 17, 51 ve 85 olmak üzere dört tane 2 basamaklı böleni vardır.

9360 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 9360 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 13 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

\( (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 60 \)

9360 sayısının pozitif bölenleri içinde 1, 2 ve 3 böleni olan sayıları bulalım.

9360'ın bölenleri içinde sadece bir böleni olan tek sayı 1'dir.

9360'ın bölenleri içinde sadece iki böleni olan sayılar asal çarpan listesindeki asal çarpanlardır. 2, 3, 5 ve 13'ün her birinin bölenleri 1 ve kendileridir.

Buna göre sadece iki böleni olan 4 sayı vardır.

9360'ın bölenleri içinde sadece üç böleni olan sayılar kuvveti 2 ve daha büyük olan asal çarpanların kareleridir.

Buna göre \( 2^2 = 4 \) ve \( 3^2 = 9 \) sayılarının 3'er böleni vardır. 4'ün bölenleri 1, 2 ve 4; 9'un bölenleri 1, 3 ve 9'dur.

3'ten fazla böleni olan sayıları bulmak için 60'tan bu sayıları çıkaralım.

\( 60 - 1 - 4 - 2 = 53 \) bulunur.

Aşağıdaki şekilde tanımlı bir \( A \) sayısının pozitif bölenlerinin toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( A = x^a \cdot y^b \cdot z^c \)

Pozitif bölenlerin toplamı \( = (x^0 + x^1 + x^2 + \ldots + x^a) \) \( (y^0 + y^1 + y^2 + \ldots + y^b) \) \( (z^0 + z^1 + z^2 + \ldots + z^c) \)

Bu bölenlerden en az bir tane 2 çarpanı içerenler çift sayı, hiç 2 çarpanı içermeyenler ise tek sayı olur.

\( X \) sayısının tek sayı bölenlerinin toplamına \( n \) diyelim.

Her ne kadar \( n \) değerine aşağıdaki çözümde ihtiyaç duymayacak olsak da bu değer 2 dışındaki asal çarpanlarla oluşturulabilecek tüm bölenlerin toplamına eşittir.

\( n = (2^0)(5^0 + 5^1 + 5^2)(7^0 + 7^1 + 7^2 + 7^3)(13^0 + 13^1) \)

\( X \) sayısının çift sayı bölenlerinin toplamına ise \( m \) diyelim.

\( X \) sayısının çift sayı pozitif bölenleri en az bir 2 çarpanı içeren bölenlerden oluşur.

\( m = (2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4) \cdot n \)

\( = 30n \)

Bulduğumuz iki değerin oranını bulalım.

\( \dfrac{\text{Tek bölenlerin toplamı}}{\text{Çift bölenlerin toplamı}} = \dfrac{n}{30n} \)

\( = \dfrac{1}{30} \) bulunur.

Aşağıdaki kümeleri tanımlayalım.

\( A \): \( 185^8 \) sayısının tüm pozitif bölenlerinin kümesi

\( A_2 \): \( 185^8 \) sayısının karekökü tam sayı olan bölenlerinin kümesi

\( A_3 \): \( 185^8 \) sayısının küpkökü tam sayı olan pozitif bölenlerinin kümesi

Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.

\( 185^8 \) sayısının karekökü veya küpkökü tam sayı olan pozitif bölenlerinin sayısı, \( A_2 \cup A_3 \) birleşim kümesinin eleman sayısına eşittir.

\( 185^8 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 185^8 = 5^8 \cdot 37^8 \)

Bir sayının karekökünün tam sayı (tam kare) olması için asal çarpanlarının tümünün üsleri çift sayı olmalıdır.

\( 185^8 = (5^2)^4 \cdot (37^2)^4 \)

Buna göre \( 185^8 \) sayısının \( (4 + 1)(4 + 1) = 25 \) tane tam kare böleni vardır.

\( s(A_2) = 25 \)

Bir sayının küpkökünün tam sayı (tam küp) olması için asal çarpanlarının tümünün üsleri 3'ün birer tam sayı katı olmalıdır.

\( 185^8 = (5^3)^2 \cdot (37^3)^2 \cdot x \)

Buna göre \( 185^8 \) sayısının \( (2 + 1)(2 + 1) = 9 \) tane tam küp böleni vardır.

\( s(A_3) = 9 \)

6 hem 2'ye hem de 3'e bölündüğü için asal çarpanların 6 olduğu durumda oluşan bölenler hem tam kare hem de tam küptür ve yukarıda tanımladığımız iki kümenin de elemanıdır.

\( 185^8 = (5^6)^1 \cdot (37^6)^1 \cdot y \)

Buna göre \( 185^8 \) sayısının \( (1 + 1)(1 + 1) = 4 \) tane böleni hem tam kare hem de tam küptür.

\( s(A_2 \cap A_3) = 4 \)

Hem tam kare hem de tam küp olan bölenler: \( 5^0 \cdot 37^0, 5^0 \cdot 37^6, 5^6 \cdot 37^0, 5^6 \cdot 37^6 \)

\( A_2 \cup A_3 \) kümesinin eleman sayısını bulmak için iki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülünü kullanalım.

\( s(A_2 \cup A_3) = s(A_2) + s(A_3) - s(A_2 \cap A_3) \)

\( = 25 + 9 - 4 = 30 \) bulunur.

