Örten ve İçine Fonksiyon

Fonksiyon tanımı gereği tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

Bu koşulu sağlamak için $$ değeri görüntüsü olmayan tek eleman olan 1'e eşit olmalıdır.

Fonksiyon örten olduğu için değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

Bu koşulu sağlamak için $$ değeri açıkta kalan tek eleman olan 3'e eşit olmalıdır.

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak aşağıdaki sonucu buluruz.

Tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsünü bulalım.

Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi aşağıdaki şekilde ve 5 elemanlı olur.

Fonksiyonun içine olması için değer kümesinde açıkta en az bir eleman olması gerekir, dolayısıyla değer kümesi en az $$ elemanlı olmalıdır.

$$ bulunur.

Bir fonksiyonun örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmalıdır.

Verilen eleman sayılarını yerine koyalım.

Eşitsizliği pozitif yapan değerleri bulmak için tüm terimleri tek tarafta toplayalım.

Eşitsizliğin sağlanması için $$ ya da $$ olmalıdır.

$$ aralığı için $$ ve $$ negatif değerler alır, bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağı için bu geçerli bir aralık değildir.

$$ aralığında $$'in en küçük değeri olan 6'yı $$ ifadesinde yerine koyarak $$ kümesinin eleman sayısının en küçük değerini bulalım.

$$ bulunur.

$$ fonksiyonunun tanım kümesindeki reel sayıların görüntüsü sadece 0 ya da pozitif reel sayılar olabileceği için değer kümesindeki negatif reel sayılar açıkta kalır. Bu yüzden $$ fonksiyonu içinedir.

$$ fonksiyonunun tanım kümesindeki sayılar değer kümesinde kendilerinden iki fazla olan sayılarla eşlendiği için değer kümesindeki 0 ve 1 sayıları açıkta kalır. Bu yüzden $$ fonksiyonu içinedir.

$$ fonksiyonunun grafiği pozitif $$ değerleri için $$ fonksiyonu gibi, negatif $$ değerleri için $$ fonksiyonu gibi davranır ve tüm reel sayı değerlerini alır. Bu yüzden $$ fonksiyonu örtendir.

$$ fonksiyonunun tanım kümesindeki sayılar değer kümesinde kendilerinin 5 katının 7 eksiği olan sayılarla eşleşir ve değer kümesinde bunun haricindeki tam sayılar açıkta kalır (örneğin tanım kümesindeki hiçbir tam sayı değer kümesindeki 10 sayısı ile eşleşmez). Bu yüzden $$ fonksiyonu içinedir.

Buna göre $$, $$ ve $$ fonksiyonları içinedir.

Bir fonksiyon ya içine ya da örtendir, bu yüzden yazılabilecek içine fonksiyonların sayısı tüm fonksiyonların sayısının örten fonksiyonlardan farkına eşittir.

İçine fonksiyon sayısı = Tüm fonksiyonların sayısı - Örten fonksiyon sayısı

$$'dan $$'ye yazılabilecek fonksiyonların sayısı: $$

$$ olduğu için yazılabilecek örten fonksiyonların sayısı: $$

Buna göre $$'dan $$'ye yazılabilecek içine fonksiyonların sayısı $$ olur.

Verilen parçalı fonksiyonun grafiğini çizelim.

Grafikten görebileceğimiz üzere, fonksiyonun görüntü kümesi $$ olur.

Fonksiyon içine olduğu için $$ kümesinin en az bir elemanı açıkta kalmalıdır.

Verilen fonksiyon tanımı doğrultusunda görüntüsü $$ kümesinin her bir elemanı olabilecek girdi değerlerini bulalım.

$$ için:

$$ için:

$$ için:

$$ için:

$$ kümesinin bu dört elemanı da içermesi durumunda fonksiyon örten olacaktır. Fonksiyon içine olduğu için en az bir eleman tanım kümesinin dışında kalmalıdır.

$$ kümesinin elemanları toplamının en büyük değeri $$ değeri hariç tutulduğunda elde edilir.

Buna göre $$ kümesinin elemanları toplamı en fazla $$ olur.

Bir fonksiyonun içine olması için değer kümesinde açıkta eleman kalmalıdır.

$$ kümesinde tek bir elemanın açıkta kaldığı durumları sayalım.

3 + 3 + 4 = 10

3 + 4 + 4 = 11

3 + 3 + 5 = 11

3 + 5 + 5 = 13

4 + 4 + 5 = 13

4 + 5 + 5 = 14

$$ kümesinde iki elemanın açıkta kaldığı durumları sayalım.

3 + 3 + 3 = 9

4 + 4 + 4 = 12

5 + 5 + 5 = 15

Tüm ihtimalleri saydığımızda istenen toplamın 9 ve 15 arası, yani $$ farklı değer alabildiğini görürüz.