Faktöriyel
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere, \( 1 \)'den \( n \)'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına \( n \)'nin faktöriyeli ya da \( n \) faktöriyel denir ve \( n! \) şeklinde gösterilir.
\( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n \)
\( 1! = 1 \)
\( 2! = 1 \cdot 2 = 2 \)
\( 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \)
\( 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 \)
Kesirli ve negatif sayıların faktöriyeli olmaz.
Sıfır faktöriyel tanım gereği 1 olarak kabul edilir. Bu genel kabulün farklı sebepleri olsa da, önemli bir tanesi faktöriyelin önemli kullanım alanlarından biri olan permütasyonda "sıfır" nesnenin tek "bir" farklı permütasyon oluşturmasıdır.
\( 0! = 1 \)
İki sayının faktöriyelleri birbirine eşitse bu iki sayı birbirine eşittir. Bunun tek istisnası faktöriyelleri bire eşit olan 0 ve 1 sayılarıdır.
\( x \ge 2, \quad y \ge 2 \) olmak üzere,
\( x! = y! \Longleftrightarrow x = y \)
\( 0! = 1! = 1 \)
\( x! = 4! \Longrightarrow x = 4 \)
Bir sayının faktöriyeli kendisinden daha küçük sayıların faktöriyeli cinsinden yazılabilir.
\( n! = n \cdot (n - 1)! \)
\( n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)! \)
\( n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3)! \)
\( 20! = 20 \cdot 19! = 20 \cdot 19 \cdot 18! \)
Bazı Özdeşlikler
\( n! + (n + 1)! = n! + (n + 1) \cdot n! = (n + 2) \cdot n! \)
\( (n + 1)! = (n + 1) \cdot n! = n \cdot n! + n! \)
\( n \cdot n! = (n + 1)! - n! \)
\( 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1 \)
Çift Faktöriyel
Çok sık kullanılmasa da bilgi olarak çift faktöriyel kavramından kısaca bahsedelim.
Çift faktöriyel normal faktöriyele benzer şekilde 1'den o sayıya kadarki sayıların çarpımına eşittir. Çift faktöriyelin normal faktöriyelden farkı sadece teklik/çiftlik durumu faktöriyeli alınan sayı ile aynı olan sayıların çarpıma dahil edilmesidir.
Bir sayının çift faktöriyeli iki ünlem işareti ile \( n!! \) şeklinde gösterilir.
\( 0!! = 1 \)
\( 1!! = 1 \)
\( 2!! = 2 \)
\( 3!! = 1 \cdot 3 = 3 \)
\( 4!! = 2 \cdot 4 = 8 \)
\( 5!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15 \)
\( 6!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48 \)
Bir tam sayının faktöriyelini aşağıdaki gibi iki çift faktöriyelin çarpımı şeklinde yazabiliriz.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n! = n!! \cdot (n - 1)!! \)
Faktöriyel Kullanım Alanları
Faktöriyel matematikte karşımıza aşağıdaki konularda sıklıkla çıkmaktadır.
- \( n \) nesnenin farklı diziliş sayısı (permütasyon)
- \( n \) nesne içinden \( k \) nesnenin farklı seçim sayısı (kombinasyon)
- \( n \) elemanlı bir kümenin \( k \) elemanlı alt kümelerinin sayısı
- \( n \). dereceden bir binom ifadenin \( k \). teriminin katsayısı
\( \dfrac{(5!)!}{(11^2)!} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİlk önce parantez içindeki işlemleri yapalım.
\( \dfrac{(5!)!}{(11^2)!} = \dfrac{(120)!}{(121)!} \)
\( = \dfrac{120!}{121 \cdot 120!} \)
\( = \dfrac{1}{121} \) bulunur.
\( 10! = A \) olduğuna göre, \( 12! - 11! \) sayısının \( A \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi \( 10! \) cinsinden yazalım.
