En Küçük Ortak Kat (EKOK)
Sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) ya da ortak katların en küçüğü (OKEK) denir.
\( 3 \)'ün katları \( = \{ 3, 6, 9, 12, 15, \ldots \} \)
\( 4 \)'ün katları \( = \{ 4, 8, 12, 16, 20, \ldots \} \)
İki sayının ortak katlarının en küçüğü 12 olduğu için sayıların EKOK'u da 12'dir.
\( \text{EKOK}(3, 4) = 12 \)
Bir negatif tam sayı bir diğer tam sayıyı bölüyorsa sayının pozitif işaretlisi de aynı sayıyı böler. EKOK için pozitif ortak katların en küçüğünü bulmamız gerektiği için verilen sayıların mutlak değerlerini dikkate alarak EKOK'larını bulabiliriz.
Buna göre, aşağıda sayıların EKOK'ları aynıdır.
\( \text{EKOK}(3, 4) = 12 \)
\( \text{EKOK}(-3, 4) = 12 \)
\( \text{EKOK}(3, -4) = 12 \)
\( \text{EKOK}(-3, -4) = 12 \)
İki sayının tüm ortak katları aynı zamanda iki sayının EKOK'unun da birer katıdır. Dolayısıyla, iki sayının tüm ortak katlarını bulmak için bu iki sayının EKOK'unun katlarını bulabiliriz.
EKOK'un birkaç kullanım alanı aşağıdaki gibidir:
- İki kesirin toplama ya da çıkarma işleminde kesirler paydalarının EKOK'una genişletilerek ortak paydada buluşturulur.
- İki ya da daha fazla kesirin karşılaştırılmasında kesirler paydalarının EKOK'una genişletilerek ortak paydada buluşturulur.
Sayıların EKOK'unu Bulma
İki ya da daha fazla sayının EKOK'unu iki farklı yöntemle bulabiliriz.
Bölen Listesi Yöntemi
Bir sayıyı bölen listesi yöntemi ile asal çarpanlarına nasıl ayırabileceğimizi önceki bölümde görmüştük. İki ya da daha fazla sayının EKOK'unu da benzer bir yöntemle bulabiliriz.
- Önce EKOK'unu bulmak istediğimiz sayıları ilk satıra iki sütun halinde yazarak sağına dikey bir çizgi çizeriz.
- Denemeye en küçük asal sayı olan 2'den başlayarak, bu asal sayının bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
- Eğer denediğimiz asal sayı bu iki sayıdan en az birini kalansız bölüyorsa bu asal sayıyı dikey çizginin sağındaki sütuna yazarız. EBOB işleminden farklı olarak, bu sayının o satırdaki tüm sayıları aynı anda kalansız bölüp bölmediğine bakmayız.
- Birinci sütundaki sayının bu asal sayıya kalansız bölünüp bölünmediğine bakarız. Eğer kalansız bölünüyorsa bölümü aynı sütunda sayının altına yeni bir satıra yazarız. Eğer kalansız bölünmüyorsa sayıyı bölme işlemi yapmadan olduğu gibi alt satıra taşırız. Aynı işlemi ikinci sütundaki sayı için de yaparız.
- Her yeni satır için 2., 3. ve 4. adımları tekrarlarız. Denemeye her yeni satırda bir önceki satırda kullandığımız asal sayı ile devam ederiz. Eğer son satırda kullandığımız asal sayı bu satırdaki sayılardan en az birini kalansız bölmüyorsa bu sayıdan büyük bir sonraki asal sayıyı deneyerek devam ederiz.
- Herhangi bir sütunda 1 sayısına ulaştığımızda o sütun için bölme işlemleri tamamlanmıştır. Çizginin solundaki sayıların tümü 1 olduğunda EKOK bulma işlemi tamamlanmıştır.
- Çizginin sağındaki sütundaki tüm sayılar bulmak istediğimiz EKOK değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EKOK'unu bulmuş oluruz.
Bu yöntemi kullanarak 24 ve 30 sayılarının EKOK'unu aşağıdaki şekilde bulabiliriz.