\( 27^{2024} = a^b \)

\( (3^3)^{2024} = a^b \)

\( 3^{6072} = a^b \)

\( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılar olduğu için, verilen eşitlik gereği \( a \) sayısı 3'ün bir pozitif tam sayı kuvveti olmalıdır.

\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

\( a = 3^k \)

\( 3^{6072} = (3^k)^b = 3^{kb} \)

\( 6072 = kb \)

\( k \) sayısı 6072 sayısının herhangi bir pozitif böleni olabilir.

6072 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 6072 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 23 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin bir fazlasının birbiriyle çarpımına eşittir.

6072 sayısının toplam pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım.

\( PBS = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 32 \)

Buna göre, 32 farklı \( k \) sayısı vardır.

\( k \) sayısını oluşturan asal çarpanlar dışındaki çarpanlar \( b \) sayısını oluşturur, 3'ün \( k \). kuvveti de \( a \) sayısını belirler.

Buna göre 32 farklı \( (a, b) \) ikilisi yazılabilir.

(a) seçeneği:

168 ve 1540 sayılarını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazalım.

\( 168 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1 \)

\( 1540 = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \)

\( B_{168} \cap B_{1540} \) kümesi, 168 ve 1540 sayılarının tüm ortak pozitif bölenlerinden, dolayısıyla EBOB'larının pozitif tam bölenlerinden oluşur.

\( EBOB(168, 1540) = 2^2 \cdot 7^1 = 28 \)

28 sayısının pozitif tam bölen sayısı \( (2 + 1)(1 + 1) = 6 \)'dır.

\( s(B_{168} \cap B_{1540}) = s(B_{28}) = 6 \)

(b) seçeneği:

168 ve 1540 sayılarının pozitif bölenlerinin sayısını bulalım.

\( B_{168} = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 \)

\( B_{1540} = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 24 \)

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur.

\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)

\( s(B_{168} \cup B_{1540}) = s(B_{168}) + s(B_{168}) - s(B_{168} \cap B_{1540}) \)

\( = 16 + 24 - 6 = 34 \) bulunur.

\( 21 = 7 \cdot 3 \)

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

İstenen koşulu sağlayan sayıların asal çarpanlarına \( x \) ve \( y \), kuvvetlerine \( a \) ve \( b \) diyelim.

\( A = x^a \cdot y^b \)

\( (a + 1)(b + 1) = 7 \cdot 3 \)

\( a = 6, \quad b = 2 \)

İki asal çarpanı olan, asal çarpanlarının kuvvetleri 6 ve 2 olan ve 10000'den küçük olan sayıları bulalım.

Durum 1:

Üssü 6 olan asal çarpanın 2 olduğunu varsayalım.

\( 2^6 \cdot 3^2 = 576 \lt 10^4 \)

\( 2^6 \cdot 5^2 = 1600 \lt 10^4 \)

\( 2^6 \cdot 7^2 = 3136 \lt 10^4 \)

\( 2^6 \cdot 11^2 = 7744 \lt 10^4 \)

\( 2^6 \cdot 13^2 = 10816 \gt 10^4 \)

Bu durumda istenen koşulu sağlayan 4 sayı vardır.

Durum 2:

Üssü 6 olan asal çarpanın 3 olduğunu varsayalım.

\( 3^6 \cdot 2^2 = 2916 \lt 10^4 \)

\( 3^6 \cdot 5^2 = 18225 \gt 10^4 \)

Bu durumda istenen koşulu sağlayan 1 sayı vardır.

Durum 3:

Üssü 6 olan asal çarpanın 5 olduğunu varsayalım.

\( 5^6 \cdot 2^2 = 62500 \gt 10^4 \)

Bu durumda istenen koşulu sağlayan sayı yoktur.

Buna göre istenen koşulu sağlayan 5 pozitif tam sayı vardır.

\( 398^{10} \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 398^{10} = (2 \cdot 199)^{10} \)

\( = 2^{10} \cdot 199^{10} \)

2'nin ve 199'un hangi kuvvetlerinin \( 10^5 \)'ten küçük olduğunu bulalım.

199'un sıfırdan başlayarak artan kuvvetleri için 2'nin hangi kuvvetlerinin istenen koşulu sağladığını bulalım.

Durum 1: \( 199^0 \)

2'nin tüm kuvvetleri \( 10^5 \)'ten küçüktür.

\( 2^{10} = 1024 \lt 10^5 \)

Aşağıdaki 11 sayı bu durumda istenen koşulu sağlar.

\( 2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{10} \)

Durum 2: \( 199^1 \)

\( 199^1 \) ile 2'nin ilk 8 kuvvetinin çarpımı \( 10^5 \)'ten küçüktür.

\( 199 \cdot 2^8 = 50944 \lt 10^5 \)

Aşağıdaki 9 sayı bu durumda istenen koşulu sağlar.

\( 199 \cdot 2^0, 199 \cdot 2^1, \ldots, 199 \cdot 2^8 \)

Durum 3: \( 199^2 \)

\( 199^2 \) ile 2'nin birinci kuvvetinin çarpımı \( 10^5 \)'ten küçüktür.

\( 199^2 \cdot 2 = 79202 \lt 10^5 \)

Aşağıdaki 2 sayı bu durumda istenen koşulu sağlar.

\( 199^2 \cdot 2^0, 199^2 \cdot 2^1 \)

Buna göre istenen koşulu sağlayan pozitif bölen sayısı \( 11 + 9 + 2 = 22 \) olarak bulunur.