Doğrusal Fonksiyon
Birinci dereceden \( f(x) = ax + b \) formundaki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.
\( a, b \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( f: A \to B \)
\( f(x) = ax + b \) ise,
\( f \) bir doğrusal fonksiyondur.
Bazı kaynaklarda \( a = 0 \) olması durumunda oluşan sabit fonksiyonlar da doğrusal kabul edilir. Biz burada doğrusal fonksiyonları derecesi bir olan polinom fonksiyonları olarak tanımlıyoruz.
Doğrusal fonksiyonun en geniş tanım ve görüntü kümesi tüm reel sayılardır.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| Doğrusal fonksiyon (\( a \ne 0 \)) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) |
Tüm doğrusal fonksiyonların grafiği (yukarıda yaptığımız \( a \ne 0 \) tanımına göre) eğimi sıfırdan farklı birer doğrudur. Analitik geometride gördüğümüz gibi \( a \) katsayısı doğrunun eğimini verir.
\( f(x) = x \) doğrusal fonksiyonuna birim fonksiyon da denir.
Doğrusal fonksiyonlar birebir ve örtendir.
\( f(x) = (a - 3)x^3 + (b + 2)x^2 + ax + 4 \) fonksiyonu doğrusal fonksiyon olduğuna göre, \( a \cdot b \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonu doğrusal olduğu için sadece birinci dereceden \( x \)'li terim ve sabit terim içerebilir.
Bu durumda \( x^3 \) ve \( x^2 \)'li terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
\( a - 3 = 0 \Longrightarrow a = 3 \)
\( b + 2 = 0 \Longrightarrow b = -2 \)
\( a \cdot b = -6 \) bulunur.
\( f \) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere,
\( f(-3) = -15 \) ve \( f(2) = 5 \) ise \( f(6) \) kaçtır?
Çözümü GösterDenklemi iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
\( f(x) = ax + b \) olarak kabul edelim.
\( f(-3) = -3a + b = -15 \)
\( f(2) = 2a + b = 5 \)
İkinci denklemden birinci denklemi taraf tarafa çıkaralım.
\( 2a - (-3a) = 5 - (-15) \)
\( a = 4 \)
\( b = -3 \)
\( f(x) = 4x - 3 \)
\( f(6) = 4(6) - 3 = 21 \)
2. yöntem:
Doğrusal bir fonksiyonda ortalama değişim oranı (eğim) tüm doğru boyunca sabittir.
\( x \) değeri \( 2 - (-3) = 5 \) birim arttığında \( f(x) \) değeri \( 5 - (-15) = 20 \) birim artmıştır.
Buna göre \( x \) değeri 1 birim arttığında \( f(x) \) değeri 4 birim artmaktadır. Bu da doğrunun eğiminin 4 olduğu anlamına gelir.
Fonksiyon \( x = 2 \)'den \( x = 6 \)'ya 4 birim arttığında \( f(x) \) değeri \( 4 \cdot 4 = 16 \) birim artacaktır.
Buna göre \( f(6) = f(2) + 16 = 21 \) olur.
Aşağıda verilen öncüllerden hangisi veya hangileri doğrudur?
I. Her doğrusal fonksiyon sabit fonksiyondur.
II. Her sabit fonksiyon birim fonksiyondur.
III. Her birim fonksiyon doğrusal fonksiyondur.
IV. Her doğrusal fonksiyon birim fonksiyondur.
Çözümü GösterDoğrusal fonksiyonlar \( f(x) = ax + b \) formundadır.
Birim fonksiyon \( f(x) = x \) formundadır.
Sabit fonksiyonlar \( f(x) = c \) formundadır.
Doğrusal fonksiyonlar sadece \( a = 0 \) olduğunda sabit fonksiyon olur. I. öncül yanlıştır.
Birim fonksiyonda bir \( x \) değerinin görüntüsü kendisi, sabit fonksiyonda ise sabit bir değerdir. II. öncül yanlıştır.