Asal Çarpan Listesi Yöntemi
Kullanabileceğimiz ikinci yöntem aşağıdaki gibidir.
- EKOK'unu bulmak istediğimiz sayıları önce ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırırız ve alt alta asal çarpan listesi şeklinde yazarız.
- Daha sonra her asal çarpan için sayıların asal çarpan listelerindeki en büyük kuvveti alırız.
- Tüm asal çarpanların elde ettiğimiz bu en büyük kuvvetlerle asal çarpan listesi şeklinde yazılışı bulmak istediğimiz EKOK değerinin asal çarpanlarıdır. Bu sayıları çarptığımızda sayıların EKOK'unu bulmuş oluruz.
Aşağıda aynı 24 ve 30 sayıları için bu yöntem gösterilmiştir. Burada 2 asal çarpanının daha büyük kuvveti 24 sayısından, 5'in daha büyük kuvveti ise 30 sayısından gelmektedir. 3'ün kuvveti her iki sayıda da aynı olduğu için büyük kuvvet iki sayıdan da gelmektedir.
24 ve 30'un ortak katları ve en küçük ortak katı (EKOK) aşağıda gösterilmiştir. Görülebileceği gibi, iki sayının sonsuz sayıda ortak katı vardır (120, 240, 360...) ve bunların en küçüğü (EKOK) 120'dir.
EKOK İşlem Özellikleri
EKOK işleminin değişme özelliği vardır:
\( \text{EKOK}(a, b) = \text{EKOK} (b, a) \)
\( \text{EKOK}(9, 12) = \text{EKOK}(12, 9) = 36 \)
EKOK işleminin birleşme özelliği vardır. Buna göre, üç sayının EKOK'u herhangi iki sayının EKOK'unun üçüncü sayı ile EKOK'una eşittir.
\( \text{EKOK}(a, \text{EKOK}(b, c)) \) \( = \text{EKOK}(\text{EKOK}(a, b), c) \) \( = \text{EKOK}(a, b, c) \)
\( \text{EKOK}(6, \text{EKOK}(12, 18)) \) \( = \text{EKOK}(\text{EKOK}(6, 12), 18) \) \( = \text{EKOK}(6, 12, 18) = 36 \)
EKOK İşlem Kuralları
Bir sayının \( 1 \) ya da \( -1 \) ile EKOK'u sayının mutlak değerine eşittir.
\( \text{EKOK}(a, 1) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(a, -1) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(5, 1) = \text{EKOK}(5, -1) \) \( = \abs{5} \) \( = 5 \)
\( \text{EKOK}(-5, 1) = \text{EKOK}(-5, -1) \) \( = \abs{-5} \) \( = 5 \)
İSPATI GÖSTER
Bir \( a \) sayısının pozitif katları aşağıdaki gibidir.
\( PK_a = \{ \abs{a}, 2\abs{a}, 3\abs{a}, \ldots \} \)
\( 1 \)'in ve \( -1 \)'in pozitif katları aşağıdaki gibidir.
\( PK_1 = \{ 1, 2, \ldots, \abs{a}, \ldots \} \)
\( PK_{-1} = \{ 1, 2, \ldots, \abs{a}, \ldots \} \)
Buna göre, bir sayının \( 1 \) ya da \( -1 \) ile en küçük ortak katı sayının mutlak değerine eşittir.
Bir sayının kendisi ya da ters işaretlisi ile EKOK'u sayının mutlak değerine eşittir.
\( \text{EKOK}(a, a) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(a, -a) = \abs{a} \)
\( \text{EKOK}(5, 5) = 5 \)
\( \text{EKOK}(5, -5) = 5 \)
\( \text{EKOK}(-5, -5) = 5 \)
İSPATI GÖSTER
Bir \( a \) sayısının ve ters işaretlisinin pozitif katları aynıdır ve aşağıdaki gibidir.
\( PK_a = \{ \abs{a}, 2\abs{a}, 3\abs{a}, \ldots \} \)
\( PK_{-a} = \{ \abs{a}, 2\abs{a}, 3\abs{a}, \ldots \} \)
Buna göre, bir sayının kendisi ya da ters işaretlisi ile en küçük ortak katı sayının mutlak değerine eşittir.
