EBOB ve EKOK Ortak Özellikleri
\( a \) ve \( b \) tam sayılarının tüm ortak asal çarpanları EBOB'larına dahil olduğu için, bu iki sayıyı EBOB'ları ve aralarında asal iki sayı cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( m, n \) aralarında asal iki sayı olmak üzere,
\( \text{EBOB}(a, b) = d \) ise,
\( a = d \cdot m \)
\( b = d \cdot n \)
\( \text{EBOB}(36, 60) = 12 \)
\( 36 = 12 \cdot 3 \)
\( 60 = 12 \cdot 5 \)
Görebileceğimiz gibi, sayıların EBOB'ları dışında kalan çarpanları (3 ve 5) aralarında asaldır.
İki sayının EKOK'u sayıların ortak çarpanları (\( d \)) ile ortak olmayan çarpanlarının (\( m \) ve \( n \)) çarpımının mutlak değerine eşittir. İki sayının EKOK'u sayıların ortak çarpanlarını bir kez içerir.
\( \text{EBOB}(a, b) = d \) olmak üzere,
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{d \cdot m \cdot n} \)
\( \text{EBOB}(36, 60) = 12 \)
\( \text{EKOK}(36, 60) = 180 \)
\( 180 = 12 \cdot 3 \cdot 5 \)
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı sayıların çarpımının mutlak değerine eşittir.
\( \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) \) \( = \abs{a \cdot b} \)
\( 12 \cdot 180 = 36 \cdot 60 \)
İSPATI GÖSTER
\( a \) ve \( b \) tam sayılarını EBOB'ları ve aralarında asal iki sayı cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( m, n \) aralarında asal iki sayı olmak üzere,
\( \text{EBOB}(a, b) = d \) ise,
\( a = d \cdot m \)
\( b = d \cdot n \)
Bu sayıların EKOK'unu yine bu sayılar cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{d \cdot m \cdot n} \)
Bu EBOB ve EKOK formüllerini taraf tarafa çarpalım.
\( \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = d \cdot \abs{d \cdot m \cdot n} \)
\( \text{EBOB}(a, b) = d \) pozitif bir sayı olduğu için mutlak değer içine alabiliriz.
\( \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = \abs{d \cdot d \cdot m \cdot n} \)
\( \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = \abs{d \cdot m \cdot d \cdot n} \)
Eşitliğin sağ tarafında mutlak değer içindeki çarpanlar sırasıyla \( a \) ve \( b \)'ye eşittir.
\( \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
Bu kural ikiden fazla sayı için geçerli değildir.
\( \text{EBOB}(a, b, c) \cdot \text{EKOK}(a, b, c) \) \( \ne a \cdot b \cdot c \)
\( a \) ve \( b \) aralarında asal sayılar ise EBOB'ları 1'e, EKOK'ları çarpımlarının mutlak değerine eşittir.
\( \text{EBOB}(a, b) = 1 \)
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
\( \text{EBOB}(7, 9) = 1 \)
\( \text{EKOK}(7, 9) = \abs{7 \cdot 9} = 63 \)
İSPATI GÖSTER
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı sayıların çarpımının mutlak değerine eşittir.
\( \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'e eşittir.
\( a \) ve \( b \) aralarında asal ise,
\( \text{EBOB}(a, b) = 1 \)
Buna göre aralarında asal sayıların EKOK'u sayıların çarpımının mutlak değerine eşit olur.
\( 1 \cdot \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
\( b \), \( a \)'nın bir tam sayı katı ise iki sayının EBOB'ları \( a \)'nın mutlak değerine, EKOK'ları \( b \)'nin mutlak değerine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( b = k \cdot a \) ise,
\( \text{EBOB}(a, b) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{b} \)
\( \text{EBOB}(-8, 32) = \abs{-8} = 8 \)
\( \text{EKOK}(-8, 32) = \abs{32} = 32 \)
İki ya da daha fazla sayının EBOB'u bu sayıların herhangi birinin mutlak değerinden büyük olamaz. İki ya da daha fazla sayının EKOK'u da bu sayıların herhangi birinin mutlak değerinden küçük olamaz.
\( \abs{a} \le \abs{b} \) olmak üzere,
\( \text{EBOB}(a, b) \le \abs{a} \le \abs{b} \le \text{EKOK}(a, b) \)
\( x, y, z \) asal sayılar olmak üzere,
\( a = x^4 \cdot y^2 \cdot z^3 \)
\( b = x^2 \cdot y \cdot z^2 \)
\( c = x^3 \cdot y \cdot z^2 \)
olduğuna göre, \( a, b, c \) sayılarının EKOK'unun EBOB'una oranı nedir?
