Faktöriyel

Verilen işlemi \( 10! \) cinsinden yazalım.

\( 12! - 11! = 10! \cdot 11 \cdot 12 - 10! \cdot 11 \)

\( = 10! \cdot 11 \cdot (12 - 1) \)

\( = 10! \cdot 11 \cdot 11 \)

\( = 121A \) bulunur.

İlk önce parantez içindeki işlemleri yapalım.

\( \dfrac{(5!)!}{(11^2)!} = \dfrac{(120)!}{(121)!} \)

\( = \dfrac{120!}{121 \cdot 120!} \)

\( = \dfrac{1}{121} \) bulunur.

\( 5! = 120 \) olduğu için 5'ten büyük tüm sayıların faktöriyellerinin birler basamağı da sıfır olur.

Dolayısıyla verilen toplamın sonucunun birler basamağı \( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! \) toplamının birler basamağına eşittir.

\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! \) \( = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34 \)

Buna göre ifadenin birler basamağındaki rakam 4 olur.

Bu eşitlik üç şekilde sağlanır.

Durum 1:

\( x = 24 \) ve \( y = 23 \) olabilir.

\( 24! = 24 \cdot 23! \)

Durum 2:

\( x = 4 \) ve \( y = 1 \) olabilir.

\( 4! = 24 \cdot 1! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1! \)

Durum 3:

\( x = 4 \) ve \( y = 0 \) olabilir.

\( 4! = 24 \cdot 0! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0! \)

O halde, \( y \) 0, 1 ve 23 olmak üzere üç farklı değer alabilir.

Eşitliğin sol tarafını sağ tarafına benzetmeye çalışalım.

\( 6! \cdot 11! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11! \)

\( = (6 \cdot 5 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3) \cdot 11! \)

\( = 60 \cdot 12 \cdot 11! \)

\( = 60 \cdot 12! \)

\( n = 12 \) bulunur.

\( 6! \) iki tane 3 çarpanı içerdiği için 9'a tam bölünür.

\( 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \)

\( = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (3 \cdot 2) \)

6'dan büyük sayıların faktöriyelleri de, \( 6! \)'in çarpanlarını içerdiği için 9'a tam bölünür.

Buna göre verilen ifadenin 9'a bölümünden kalan, ilk altı terimin toplamının 9'a bölümünden kalana eşittir.

\( 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! \)

\( = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + 120 \)

\( = 154 \)

Bir sayının 9'a bölümden kalan, rakamlarının toplamının 9'a bölümünden kalan sayıdır.

\( 1 + 5 + 4 = 10 \)

Buna göre 154'ün 9'a bölümünden kalan 1'dir.

\( 4! = 24 \) olduğu için 4'ten büyük tüm sayıların faktöriyelleri de 24 çarpanını içerir ve 24'e kalansız bölünür.

Dolayısıyla verilen toplamın 24 ile bölümünden kalan \( 0! + 2! \) toplamının 24 ile bölümünden kalana eşittir.

\( 0! + 2! = 1 + 2 = 3 \)

Buna göre ifadenin 24 ile bölümünden kalan 3 olur.

Bu eşitlik iki şekilde sağlanır.

Durum 1:

\( 72 \cdot 71! = 72! \)

\( x = 71, \quad y = 72 \)

Durum 2:

\( 9 \cdot 8 \cdot x! = y! \)

\( 9 \cdot 8 \cdot 7! = 9! \)

\( x = 7, \quad y = 9 \)

\( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı \( 71 + 7 = 78 \) olarak bulunur.

Tüm terimleri \( (2n - 2)! \) cinsinden yazalım.

\( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \cdot 2n + (2n - 2)! \cdot (2n - 1) = (2n - 2)! \cdot 15 \)

Eşitliğin sol tarafını \( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \) parantezine alalım.

\( (2n - 2)! \cdot (2n - 1) \cdot (2n + 1) = (2n - 2)! \cdot 15 \)

\( (2n - 2)! \ne 0 \) olduğu için \( (2n - 2)! \) çarpanları sadeleşebilir.

\( (2n - 1)(2n + 1) = 15 \)

\( 4n^2 - 1 = 15 \)

\( n^2 = 4 \)

\( n \in \mathbb{Z^+} \) olarak veriliyor.

\( n = 2 \) bulunur.

\( (n + 1)! + (n + 2)! \) ifadesini \( n! \) cinsinden yazalım.