\( 12! - 11! = 10! \cdot 11 \cdot 12 - 10! \cdot 11 \)
\( = 10! \cdot 11 \cdot (12 - 1) \)
\( = 10! \cdot 11 \cdot 11 \)
\( = 121A \) bulunur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (2n)! + (2n - 1)! = (2n - 2)! \cdot 15 \)
eşitliğini sağlayan \( n \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterTüm terimleri \( (2n - 2)! \) cinsinden yazalım.
\( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \cdot 2n + (2n - 2)! \cdot (2n - 1) = (2n - 2)! \cdot 15 \)
Eşitliğin sol tarafını \( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \) parantezine alalım.
\( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \cdot (2n + 1) = (2n - 2)! \cdot 15 \)
\( (2n - 2)! \ne 0 \) olduğu için \( (2n - 2)! \) çarpanları sadeleşebilir.
\( (2n - 1)(2n + 1) = 15 \)
\( 4n^2 - 1 = 15 \)
\( n^2 = 4 \)
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olarak veriliyor.
\( n = 2 \) bulunur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (n + 1)! + (n + 2)! = 195 \cdot n! \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( n \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( (n + 1)! + (n + 2)! \) ifadesini \( n! \) cinsinden yazalım.
\( (n + 1)n! + (n + 2)(n + 1)n! = 195 \cdot n! \)
\( n!((n + 1) + (n + 2)(n + 1)) = 195 \cdot n! \)
\( (n + 1) + (n + 2)(n + 1) = 195 \)
\( n + 1 + n^2 + 3n + 2 = 195 \)
\( n^2 + 4n - 192 = 0 \)
\( (n + 16)(n - 12) = 0 \)
\( n = -16 \) ya da \( n = 12 \)
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olarak veriliyor.
\( n = 12 \) bulunur.
\( \dfrac{1}{A} \div \left( \dfrac{3}{4!} - \dfrac{2}{5!} + \dfrac{2}{6!} \right) \)
ifadesini tam sayı yapan en büyük tam sayı \( A \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterPaydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{1}{A} \div \left( \dfrac{3 \cdot 5 \cdot 6}{6!} - \dfrac{2 \cdot 6}{6!} + \dfrac{2}{6!} \right) \)
\( = \dfrac{1}{A} \div \dfrac{90 - 12 + 2}{6!} \)
\( = \dfrac{1}{A} \cdot \dfrac{6!}{80} \)
\( = \dfrac{1}{A} \cdot \dfrac{720}{80} = \dfrac{9}{A} \)
İfadeyi tam sayı yapan en büyük tam sayı \( A \) değeri 9 olur.
\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 32! \) sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözümü Göster\( 5! = 120 \) olduğu için 5'ten büyük tüm sayıların faktöriyellerinin birler basamağı da sıfır olur.
Dolayısıyla verilen toplamın sonucunun birler basamağı \( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! \) toplamının birler basamağına eşittir.
\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34 \)
Buna göre ifadenin birler basamağındaki rakam 4 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 6! \cdot 11! = 60 \cdot n! \) eşitliğinde \( n \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin sol tarafını sağ tarafa benzetmeye çalışalım.
\( 6! \cdot 11! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11! \)
\( = (6 \cdot 5 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3) \cdot 11! \)
\( = 60 \cdot 12 \cdot 11! \)
\( = 60 \cdot 12! \)
\( n = 12 \) bulunur.
\( 0! + 1! + 2! + \ldots + 24! \) toplamının 9'a bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster\( 6! \) iki tane 3 çarpanı içerdiği için 9'a tam bölünür.
\( 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \)
\( = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (3 \cdot 2) \)
6'dan büyük sayıların faktöriyelleri de aynı çarpanları içerdiği için 9'a tam bölünür.
Buna göre verilen ifadenin 9'a bölümünden kalan, ilk altı terimin toplamının 9'a bölümünden kalana eşittir.
\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 \)
\( = 154 \)
Bir sayının 9'a bölümden kalan, rakamlarının toplamının 9'a bölümünden kalan sayıdır.
\( 1 + 5 + 4 = 10 \)
Buna göre 154'ün 9'a bölümünden kalan 1'dir.
