Periyodik Tekrar Problemleri
Bu tip problemlerde, farklı periyotlarda tekrarlayan iki ya da daha fazla olayın birlikte gerçekleşme periyotları bulunur. Farklı olayların birlikte gerçekleşme periyodunun en küçük değeri, olayların ayrı ayrı gerçekleşme periyotlarının EKOK'una eşittir.
Bu tip sorulara aşağıdaki gibi örnekler verilebilir.
- 12, 15 ve 24 sn aralıklarla yanan üç LED ışığının birlikte yanma periyodu
- 4, 5 ve 7'şer günde bir aynı saatte spor salonuna giden üç arkadaşın bugün salonda karşılaştıktan sonra tekrar karşılaşma periyodu
- 9 günde bir nöbet tutan bir hemşirenin pazar günleri nöbet tutma periyodu
10 Mart Cuma günü sabah saat 10:30'dan 427 saat sonrası hangi gün ve saat olur?
Çözümü Göster427 saatin içinde kaç gün ve saat olduğunu bulmak için 24'e bölelim.
\( 427 = 17 \cdot 24 + 19 \)
427 saat içinde 17 gün ve 19 saat vardır.
17 gün içinde kaç hafta ve gün olduğunu bulmak için 7'ye bölelim.
\( 17 = 2 \cdot 7 + 3 \)
17 gün içinde 2 hafta ve 3 gün vardır.
Cuma gününden 3 gün sonrası Pazartesi olur.
Verilen tarih ve saatten 17 gün sonrası 27 Mart Pazartesi sabah saat 10:30 olur.
Sabah saat 10:30'a 19 saat eklediğimizde 29:30 buluruz, bu da 1 gün sonrası sabah saat 05:30'a karşılık gelir.
Buna göre verilen tarih ve saatten 427 saat sonrası 28 Mart Salı günü sabah saat 05:30 olur.
Tarık 4 günde bir, Berat 6 günde bir havuza yüzmeye gidiyorlar. İlk kez salı günü birlikte yüzmeye gittiklerine göre, 4. kez birlikte yüzmeye gittiklerinde haftanın hangi günü olur?
Çözümü GösterTarık ve Berat'ın birlikte yüzmeye gitme periyotları, ikisinin ayrı ayrı yüzmeye gitme periyotlarının EKOK'una eşittir.
\( EKOK(4, 6) = 12 \)
Buna göre 12 günde bir birlikte yüzmeye giderler.
Yüzmeye ilk kez birlikte gidişlerinden \( 3 \cdot 12 = 36 \) gün sonra 4. kez birlikte giderler.
36'yı 7'ye böldüğümüzde 1 kalanı verir.
\( 36 = 5 \cdot 7 + 1 \)
Salı gününden 1 gün sonrası çarşamba olduğu için 4. kez çarşamba günü birlikte yüzmeye giderler.
Miray'ın hatalı kol saati 4 saat düzgün çalıştıktan sonra 1 saat geriye doğru çalışmaktadır. Örneğin, saat 12:00'da çalıştırıldığında saat 16:00'a kadar düzgün çalışmakta, sonraki 1 saat geriye doğru çalışarak 15:00'ı göstermektedir.
Miray saatine baktığında saati 18:00 olarak gördüğüne göre saati çalıştırma zamanı ve aradan geçen zaman aynı gün içerisinde;
I. 09:00, 15 saat
II. 13:00, 6 saat
III. 08:00, 14 saat
öncüllerinden hangileri olabilir?
Çözümü GösterMiray'ın saati verilenlere göre her 5 saatte 3 saat ilerlemektedir.
I. öncül: Saat 09:00'da çalıştırılırsa 15 saat sonra 9 saat ilerler ve 18:00'ı gösterir. I. öncül doğrudur.
II. öncül: Saat 13.00'da çalıştırılırsa ilk 5 saatte 3 saat, sonraki 1 saatte 1 saat ilerlemiş olur ve 17:00'ı gösterir. 2. öncül yanlıştır.
III. öncül: Saat 08:00'da çalıştırılırsa ilk 10 saatte 6 saat, kalan 4 saatte 4 saat ilerlemiş olur ve 18.00'ı gösterir. 3. öncül doğrudur.
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
Zehra bilgisayarda oyun oynarken gözlerini yormamak için 14 dakika oyun oynadıktan sonra 4 dakika mola vermekte, molanın ardından tekrar 14 dakika oyun oynamaktadır.
Zehra oyun oynamaya saat 11:02'de başladığına göre, saat 17:35'de kaç kez oyun oynamış olur?
Çözümü GösterZehra \( 14 + 4 = 18 \) dakikada bir yeni bir oyuna başlamaktadır.
Saat 11:02 ve 17:35 arasında 6 saat 33 dakika vardır.
6 saat 33 dakika \( 6 \cdot 60 + 33 = 393 \) dakika yapar.
393 dakika içinde 18 dakikanın kaç kez bulunduğunu bulalım.
\( 393 = 21 \cdot 18 + 15 \)
Buna göre Zehra saat 17:35'te 21 kez oyun oynamış ve son oyundan sonraki molayı tamamlamıştır. Kalan 15 dakika içinde 1 kez daha oyun oynayacak vakti kaldığı için bu süre itibariyle toplam 22 kez oyun oynamış olur.
