Bölünebilme
Bölme İşlemi
Yukarıdaki gibi bir bölme işleminin terimleri arasında aşağıdaki matematiksel ilişki vardır.
\( A, B, C, K \in \mathbb{N}, \quad B \ne 0 \) olmak üzere,
\( A = B \cdot C + K \)
123'ün 12'ye bölümünde bölüm 10, kalan 3'tür.
\( 123 = 12 \cdot 10 + 3 \)
Bölme işleminin eşit paylaştırma/gruplara ayırma anlamı olduğu için bu işlemi aşağıdaki basit problemler üzerinden ifade edebiliriz.
- \( A \) tane cevizi \( B \) kişi arasında eşit paylaştırdığımızda her kişiye \( C \) ceviz düşer ve \( K \) ceviz artar.
- \( A \) sayıda öğrenci her sırada \( B \) sayıda öğrenci olacak şekilde sıraya girdiğinde \( C \) tam sıra oluşur ve en sonda \( K \) sayıda öğrenci kalır.
- \( A \) tane elmayı her birinde \( B \) adet elma olacak şekilde kasalara koyduğumuzda \( C \) dolu kasa olur ve \( K \) elma artar.
Kalan, bir bölme işlemi sonucunda eşit paylaştırılamayan/gruplara ayrılamayan miktar anlamına gelir. Kalanın bölene eşit ya da bölenden büyük olması durumunda en az bir kez daha paylaştırılması/gruplara ayrılması mümkün olacağı için, bir bölme işleminde kalan her zaman bölenden küçük olur.
\( 0 \le K \lt B \)
Bir bölme işleminde kalan bölümden küçük ise bölen ve bölümün aralarında yer değiştirmesi kalanı değiştirmez. Kalan bölüme eşit ya da bölümden büyük ise bölen ve bölümün aralarında yer değiştirmesi kalanı değiştirir.
Bu iki duruma aşağıdaki gibi birer örnek verebiliriz.
- 250 TL'yi 12 kişi arasında eşit paylaştırdığımızda kişi başına 20 TL düşer ve 10 TL artar (\( 250 = 12 \times 20 + 10 \)). Bu örnekte kalan bölümden küçük olduğu için, dağıtım işlemini tersine çevirdiğimizde yani aynı 250 TL'yi 20 kişi arasında paylaştırdığımızda kişi başına 12 TL düşer ve kalan yine 10 TL olur.
- 250 TL'yi 30 kişi arasında eşit paylaştırdığımızda kişi başına 8 TL düşer ve yine 10 TL artar (\( 250 = 30 \times 8 + 10 \)). Bu örnekte kalan bölümden büyük olduğu için, 250 TL'yi 8 kişi arasında paylaştırdığımızda kişi başına bu sefer 30 değil 31 TL düşer ve kalan 2 TL olur (\( 250 = 8 \times 31 + 2 \)).
Kalansız Bölme İşlemi
Bir bölme işleminde kalan sıfır ise bölünen sayı bölen sayıya tam (kalansız) bölünüyor demektir. Bir diğer ifadeyle, bölünen sayı bölen sayının bir tam sayı katıdır.
\( K = 0 \) ise,
\( A = B \cdot C \)
\( 360 = 4 \cdot 90 + 0 \)
\( 3^5 \) ile \( 3^9 \) sayıları arasında 81'e tam bölünen kaç tane tam sayı vardır?
Çözümü Göster\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
81'e tam bölünen sayıları aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( 81k = 3^4 \cdot k \)
\( 3^5 \) ile \( 3^9 \) sayıları arasında 81'e tam bölünen sayılar aşağıdaki eşitsizliği sağlar.
\( 3^5 \lt 81k \lt 3^9 \)
\( 3^4 \cdot 3 \lt 3^4 \cdot k \lt 3^4 \cdot 3^5 \)
\( 3 \lt k \lt 3^5 \)
\( 3 \lt k \lt 243 \)
\( k \)'nın bu aralıkta alabileceği her değer için 81'e tam bölünen bir tam sayı vardır.
\( 3^5 \) ile \( 3^9 \) sayıları arasında 81'e tam bölünen \( 242 - 4 + 1 = 239 \) tane tam sayı vardır.