Çözümü GösterSayıların EKOK'u asal çarpanların en yüksek dereceli kuvvetlerinden oluşur.
\( EKOK(a, b, c) = x^4 \cdot y^2 \cdot z^3 \)
Sayıların EBOB'u asal çarpanların en düşük dereceli kuvvetlerinden oluşur.
\( EBOB(a, b, c) = x^2 \cdot y \cdot z^2 \)
\( \dfrac{EKOK(a, b, c)}{EBOB(a, b, c)} = \dfrac{x^4 \cdot y^2 \cdot z^3}{x^2 \cdot y \cdot z^2} \)
\( = x^2 \cdot y \cdot z \) bulunur.
Aralarında asal olan \( x \) ve \( y \) sayılarının çarpımı 115 olduğuna göre,
\( EBOB(x, y) + EKOK(x, y) \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterAralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarına eşittir.
\( \text{EBOB}(x, y) = 1 \)
\( \text{EKOK}(x, y) = x \cdot y = 115 \)
Buna göre \( \text{EBOB}(x, y) + \text{EKOK}(x, y) = 1 + 115 = 116 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{8} \)
\( EKOK(a, b) = 216 \) olduğuna göre, \( EBOB(a, b) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) sayılarını aralarında asal \( m \) ve \( n \) sayıları ve EBOB'larının çarpımı şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( EBOB(a, b) = d \) olmak üzere,
\( a = dm \)
\( b = dn \)
\( a \) ve \( b \) sayılarının oranı aralarında asal iki sayının oranı şeklinde verildiği için \( m = 3 \) ve \( n = 8 \) olur.
\( a = 3d \)
\( b = 8d \)
Yukarıdaki şekilde tanımlanmış iki sayının EKOK'unu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( EKOK(a, b) = dmn \)
\( EKOK(a, b) = d(3)(8) \)
\( 216 = 24d \)
\( d = 9 \)
\( EBOB(a, b) = d = 9 \) bulunur.
\( EBOB(a, b) = 3 \) ve \( EKOK(a, b) = 90 \) olduğuna göre,
\( a + b \) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) sayılarını aralarında asal \( m \) ve \( n \) sayıları ve EBOB'larının çarpımı şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( EBOB(a, b) = 3 \) olmak üzere,
\( a = 3m \)
\( b = 3n \)
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı sayıların çarpımına eşittir.
\( EBOB(a, b) \cdot EKOK(a, b) = a \cdot b \)
\( 3 \cdot 90 = 3m \cdot 3n \)
\( mn = 30 \)
\( m \) ve \( n \) aralarında asal olduğu için, çarpımları 30 olacak şekilde alabilecekleri değerler aşağıdaki gibi olur (sayıların aralarında yer değiştirdiği durumları iki kez saymadan).
\( (m, n) = \{ (30, 1), (15, 2), (10, 3), (6, 5) \} \)
\( a + b \)'nin en küçük değeri \( (m, n) = (6, 5) \) durumunda oluşur.
\( a = 3 \cdot 6 = 18 \)
\( b = 3 \cdot 5 = 15 \)
\( a + b = 18 + 15 = 33 \) bulunur.
\( x \) ve \( y \) aralarında asal sayılar olmak üzere,
\( \text{EBOB}(3x, 3y) \cdot \text{EKOK}(4x, 4y) = 180 \) olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterAralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarına eşittir.
\( \text{EBOB}(x, y) = 1, \quad \text{EKOK}(x, y) = xy \)
Aralarında asal iki sayının 3'er katı olan sayıların tek ortak böleni 3 olur.
\( \text{EBOB}(3x, 3y) = 3 \)
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı sayıların çarpımına eşittir.
\( \text{EKOK}(4x, 4y) = \dfrac{4x \cdot 4y}{\text{EBOB}(4x, 4y)} \)
\( = \dfrac{4x \cdot 4y}{4} = 4xy \)
\( \text{EBOB}(3x, 3y) \cdot \text{EKOK}(4x, 4y) = 180 \)
\( 3 \cdot 4xy = 180 \)
\( xy = 15 \) bulunur.
\( a \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \text{EBOB}(3a, 4a) + \text{EKOK}(a + 1, a + 2) \) toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(a) \( a^2 + 3a + 2 \)
(b) \( a^2 + 4a + 2 \)
(c) \( a^2 + 6a + 6 \)
(d) \( a^2 + 12a + 7 \)
(e) \( a^2 + 14 \)
Çözümü Gösterİki tam sayının \( a \) katının EBOB'u bu sayıların EBOB'unun \( a \) katına eşittir.
\( \text{EBOB}(3a, 4a) = a \cdot \text{EBOB}(3, 4) = a \)
Ardışık iki sayı aralarında asal oldukları için EKOK'ları sayıların çarpımına eşittir.