İki sayı aralarında asalsa EKOK'ları sayıların çarpımının mutlak değerine eşittir.
\( a \) ve \( b \) aralarında asal ise,
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
\( \text{EKOK}(3, 4) = \abs{12} = 12 \)
\( \text{EKOK}(3, -4) = \abs{-12} = 12 \)
\( \text{EKOK}(-3, -4) = \abs{12} = 12 \)
İSPATI GÖSTER
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı sayıların çarpımının mutlak değerine eşittir.
\( \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'e eşittir.
\( a \) ve \( b \) aralarında asal ise,
\( \text{EBOB}(a, b) = 1 \)
Buna göre aralarında asal sayıların EKOK'u sayıların çarpımının mutlak değerine eşit olur.
\( 1 \cdot \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{a \cdot b} \)
\( a \) sayısı \( b \) sayısının bir böleni ise bu iki sayının EKOK'u \( b \)'nin mutlak değerine eşittir.
\( a, b, k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( b = k \cdot a \) ise,
\( \text{EKOK}(a, b) = \abs{b} \)
\( \text{EKOK}(5, 15) = \abs{15} = 15 \)
\( \text{EKOK}(5, -15) = \abs{-15} = 15 \)
İSPATI GÖSTER
Bir \( b \) sayısının pozitif katları aşağıdaki gibidir.
\( PK_b = \{ \abs{b}, 2\abs{b}, 3\abs{b}, \ldots \} \)
\( b \) sayısının bir böleni olan \( a \) sayısının pozitif katları da aşağıdaki gibidir.
\( PK_a = \{ \abs{a}, 2\abs{a}, \ldots, k\abs{a} = \abs{b}, \ldots \} \)
Buna göre, bu iki sayının en küçük ortak katı \( \abs{b} \) olur.
Kesirli Sayıların EKOK'u
Kesirli sayıların EKOK'u, kesirlerin paylarındaki sayıların EKOK'unun paydalarındaki sayıların EBOB'una oranına eşittir.
\( \text{EKOK} \left( \dfrac{a}{x}, \dfrac{b}{y}, \dfrac{c}{z} \right) \) \( = \dfrac{\text{EKOK}(a, b, c)}{\text{EBOB}(x, y, z)} \)
\( \text{EKOK} \left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{6} \right) \) \( = \dfrac{\text{EKOK}(2, 3, 5)}{\text{EBOB}(3, 4, 6)} = \dfrac{30}{1} = 30 \)
24, 36 ve 51 ile tam bölünen en büyük 4 basamaklı sayı kaçtır?
Çözümü GösterBu üç sayıya da tam bölünen en küçük sayı sayıların EKOK'udur.
Sayıların EKOK'unu bulalım.
\( 24 = 2^3 \cdot 3 \)
\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
\( 51 = 3 \cdot 17 \)
\( EKOK(24, 36, 51) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 17 = 1224 \)
Bu üç sayıya tam bölünen sayılar 1224'ün tam sayı katı olan sayılardır.
5 basamaklı en küçük sayı olan 10000'i 1224'e bölerek kalanı bulalım.
\( 10000 = 1224 \cdot 8 + 208 \)
10000'den 208'i çıkardığımızda 1224'e tam bölünen en büyük 4 basamaklı sayıyı buluruz.
\( 10000 - 208 = 9792 \) bulunur.
\( EKOK(20, 32, 36) = EKOK(180, x, 48) \)
olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster20, 32 ve 36 sayılarının EKOK'unu bulalım.
\( 20 = 2^2 \cdot 5 \)
\( 32 = 2^5 \)
\( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
\( EKOK(20, 32, 36) = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 1440 \)
1440, 180 ve 48 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
\( 48 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \)
\( x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \)
\( EKOK(180, x, 48) = 1440 \) olduğu için 1440 sayısı bu üç sayının asal çarpanlarının en yüksek dereceli kuvvetlerinden oluşmalıdır.
