Birim Fonksiyon
Tanım kümesindeki tüm elemanların görüntüsünün yine kendisi olduğu fonksiyona birim fonksiyon denir. Birim fonksiyonlar \( I \) ile gösterilir. Birim fonksiyona etkisiz fonksiyon ya da özdeş fonksiyon da denir.
\( f: A \to A \)
Her \( x \in A \) elemanı için \( f(x) = x \) ise,
\( f \) birim fonksiyondur.
Birim fonksiyon birebir ve örtendir.
\( f(2x + 1) = ax^2 + bx + a - 2b - c \) birim fonksiyon olduğuna göre, \( c \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon birim fonksiyon olduğu için \( f(2x + 1) = 2x + 1 \) olmalıdır.
\( ax^2 + bx + a - 2b - c = 2x + 1 \)
Birbirine eşit iki polinomda derecesi aynı olan terimlerin katsayıları eşit olur.
\( a = 0 \)
\( bx = 2x \Longrightarrow b = 2 \)
\( a - 2b - c = 1 \)
\( 0 - 4 - c = 1 \)
\( c = -5 \) bulunur.
\( f(x - 1) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x - 2} \) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre \( f(a + b - c) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon birim fonksiyon olduğuna göre \( f(x - 1) = x - 1 \) olmalıdır.
\( f(x - 1) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x - 2} = x - 1 \)
\( (x - 1)(x - 2) = ax^2 + bx + c \)
\( x^2 - 3x + 2 = ax^2 + bx + c \)
Birbirine eşit iki polinomda derecesi aynı olan terimlerin katsayıları eşit olur.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \)
\( f(a + b - c) = f(1 + (-3) - 2) = f(-4) \)
Birim fonksiyonda girdi ve çıktı değerleri birbirine eşittir.
\( f(-4) = -4 \) bulunur.
\( f(x) \) birim fonksiyon ve \( g(x) \) sabit fonksiyon olmak üzere,
\( f(3k - 1) + g(n + 1) = f(k + 3) + g(2n) \) ise \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( g(x) \) sabit fonksiyon olduğu için \( g(n + 1) = g(2n) \) olur, dolayısıyla eşitliğin iki tarafındaki bu iki ifade birbirini götürür.
\( f(3k - 1) = f(k + 3) \)
\( f(x) \) birim fonksiyon olduğu için \( f(x) = x \) şeklinde yazabiliriz.
\( f(3k - 1) = 3k - 1 \)
\( f(k + 3) = k + 3 \)
\( 3k - 1 = k + 3 \)
\( k = 2 \) bulunur.
\( f \) birim fonksiyon olmak üzere,
\( f(4a + g(a)) = (f \circ g)(a) + 20 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(4a + g(a)) = (f \circ g)(a) + 20 \)
\( f(4a + g(a)) = f(g(a)) + 20 \)
\( f \) birim fonksiyon olduğu için tüm girdi değerlerinin görüntüsü kendisi olur.
\( 4a + g(a) = g(a) + 20 \)
\( 4a = 20 \)
\( a = 5 \) bulunur.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri tüm reel sayılarda birim fonksiyondur?
(1) \( f(x) = e^{\ln{x}} \)
(2) \( g(x) = \ln{e^x} \)
(3) \( h(x) = \sin(\arcsin{x}) \)
(4) \( k(x) = \sqrt{x^2} \)
Çözümü GösterTanım kümesindeki tüm elemanların görüntüsü yine kendisi olan fonksiyona birim fonksiyon denir.
Bir fonksiyonun tüm reel sayılarda birim fonksiyon olması için tanım kümesi reel sayılar olmalıdır ve fonksiyon tanımı \( f(x) = x \) şeklinde ifade edilebilmelidir.
1. öncül:
\( f \) fonksiyonu birim fonksiyon şeklinde ifade edilebilir.
\( f(x) = e^{\ln{x}} = x \)
\( \ln{x} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( x \in (0, \infty) \) olduğu için \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi de bu aralık olur.
\( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+} \)
2. öncül:
\( g \) fonksiyonu birim fonksiyon şeklinde ifade edilebilir.
\( g(x) = \ln{e^x} = x\ln{e} = x \)
\( e^x \) ifadesinin tanım kümesi tüm reel sayılar ve görüntü kümesi pozitif reel sayılar olduğu için \( \ln{e^x} \) ifadesi tüm reel sayılarda tanımlıdır.
\( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
3. öncül:
\( h \) fonksiyonu birim fonksiyon şeklinde ifade edilebilir.
\( h(x) = \sin(\arcsin{x}) = x \)
\( \arcsin{x} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( x \in [-1, 1] \) olduğu için \( h \) fonksiyonunun tanım kümesi de bu aralık olur.
\( h: [-1, 1] \to [-1, 1] \)
4. öncül:
\( k \) fonksiyonu mutlak değer fonksiyonuna eşittir.
\( k(x) = \sqrt{x^2} = \abs{x} \)
Buna göre, \( k \) fonksiyonu birim fonksiyona eşit değildir.
Verilen fonksiyonlar içinde sadece \( g \) fonksiyonu tüm reel sayılarda birim fonksiyondur.