1 Ağustos'ta doğan Mehmet'in doğum günü \( N \) yılında çarşamba gününe, \( N - 1 \) yılında pazartesi gününe denk gelmektedir.
\( N + 3 \) yılında Mehmet'in doğum günü haftanın hangi gününe denk gelir?
Çözümü Göster\( N \) yılının 1 Ağustos'u ile \( N - 1 \) yılının aynı günü arasında; \( N \) artık yıl ise 366 gün, değilse 365 gün vardır.
Mehmet'in doğum günü \( N \) yılında \( N - 1 \) yılına göre haftanın iki günü önde olduğuna göre, aralarındaki gün sayısı 7'ye bölündüğünde 2 kalanını vermelidir.
366 gün 7'ye bölündüğünde kalan 2 olduğuna göre, \( N \) artık yıldır.
\( N \) artık yıl olduğundan \( N + 4 \) yılına kadar başka artık yıl yoktur.
\( N \) yılının 1 Ağustos'undan \( N + 3 \) yılının aynı gününe kadarki gün sayısını bulalım.
\( 365 \cdot 3 = 1095 \) gün
1095 gün 7'ye bölündüğünde kalan 3 olur.
Buna göre, Mehmet'in doğum gününün \( N + 3 \) yılında denk geldiği haftanın günü, \( N \) yılındakine göre üç gün öndedir.
1 Ağustos \( N \) yılında çarşamba gününe denk geldiğine göre, \( N + 3 \) yılında cumartesi gününe denk gelir.
Bir Eylül ayında eşit sayıda perşembe ve pazar günü olduğuna göre, bu ayın ilk günü hangi günler olabilir?
Çözümü GösterEylül ayı 30 gündür.
30 günü 7'ye bölerek Eylül ayında kaç tam hafta olduğunu ve artan gün sayısını bulalım.
\( 30 = 7 \cdot 4 + 2 \)
Buna göre Eylül ayı 4 tam hafta ve ek olarak 2 gün içerir.
Yani Eylül ayı içerisinde haftanın 5 günü 4 kere, 2 günü 5 kere yer alır.
30 günlük bir ayda haftanın hangi günlerinden 5 tane bulunduğu ayın ilk gününün hangi güne denk geldiğine göre değişiklik gösterir.
Bize verilen eşit sayıda perşembe ve pazar günü olduğu bilgisini kullanarak ayın ilk gününün olabileceği günleri bulalım.
Eğer ay pazartesi günü ile başlarsa pazartesiden pazara 4 tam hafta olur, kalan 2 gün pazartesi ve salı olur. Bu durumda pazartesi ve salı günlerinden 5 tane, diğer günlerden 4 tane olur. Perşembe ve pazar gününden 4 tane ve eşit sayıda bulunur.
Eğer ay salı günü ile ile başlarsa salıdan pazartesiye 4 tam hafta olur, kalan 2 gün salı ve çarşamba olur. Bu durumda salı ve çarşamba günlerinden 5 tane, diğer günlerden 4 tane olur. Perşembe ve pazar gününden 4 tane ve eşit sayıda bulunur.
Eğer ay çarşamba günü ile başlarsa çarşambadan salıya 4 tam hafta olur, kalan 2 gün çarşamba ve perşembe olur. Bu durumda çarşamba ve perşembe günlerinden 5 tane, diğer günlerden 4 tane olur. Perşembe gününden 5 tane ve pazar gününden 4 tane bulunur. Perşembe ve pazar günlerinin sayısı eşit değildir.
Eğer ay perşembe günü ile başlarsa perşembeden çarşambaya 4 tam hafta olur, kalan 2 gün perşembe ve cuma olur. Bu durumda perşembe ve cuma günlerinden 5 tane, diğer günlerden 4 tane olur. Perşembe gününden 5 tane ve pazar gününden 4 tane bulunur. Perşembe ve pazar günlerinin sayısı eşit değildir.
Eğer ay cuma günü ile başlarsa cumadan perşembeye 4 tam hafta olur, kalan 2 gün cuma ve cumartesi olur. Bu durumda cuma ve cumartesi günlerinden 5 tane, diğer günlerden 4 tane olur. Perşembe ve pazar gününden 4 tane ve eşit sayıda bulunur.
Eğer ay cumartesi günü ile başlarsa cumartesiden cumaya 4 tam hafta olur, kalan 2 gün cumartesi ve pazar olur. Bu durumda cumartesi ve pazar günlerinden 5 tane, diğer günlerden 4 tane olur. Perşembe gününden 4 tane ve pazar gününden 5 tane bulunur. Perşembe ve pazar günlerinin sayısı eşit değildir.
Eğer ay pazar günü ile başlarsa pazardan cumartesiye 4 tam hafta olur. Kalan 2 gün pazar ve pazartesi olur. Bu durumda pazar ve pazartesi günlerinden 5 tane, diğer günlerden 4 tane olur. Perşembe gününden 4 tane ve pazar gününden 5 tane bulunur. Perşembe ve pazar günlerinin sayısı eşit değildir.
Sonuç olarak eşit sayıda perşembe ve pazar günü bulunduran bir Eylül ayı pazartesi, salı ve cuma günü ile başlayabilir.