\( \text{EKOK}(a + 1, a + 2) = (a + 1)(a + 2) \)
\( \text{EBOB}(3a, 4a) + \text{EKOK}(a + 1, a + 2) \)
\( = a + (a + 1)(a + 2) \)
\( = a + a^2 + 3a + 2 \)
\( = a^2 + 4a + 2 \)
Buna göre doğru seçenek (b) olur.
\( b \lt a \lt 100 \) olmak üzere,
\( \text{EBOB}(a, b) = 10 \) ve \( \text{EKOK}(a, b) = 280 \) olduğuna göre, \( a - b \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) sayılarını aralarında asal \( m \) ve \( n \) sayıları ve EBOB'larının çarpımı şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( EBOB(a, b) = 10 \) olmak üzere,
\( a = 10m \)
\( b = 10n \)
Yukarıdaki şekilde tanımlanmış iki sayının EKOK'unu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( EKOK(a, b) = 10mn \)
\( 280 = 10mn \)
\( mn = 28 \)
\( 28 = 2^2 \cdot 7 \) sayısının çarpanları \( m \) ve \( n \) sayılarına sayılar aralarında asal olacak şekilde iki şekilde paylaştırılabilir.
Durum 1:
\( m = 2^2 \cdot 7 = 28, \quad n = 1 \)
\( a = 10(28) = 280 \)
\( b = 10(1) = 10 \)
\( a \gt 100 \) olduğu için bu durum geçerli bir çözüm olmaz.
Durum 2:
\( m = 7, \quad n = 2^2 = 4 \)
\( a = 10(7) = 70 \)
\( b = 10(4) = 40 \)
\( b \lt a \lt 100 \) eşitsizliği sağlandığı için bu durum geçerli bir çözümdür.
Buna göre \( a - b = 70 - 40 = 30 \) bulunur.
\( EBOB(a, b) = 15 \) ve \( a^2 - b^2 = 675 \) olduğuna göre, \( EKOK(a, b) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) sayılarını EBOB'ları ve aralarında asal \( m \) ve \( n \) sayıları cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( EBOB(a, b) = 15 \) olmak üzere,
\( a = 15m \)
\( b = 15n \)
\( a^2 - b^2 = 675 \)
\( (a - b)(a + b) = 675 \)
\( (15m - 15n)(15m + 15n) = 675 \)
\( 225(m - n)(m + n) = 675 \)
\( (m - n)(m + n) = 3 \)
\( m \) ve \( n \) aralarında asal oldukları için \( m = 2 \) ve \( n = 1 \) olur.
\( a = 15m = 15(2) = 30 \)
\( b = 15n = 15(1) = 15 \)
\( EKOK(a, b) = EKOK(30, 15) = 30 \) bulunur.
\( A \) ve \( B \) sayılarının toplamlarının EKOK'larına oranı \( \frac{8}{15} \)'tir.
\( EBOB(A, B) = 6 \) olduğuna göre, büyük olan sayı kaçtır?
Çözümü GösterSayıların EBOB'u 6 ise sayıları aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( m, n \) aralarında asal sayılar olmak üzere,
\( A = 6m \)
\( B = 6n \)
\( EKOK(A, B) = 6mn \)
Sayıların toplamlarının EKOK'larına oranı \( \frac{8}{15} \)'tir.
\( \dfrac{A + B}{EKOK(A, B)} = \dfrac{8}{15} \)
\( \dfrac{6m + 6n}{6mn} = \dfrac{8}{15} \)
\( \dfrac{m + n}{mn} = \dfrac{8}{15} \)
Toplamları 8 ve çarpımları 15 olan aralarında asal iki sayı 5 ve 3'tür.
\( A \)'yı büyük sayı olarak kabul edelim.
\( m = 5, \quad n = 3 \)
\( A = 6m = 30 \) olarak bulunur.
\( \text{EBOB}(45, 60, x) = 15 \) ve \( \text{EKOK}(45, 60, x) = 900 \) olduğuna göre,
\( x \)'in alabileceği en büyük değerin en küçük değere oranı kaçtır?
Çözümü Göster\( 45 = 3^2 \cdot 5^1 \)
\( 60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
\( x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \)
\( \text{EBOB}(45, 60, x) = 15 = 3 \cdot 5 \)
\( \text{EKOK}(45, 60, x) = 900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \)
3 sayının EBOB'u sayıların asal çarpanlarının en küçük kuvvetlerinden, EKOK'u da en büyük kuvvetlerinden oluşur.
Buna göre \( x \) sayısı 2 çarpanını 0, 1 ya da 2 adet içerebilir, 3 çarpanını 1 ya da 2 adet içerebilir, 5 çarpanını 2 adet içerir.