\( (n + 1)! + (n + 2)! = 195 \cdot n! \)

\( (n + 1)n! + (n + 2)(n + 1)n! = 195 \cdot n! \)

\( n!((n + 1) + (n + 2)(n + 1)) = 195 \cdot n! \)

\( (n + 1) + (n + 2)(n + 1) = 195 \)

\( n + 1 + n^2 + 3n + 2 = 195 \)

\( n^2 + 4n - 192 = 0 \)

\( (n + 16)(n - 12) = 0 \)

\( n = -16 \) ya da \( n = 12 \)

\( n \in \mathbb{Z^+} \) olarak veriliyor.

\( n = 12 \) bulunur.

Paydaları eşitleyelim.

\( \dfrac{1}{A} \div (\dfrac{3 \cdot 5 \cdot 6}{6!} - \dfrac{2 \cdot 6}{6!} + \dfrac{2}{6!}) \)

\( = \dfrac{1}{A} \div (\dfrac{90 - 12 + 2}{6!}) \)

\( = \dfrac{1}{A} \cdot \dfrac{6!}{80} \)

\( = \dfrac{1}{A} \cdot \dfrac{720}{80} = \dfrac{9}{A} \)

İfadenin tam sayı olabilmesi için \( A \)'nın en büyük pozitif tam sayı değeri 9 olur.

Eşitliğin sağ tarafını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 2^a \cdot b = 6! + 7! + 8! \)

\( 2^a \cdot b = 6! + 7 \cdot 6! + 8 \cdot 7 \cdot 6! \)

\( 2^a \cdot b = 6!(1 + 7 + 8 \cdot 7) \)

\( 2^a \cdot b = 6! \cdot 64 \)

\( 2^a \cdot b = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 2^6 \)

\( 2^a \cdot b = 2^{10} \cdot 3^2 \cdot 5 \)

Bu eşitlikte \( b \) en küçük değerini \( a = 10 \) olduğunda alır.

Eşitlikte \( a = 10 \) yazalım.

\( b = 3^2 \cdot 5 = 45 \) bulunur.

20-60 arası ardışık çift sayıların terim sayısını bulalım.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)

\( = \dfrac{60 - 20}{2} + 1 = 21 \)

Bu 21 çarpanın tümünün içindeki birer tane 2 çarpanını ayıralım.

\( 2^{21} \cdot (10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \ldots \cdot 30) \)

Parantez içindeki ifadeyi faktöriyel şeklinde yazalım.

\( = 2^{21} \cdot \dfrac{30!}{9!} \) bulunur.

Asal sayılar sadece kendisine ve 1'e kalansız bölünebilen 1'den büyük pozitif tam sayılardır.

Verilen aralıktaki tam sayıları incelediğimizde, sayıların tümü ortak çarpan parantezine alınabilir durumdadır, dolayısıyla hiçbiri asal değildir.

Örneğin \( 21! + 7 \) ifadesi 7 parantezine, \( 21! + 18 \) ifadesi de 18 parantezine alınabilir.

Bu nedenle cevap 0'dır.

\( 28! + 29! + 30! \) ifadesinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulalım.

\( 28! + 29! + 30! = 28! + 28! \cdot 29 + 28! \cdot 29 \cdot 30 \)

\( = 28! + 28! \cdot 29 + 28! \cdot 870 \)

Terimleri \( 28! \) parantezine alalım.

\( = 28! \cdot (1 + 29 + 870) \)

\( = 28! \cdot 900 = 28! \cdot 3^2 \cdot 10^2 \)

\( 28! \) ifadesinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu bulalım.

\( 28! \) sayısının içinde:

3'ün her katı için \( \floor{28 / 3} = 9 \) tane

9'un her katı için \( \floor{9 / 3} = 3 \) tane daha

27'nin her katı için \( \floor{3 / 3} = 1 \) tane daha

Toplamda \( 9 + 3 + 1 = 13 \) tane 3 çarpanı vardır.

\( 3^2 \) ifadesinde de 2 tane 3 çarpanı bulunduğu için \( 28! \cdot 3^2 \cdot 10^2 \) ifadesinde toplam \( 13 + 2 = 15 \) tane 3 çarpanı bulunur.

\( 28! + 29! + 30! \) toplamının \( 3^n \) sayısına bölümünün bir tam sayı olması için, \( 3^n \) sayısında 3 çarpanı en fazla \( 28! + 29! + 30! \) toplamında olduğu adette olmalıdır.

Buna göre \( n \) en fazla 15 olabilir.