1440'ın asal çarpanlarından 2'nin kuvveti olan 5 180 ve 48'de bulunmadığı için bu kuvvet \( x \)'ten gelmelidir. 3'ün ve 5'in kuvvetleri ise 180'de bulunduğu için \( x \)'in en küçük değerinde bu çarpanların kuvveti 0 olmalıdır.
Buna göre \( x \) sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri en az \( a = 5 \), \( b = 0 \) ve \( c = 0 \) olabilir.
\( x = 2^5 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 32 \) bulunur.
\( x, y, z \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( A = 9x + 6 = 8y + 6 = 6z + 6 \) olduğuna göre, \( A \) sayısı en az kaç olabilir?
Çözümü GösterEşitliğin taraflarından 6 çıkaralım.
\( A - 6 = 9x = 8y = 6z \)
Buna göre \( A - 6 \) sayısı 9, 8 ve 6'nın bir ortak katıdır, dolayısıyla bu üç sayının EKOK'unun da bir ortak katıdır.
Bu sayıların EKOK'unu bulalım.
\( EKOK(9, 8, 6) = 72 \)
Buna göre \( A - 6 \) en az 72, \( A \) en az 78 olabilir.
\( x, y, z \in Z^+ \) olmak üzere,
\( A = 4x + 7 = 5y - 2 = 6z + 3 \) olduğuna göre, \( A \) sayısı en az kaç olabilir?
Çözümü Göster\( A \) sayısını 4, 5 ve 6'nın bir ortak katı cinsinden ifade edebilmek için eşitliğin tüm taraflarından 3 çıkaralım.
\( A - 3 = 4x + 4 = 5y - 5 = 6z \)
\( A - 3 = 4(x + 1) = 5(y - 1) = 6z \)
Buna göre \( A - 3 \) sayısı 4, 5 ve 6'nın bir ortak katıdır, dolayısıyla bu üç sayının EKOK'unun da bir ortak katıdır.
Bu sayıların EKOK'unu bulalım.
\( EKOK(4, 5, 6) = 60 \)
Buna göre \( A - 3 \) en az 60, \( A \) en az 63 olabilir.
63'ün soruda verilen eşitliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
\( A = 4x + 7 = 5y - 2 = 6z + 3 \)
\( 63 = 4 \cdot 14 + 7 = 5 \cdot 13 - 2 = 6 \cdot 10 + 3 \)
\( 63 = 63 = 63 = 63 \)
\( x, y, z \in Z^+ \) olmak üzere,
\( A = 3x = 5y - 1 = 7z + 1 \)
koşulunu sağlayan en küçük \( A \) sayısı için \( x + y + z \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) sayısını 3, 5 ve 7'nin bir ortak katı cinsinden ifade edebilmek için eşitliğin tüm taraflarına 6 ekleyelim.
\( A + 6 = 3x + 6 = 5y + 5 = 7z + 7 \)
\( A + 6 = 3(x + 2) = 5(y + 1) = 7(z + 1) \)
Buna göre \( A + 6 \) sayısı 3, 5 ve 7'nin bir ortak katıdır, dolayısıyla bu üç sayının EKOK'unun da bir ortak katıdır.
Bu sayıların EKOK'unu bulalım.
\( EKOK(3, 5, 7) = 105 \)
Buna göre \( A + 6 \) en az 105, \( A \) en az 99 olabilir.
99'un soruda verilen eşitliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim ve \( x + y + z \) değerini bulalım.
\( A = 3x = 5y - 1 = 7z + 1 \)
\( 99 = 3 \cdot 33 = 5 \cdot 20 - 1 = 7 \cdot 14 + 1 \)
\( 99 = 99 = 99 = 99 \)
\( x + y + z = 33 + 20 + 14 = 67 \) bulunur.
\( x, y, z \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( A = 3x + 2 = 5y + 5 = 7z + 4 \) olduğuna göre, \( A \) sayısı en az kaç olabilir?
Çözümü GösterEşitlikteki \( +2 \), \( +5 \) ve \( +4 \) terimlerini sırasıyla 3, 5 ve 7 katsayılarının birer tam sayı katı yapabilmek için eşitliğin tüm taraflarına 10 ekleyelim.