\( 0! + 2! + 4! + 6! + \ldots + 100! \) sayısının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster\( 4! = 24 \) olduğu için 4'ten büyük tüm sayıların faktöriyelleri 24 çarpanını içerir ve 24'e kalansız bölünür.
Dolayısıyla verilen toplamın 24 ile bölümünden kalan \( 0! + 2! \) toplamının 24 ile bölümünden kalana eşittir.
\( 0! + 2! = 1 + 2 = 3 \)
Buna göre ifadenin 24 ile bölümünden kalan 3 olur.
\( 72 \cdot x! = y! \) eşitliğinde \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBu eşitlik iki şekilde sağlanır.
Durum 1:
\( 72 \cdot 71! = 72! \)
\( x = 71, \quad y = 72 \)
Durum 2:
\( 9 \cdot 8 \cdot x! = y! \)
\( 9 \cdot 8 \cdot 7! = 9! \)
\( x = 7, \quad y = 9 \)
\( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı \( 71 + 7 = 78 \) olarak bulunur.
\( x, y \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( x! = 24 \cdot y! \) olduğuna göre, \( y \) kaç farklı değer alabilir?
Çözümü GösterBu eşitlik üç şekilde sağlanır.
Durum 1:
\( x = 24 \) ve \( y = 23 \) olabilir.
\( 24! = 24 \cdot 23! \)
Durum 2:
\( x = 4 \) ve \( y = 1 \) olabilir.
\( 4! = 24 \cdot 1! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \)
Durum 3:
\( x = 4 \) ve \( y = 0 \) olabilir.
\( 4! = 24 \cdot 0! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0! \)
Buna göre, \( y \) üç farklı değer alabilir.
\( y \in \{ 0, 1, 23 \} \)
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2^a \cdot b = 6! + 7! + 8! \) eşitliğini sağlayan en küçük \( b \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin sağ tarafını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 2^a \cdot b = 6! + 7! + 8! \)
\( 2^a \cdot b = 6! + 7 \cdot 6! + 8 \cdot 7 \cdot 6! \)
\( 2^a \cdot b = 6!(1 + 7 + 8 \cdot 7) \)
\( 2^a \cdot b = 6! \cdot 64 \)
\( 2^a \cdot b = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 2^6 \)
\( 2^a \cdot b = 2^{10} \cdot 3^2 \cdot 5 \)
Bu eşitlikte \( b \) en küçük değerini \( a = 10 \) olduğunda alır.
Eşitlikte \( a = 10 \) yazalım.
\( b = 3^2 \cdot 5 = 45 \) bulunur.
\( 20 \cdot 22 \cdot 24 \cdot \ldots \cdot 58 \cdot 60 \) çarpımının eşiti nedir?
Çözümü Göster20-60 arası ardışık çift sayıların terim sayısını bulalım.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( = \dfrac{60 - 20}{2} + 1 = 21 \)
Bu 21 çarpanın tümünün içindeki birer tane 2 çarpanını ayıralım.
\( 20 \cdot 22 \cdot 24 \cdot \ldots \cdot 58 \cdot 60 = 2^{21} \cdot (10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \ldots \cdot 30) \)
Parantez içindeki ifadeyi faktöriyel şeklinde yazalım.
\( = 2^{21} \cdot \dfrac{30!}{9!} \) bulunur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) ve \( n \gt 3 \) olmak üzere,
\( n! + 2 \) ve \( n! + n \) sayıları arasındaki asal sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 2 \le k \le n \) olmak üzere bir \( k \) tam sayı değeri seçelim.
\( n! \) ifadesi 1'den \( n \)'ye kadar tüm sayıların çarpımından oluştuğu için \( k \) sayısını da içerir.
\( n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot k \cdot \ldots \cdot (n - 1) \cdot n \)
Bu yüzden \( n! + k \) şeklindeki ifadelerin tümü \( k \) parantezine alınabilir, dolayısıyla \( k \) çarpanı içerir ve bileşik sayıdır.
Buna göre verilen aralıkta asal sayı bulunmaz, yani toplamları sıfırdır.