\( x \) sayısının en küçük değeri:
\( x = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 75 \)
\( x \) sayısının en büyük değeri:
\( x = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 900 \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği en büyük değerin en küçük değere oranı \( \frac{900}{75} = 12 \) olur.
\( a \) ve \( b \) birbirinden farklı asal sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( \text{EKOK}(a, b) = ab \)
II. \( \text{EBOB}(a^2, b^2) = 1 \)
III. \( \text{EKOK}(ab, a + b) = a^2b + ab^2 \)
Çözümü GösterBirbirinden farklı iki asal sayı 1 dışında ortak bölenleri olmadığı için aynı zamanda aralarında asaldır.
I. öncül: Aralarında asal sayıların EKOK'u sayıların çarpımına eşittir. I. öncül doğrudur.
II. öncül: Aralarında asal sayıların karelerinin de 1 dışında ortak böleni olmayacağı için kareleri de aralarında asal olur. II. öncül doğrudur.
\( a^2b + ab^2 \) \( = ab(a + b) \)
III. öncül: Aralarında asal sayıların toplamları (\( a + b \)) ve çarpımları (\( ab \)) olan sayılar da aralarında asaldır, dolayısıyla bu iki sayının EKOK'ları toplamları ve çarpımlarının çarpımına eşit olur. III. öncül doğrudur.
Buna göre 3 öncül de doğrudur.
\( \text{EKOK}(a, b, c) = 30 \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( a + b + c \) toplamı en çok 90'dır.
II. \( a, b, c \) farklı sayılar ise \( a + b + c \) toplamı en çok 55'tir.
III. \( \text{EBOB}(a, b, c) = 2 \) ise \( a + b + c \) toplamı en az 20'dir
Çözümü GösterI. öncül: EKOK'ları 30 olan sayılar en çok 30 olabilir. I. öncül doğrudur.
II. öncül: Sayılar farklı ise en büyük sayı yine 30 olabilir. Sonraki en büyük sayı 30'un en küçük bölenine bölümüne, yani \( \frac{30}{2} = 15 \)'e eşit olur. Bir sonraki en büyük sayı 30'un sonraki en küçük bölenine bölümüne, yani \( \frac{30}{3} = 10 \)'a eşit olur. Bu üç sayının toplamı 55 olur. II. öncül doğrudur.
III. öncül: Bu durumda her sayının içindeki tek ortak bölen 2 olmalıdır. Buna göre örneğin \( a = 2, b = 6, c = 10 \) değerleri bu durumu sağlar, ama toplamları 18 olur. III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( EKOK(a, b) = 2 \cdot EBOB(a, b) + 18 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi yazılabilir?
Çözümü Gösterİki sayının EBOB'una \( d \) diyelim.
\( EBOB(a, b) = d \)
\( m \) ve \( n \) aralarında asal sayılar olmak üzere, \( a \) ve \( b \) sayılarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a = dm \)
\( b = dn \)
\( EKOK(a, b) = mnd \)
Soruda verilen eşitliği bu değişkenler cinsinden yazalım.
\( mnd = 2d + 18 \)
\( d(mn - 2) = 18 \)
\( d \), \( m \) ve \( n \) birer tam sayı olduğu için \( d \)'nin alabileceği tüm pozitif tam sayı değerleri için \( (m, n) \) ikililerini bulalım.
\( m \) ve \( n \) sayılarının aralarında asal iki sayı olduğunu unutmayalım.
Durum 1: \( d = 1 \)
\( 1(mn - 2) = 18 \)
\( mn = 20 \)
Bu durumda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (4, 5), (5, 4), (1, 20), (20, 1) \)
Durum 2: \( d = 2 \)
\( 2(mn - 2) = 18 \)
\( mn = 11 \)
Bu durumda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 11), (11, 1) \)
Durum 3: \( d = 3 \)
\( 3(mn - 2) = 18 \)
\( mn = 8 \)
Bu durumda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 8), (8, 1) \)
Durum 4: \( d = 6 \)
\( 6(mn - 2) = 18 \)
\( mn = 5 \)
Bu durumda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 5), (5, 1) \)
Durum 5: \( d = 9 \)
\( 9(mn - 2) = 18 \)
\( mn = 4 \)
Bu durumda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 4), (4, 1) \)
Durum 6: \( d = 18 \)
\( 18(mn - 2) = 18 \)
\( mn = 3 \)
Bu durumda yazılabilecek sıralı ikililer:
\( (1, 3), (3, 1) \)
Bu 14 \( (m, n) \) ikilisinin her birinin bileşenlerini \( d \) ile çarptığımızda ayrı birer \( (a, b) \) sıralı ikilisi elde ederiz.
Dolayısıyla 14 farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi yazılabilir.