\( A + 10 = 3x + 12 = 5y + 15 = 7z + 14 \)
\( A + 10 = 3(x + 4) = 5(y + 3) = 7(z + 2) \)
Buna göre \( A + 10 \) sayısı 3, 5 ve 7'nin bir ortak katıdır, dolayısıyla bu sayıların EKOK'unun da bir katıdır.
Bu sayıların EKOK'unu bulalım.
\( EKOK(3, 5, 7) = 105 \)
Buna göre \( A + 10 \) en az 105, \( A \) en az 95 olabilir.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x = 72a \)
\( x = 96b \)
\( x = 120c \)
olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en küçük üç değerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
\( 96 = 2^5 \cdot 3 \)
\( 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( x \) bu üç sayının bir tam sayı katı ise sayıların EKOK'larının da bir tam sayı katıdır.
Bu sayıların EKOK'unu bulalım.
\( EKOK(72, 96, 120) = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 1440 \)
Buna göre \( x \) sayısı 1440'ın bir tam sayı katıdır.
\( x \)'in alabileceği en küçük üç değer 1440, 2880 ve 4320 olur.
Bu değerlerin toplamı \( 1440 + 2880 + 4320 = 8640 \) olarak bulunur.
\( m \) sayısının 18 ile en küçük ortak katı 360, 45 ile en büyük ortak böleni 15'tir.
Buna göre \( m \) sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİlk önce asal çarpanlara ayırma yöntemiyle \( m \) ile 18'in EKOK'unu bulalım.
\( 18 = 2^1 \cdot 3^2 \)
\( EKOK(18, m) = 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
İki sayının EKOK'unu bulurken sayıların asal çarpanlarından üssü büyük olanlar alınır.
İki sayının EKOK'unda \( 2^3 \) ve \( 5^1 \) çarpanları \( m \) sayısından gelmiş olmalıdır. \( m \) sayısında \( 3 \) asal çarpanının üssü ise en fazla 2 olmalıdır.
Buna göre \( m \) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( a \in \{0, 1, 2\} \) olmak üzere,
\( m = 2^3 \cdot 3^a \cdot 5^1 \)
\( a \)'nın alabileceği değerlere göre \( m \) üç değer alabilir.
\( m \in \{40, 120, 360\} \)
Şimdi de asal çarpanlara ayırma yöntemiyle \( m \) ile 45'in EBOB'unu bulalım.
\( 45 = 3^2 \cdot 5^1 \)
\( EBOB(45, m) = 15 = 3^1 \cdot 5^1 \)
İki sayının EBOB'unu bulurken sayıların asal çarpanlarından üssü küçük olanlar alınır.
İki sayının EBOB'unda \( 3^1 \) çarpanı \( m \) sayısından gelmiş olmalıdır, buna göre \( a = 1 \) olur.
\( m = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
\( = 120 \)
\( m \) sayısının rakamları toplamı \( 1 + 2 + 0 = 3 \) olarak bulunur.
\( A \) kümesi, 1000'den küçük olan ve \( 2, 3, 4, 5, 6 \) sayıları ile bölündüğünde sırasıyla \( 1, 2, 3, 4, 5 \) kalanlarını veren doğal sayılardan oluşan bir kümedir.
Buna göre \( A \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü GösterSayılar 2, 3, 4, 5 ve 6 ile bölündüğünde kalanın her zaman bölenin 1 eksiği olduğunu görüyoruz, buna göre \( A \) kümesinin elemanlarının birer fazlası bu sayıların tümüne kalansız bölünür.
Bölen sayıların EKOK'unu bulalım.
\( EKOK(2, 3, 4, 5, 6) = 60 \)
Buna göre \( A \) kümesi, 1000'den küçük olan ve bir fazlası 60'a tam bölünen sayılardan oluşur.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere, \( A \) kümesinin elemanları \( 60k - 1 \) formatında olur.
0 ile 1000 arasında bu koşulu sağlayan sayıları bulalım.
