Bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değer kümesindeki elemanlarla eşlenmesi sonucunda değer kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmıyorsa bu fonksiyona örten fonksiyon ya da sürjektif fonksiyon denir. Bir diğer ifadeyle, bir örten fonksiyonda değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsüdür.
Aşağıdaki fonksiyon değer kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmadığı için örtendir.
Bir fonksiyon örten değilse, yani değer kümesinde açıkta eleman kalıyorsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir. Buna göre, bir fonksiyon ya örtendir ya da içinedir.
Aşağıdaki fonksiyon değer kümesindeki son eleman açıkta kaldığı için içine fonksiyondur.
Aksi takdirde
Örten fonksiyonlarda değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olduğu için görüntü kümesi değer kümesine eşittir. İçine fonksiyonlarda değer kümesinde açıkta eleman(lar) kaldığı için görüntü kümesi değer kümesinin bir öz alt kümesidir.
İçine bir fonksiyon değer kümesi görüntü kümesine eşit olacak şekilde daraltılarak örten bir fonksiyona dönüştürülebilir. Benzer şekilde, örten bir fonksiyon değer kümesi genişletilerek içine bir fonksiyona dönüştürülebilir.
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için gerekli koşullardan biri, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmasıdır. Aksi takdirde tanım kümesinde değer kümesindeki tüm elemanları "örtecek" kadar eleman bulunmaz.
Örten fonksiyon sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Örten fonksiyon sayısı
5 elemanlı
Örten fonksiyon sayısı
Yukarıdaki formülde üçüncü durumdaki formülün mantığını ve nasıl türetildiğini "Sayma" konusu altındaki dahil etme - hariç bırakma prensibi ve örten fonksiyon sayısı sayfalarında inceleyeceğiz.
İki küme arasında tanımlanabilecek içine fonksiyon sayısı, bu iki küme arasında tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısı ile örten fonksiyon sayısının farkına eşittir.
Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için değer kümesindeki tüm
Aşağıda farklı fonksiyonların örten ya da içine olma durumları yatay doğru testi ile yorumlanmıştır. Bu fonksiyonlarda değer kümeleri tüm reel sayılar olarak alınmıştır. Yukarıda bahsettiğimiz gibi fonksiyonların değer kümesi genişletilerek/daraltılarak örten bir fonksiyon içine bir fonksiyona, içine bir fonksiyon da örten bir fonksiyona dönüştürülebilir.
Fonksiyon | Grafik |
---|---|
Sabit fonksiyon Sabit fonksiyonlar görüntü kümeleri tek elemanlı olduğu için örten değil, içinedir. |
![]() |
Doğrusal fonksiyon Doğrusal fonksiyonlar her reel sayı değerini alabildikleri için örtendir. |
![]() |
Mutlak değer fonksiyonu Mutlak değer fonksiyonu negatif değer alamadığı için örten değil, içinedir. |
![]() |
2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol) 2. dereceden polinom fonksiyonu Derecesi çift sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
![]() |
3. dereceden polinom fonksiyonu 3. dereceden polinom fonksiyonu Derecesi tek sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
![]() |
Üstel fonksiyon Üstel fonksiyon sıfır ve negatif değer alamadığı için örten değil, içinedir. |
![]() |
Logaritma fonksiyonu Logaritma fonksiyonu tüm reel sayı değerlerini alabildiği için örtendir. |
![]() |
Yukarıda paylaştığımız örten fonksiyon tanımı ile yatay doğru testi arasındaki paralelliğin anlaşılması önem taşımaktadır. Örten bir fonksiyonda değer kümesinde açıkta eleman kalmadığını belirtmiştik. Yatay doğru testi de fonksiyonun değer kümesindeki tüm elemanların (grafiğin
Bir fonksiyonun örten ya da içine bir fonksiyon olduğunu fonksiyon grafiğinden bir şekilde daha anlayabiliriz. Grafik üzerindeki tüm noktaların
Yukarıdaki tabloda yatay doğru testi uyguladığımız iki fonksiyona aşağıda bu testi uygulayarak aynı sonuca ulaşabiliriz.
Fonksiyon | Grafik |
---|---|
2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol) Grafik üzerindeki tüm noktaların |
![]() |
3. dereceden polinom fonksiyonu Grafik üzerindeki tüm noktaların |
![]() |
Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
Bu koşulu sağlamak için
Fonksiyon örten olduğu için değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
Bu koşulu sağlamak için
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak aşağıdaki sonucu buluruz.
Tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsünü bulalım.
Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdaki şekilde ve 5 elemanlı olur.
Fonksiyonun içine olması için değer kümesinde açıkta en az bir eleman olması gerekir, dolayısıyla değer kümesi en az
Buna göre
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmalıdır.
Verilen eleman sayılarını yerine koyalım.
Eşitsizliği pozitif yapan değerleri bulmak için tüm terimleri tek tarafta toplayalım.
Eşitsizliğin sağlanması için
fonksiyonlarından hangileri içine fonksiyondur?
Çözümü GösterBuna göre
Bir fonksiyon ya içine ya da örtendir, bu yüzden yazılabilecek içine fonksiyonların sayısı tüm fonksiyonların sayısının örten fonksiyonlardan farkına eşittir.
İçine fonksiyon sayısı = Tüm fonksiyonların sayısı - Örten fonksiyon sayısı
Buna göre
Verilen parçalı fonksiyonun grafiğini çizelim.
Grafikten görebileceğimiz üzere, fonksiyonun görüntü kümesi
Fonksiyon içine olduğu için
Verilen fonksiyon tanımı doğrultusunda görüntüsü
Buna göre
Bir fonksiyonun içine olması için değer kümesinde açıkta eleman kalmalıdır.
3 + 3 + 4 = 10
3 + 4 + 4 = 11
3 + 3 + 5 = 11
3 + 5 + 5 = 13
4 + 4 + 5 = 13
4 + 5 + 5 = 14
3 + 3 + 3 = 9
4 + 4 + 4 = 12
5 + 5 + 5 = 15
Tüm ihtimalleri saydığımızda istenen toplamın 9 ve 15 arası, yani