Birim fonksiyonu \( f(x) = 1x + 0 \) şeklinde yazabiliriz, dolayısıyla birim fonksiyon bir doğrusal fonksiyondur. III. öncül doğrudur.
Doğrusal fonksiyonlar sadece \( a = 1 \) ve \( b = 0 \) olduğunda birim fonksiyon olur. IV. öncül yanlıştır.
Buna göre sadece III. öncül doğrudur.
\( f \) doğrusal fonksiyondur.
\( f(x) + f(x + 2) = 6x + 12 \)
olduğuna göre, \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(x) = ax + b \) olarak kabul edelim.
\( f(x) + f(x + 2) = 6x + 12 \)
\( ax + b + a(x + 2) + b = 6x + 12 \)
\( 2ax + 2a + 2b = 6x + 12 \)
\( ax + a + b = 3x + 6 \)
İki polinomun eşitliğinde eşit dereceli terimlerin katsayıları eşittir.
\( a = 3 \)
\( a + b = 6 \)
\( b = 3 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = 3x + 3 \)
\( f(2) = 3 \cdot 2 + 3 = 9 \) bulunur.
\( f(x) = (a - 2)x^2 - (b + 2)x + c + 3 \)
\( f(a) = -2 \) ve \( f(3) = 6 \) veriliyor.
\( f \) doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, \( c \) kaçtır?
Çözümü GösterDoğrusal fonksiyonlar \( f(x) = ax + b \) formundadır, dolayısıyla \( x^2 \)'li terim içermezler.
\( a - 2 = 0 \Longrightarrow a = 2 \)
\( f(a) = f(2) = -2 \)
\( f(x) = -(b + 2)x + c + 3 \)
\( f(x) \) fonksiyonunda \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) yazalım.
\( f(2) = -(b + 2)2 + c + 3 = -2 \)
\( -2b + c = -1 \)
\( f(3) = -(b + 2)3 + c + 3 = 6 \)
\( -3b + c = 9 \)
Birinci denklemi \( -1 \) ile çarpalım ve iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 2b - c = 1 \)
\( -3b + c = 9 \)
\( b = -10 \)
\( c = -21 \) bulunur.
\( f \) ve \( g \) reel sayılar kümesinde tanımlı doğrusal fonksiyonlardır.
\( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( (5, 0) \) noktasında, \( g \) fonksiyonu da \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında kesmektedir.
\( h(x) \) birim fonksiyon olup, \( h(x) = 4f(x) - 5g(x) \) eşitliği verilmektedir.
Buna göre \( f(4) + g(3) \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(x) = ax + b \)
\( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( (5, 0) \) noktasında keser.
\( f(5) = a(5) + b = 0 \)
\( b = -5a \)
\( f(x) = ax - 5a \)
\( g \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( g(x) = cx + d \)
\( g \) fonksiyonu \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser.
\( g(0) = c(0) + c = 2 \)
\( c = 2 \)
\( g(x) = cx + 2 \)
\( h \) fonksiyonu için aşağıdaki eşitlik veriliyor.
\( h(x) = 4f(x) - 5g(x) \)
\( h \) birim fonksiyondur, dolayısıyla tanımı \( h(x) = x \) şeklindedir.
\( x = 4(ax - 5a) - 5(cx + 2) \)
\( x = 4ax - 20a - 5cx - 10 \)
\( x = (4a - 5c)x - 20a - 10 \)
Birbirine eşit iki polinomda aynı dereceli terimlerin katsayıları eşittir.
\( 4a - 5c = 1 \)
\( -20a - 10 = 0 \)
\( a = -\dfrac{1}{2} \)
\( c = -\dfrac{3}{5} \)
Buna göre fonksiyon denklemleri aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2} \)
\( g(x) = -\dfrac{3}{5}x + 2 \)
\( f(4) = -\dfrac{1}{2}4 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2} \)
\( g(3) = -\dfrac{3}{5}3 + 2 = \dfrac{1}{5} \)
\( f(4) + g(3) = \dfrac{7}{10} \) bulunur.