\( 0 \le 60k - 1 \lt 1000 \)
\( 1 \le 60k \lt 1001 \)
\( \dfrac{1}{60} \le k \lt \dfrac{1001}{60} \)
\( \dfrac{1}{60} \le k \lt 16,683 \ldots \)
Tam sayı \( k \) değerleri aşağıdaki aralıkta olur.
\( 1 \le k \le 16 \)
\( A \) kümesinin eleman sayısı 16 olarak bulunur.
12'ye bölündüğünde 4, 15'e bölündüğünde 7, 40'a bölündüğünde 32 kalanını veren, aynı zamanda 11'in tam katı olan en küçük tam sayı kaçtır?
Çözümü Gösterİstenen sayıya \( A \) dersek verilen bilgileri aşağıdaki gibi bir eşitliğe dönüştürebiliriz.
\( A = 12m + 4 = 15n + 7 = 40p + 32 = 11q \)
12, 15 ve 40 sayılarının EKOK'unu kullanabilmek için eşitliklerdeki sabit terimlerden kurtulmaya çalışalım.
Eşitliğin tüm taraflarına 8 ekleyelim.
\( A + 8 = 12m + 12 = 15n + 15 = 40p + 40 = 11q + 8 \)
\( A + 8 = 12(m + 1) = 15(n + 1) = 40(p + 1) = 11q + 8 \)
Buna göre \( A + 8 \) tam sayısı 12, 15, 40 sayılarının bir ortak katıdır.
Bu üç sayının EKOK'unu bulalım.
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( 40 = 2^3 \cdot 5 \)
\( EKOK(12, 15, 40) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \)
\( A + 8 \) sayısı 120'nin bir katı olduğuna göre, \( A + 8 = 120k \) eşitliğini yazabiliriz.
\( A + 8 = 120k = 11q + 8 \)
\( A = 120k - 8 = 11p \)
\( A = 110k + 10k - 8 = 11p \)
\( 110k \) sayısı 11'in katı olduğu için \( 10k - 8 \) ifadesinin 11'in katı olması yeterlidir.
\( 10k - 8 \) ifadesini 11'in katı yapan en küçük \( k \) sayısı 3 olur.
\( 10 \cdot 3 - 8 = 22 \)
\( A + 8 = 120k = 360 \)
\( A = 352 \) olarak bulunur.
9, 14 ve 18 ile bölündüğünde 4 kalanını veren, aynı zamanda 17'nin tam katı olan en küçük tam sayı kaçtır?
Çözümü Gösterİstenen sayıya \( A \) dersek verilen bilgileri aşağıdaki gibi bir eşitliğe dönüştürebiliriz.
\( A = 9m + 4 = 14n + 4 = 18p + 4 = 17q \)
9, 14 ve 18 sayılarının EKOK'unu kullanabilmek için eşitliklerdeki sabit terimlerden kurtulmaya çalışalım.
Eşitliğin tüm taraflarından 4 çıkaralım.
\( A - 4 = 9m = 14n = 18p = 17q - 4 \)
Buna göre \( A - 4 \) tam sayısı 9, 14, 18 sayılarının bir ortak katıdır.
Bu üç sayının EKOK'unu bulalım.
\( 9 = 3^2 \)
\( 14 = 2 \cdot 7 \)
\( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
\( EKOK(9, 14, 18) = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126 \)
\( A - 4 \) sayısı 126'nın bir katı olduğuna göre, \( A - 4 = 126k \) eşitliğini yazabiliriz.
\( A - 4 = 126k = 17q - 4 \)
\( A = 126k + 4 = 17q \)
\( A = 119k + 7k + 4 = 17q \)
\( 119k \) sayısı 17'nin katı olduğu için \( 7k + 4 \) ifadesinin 17'nin katı olması yeterlidir.
\( 7k + 4 \) ifadesini 17'nin katı yapan en küçük \( k \) sayısı 14 olur.
\( 7 \cdot 14 + 4 = 102 \)
\( A - 4 = 126k = 1764 \)
\( A = 1768 \) olarak bulunur.